Co to jest rozmaitość?

Rozmaitość to pojęcie matematyczne, które nie ma nic wspólnego z fizyką a priori.

Pomysł jest następujący: prawdopodobnie uczyłeś się geometrii euklidesowej w szkole, więc wiesz, jak rysować trójkąty itp. na płaskiej kartce papieru. W przeciwieństwie do potocznego języka, weźmy „spację” na oznaczenie wszystkiego, co ma kilka punktów. Płaszczyzna euklidesowa ( $ \ mathbb {R} ^ 2 $ ) lub twoja kartka to „przestrzeń”, a przestrzeń 3D wokół ciebie to „przestrzeń” albo powierzchnia świata jest „przestrzenią” (ostrzeżenie: tak naprawdę chcę zdefiniować przestrzeń topologiczną, która nie jest „wszystkim z pewną liczbą punktów”, ale nie rozpraszajmy się tutaj).

Teraz, jeśli spojrzysz na powierzchnię kuli, to zdecydowanie nie jest przestrzeń euklidesowa: w geometrii euklidesowej suma każdego kąta w trójkącie wynosi 180 °, co nie jest prawdą dla powierzchni kuli, kuli . Jeśli jednak spojrzysz tylko na niewielki fragment kuli, jest to w przybliżeniu prawda. Na przykład postrzegasz Ziemię jako płaską, chociaż tak nie jest, jeśli patrzysz z góry.

Rozmaitość to każda „przestrzeń” z tą własnością: lokalnie wygląda jak płaszczyzna euklidesowa. Okrąg jest rozmaitością (lokalnie wygląda jak linia, która jest jednowymiarową przestrzenią euklidesową $ \ mathbb {R} $ ), kulą (wygląda jak samolot lokalnie), twój pokój (wygląda jak trójwymiarowa przestrzeń euklidesowa $ \ mathbb {R} ^ 3 $ lokalnie - zapomnij o granicach tutaj) itd.

Fajną rzeczą w rozmaitościach jest to, że ta właściwość przypominania lokalnie przestrzeni euklidesowej umożliwia ich całkowite opisanie za pomocą tylko przestrzeni euklidesowych. Ponieważ dobrze znamy przestrzeń euklidesową, to dobrze. Na przykład możesz wziąć mapę Anglii - ponieważ słowo „mapa” jest inaczej używane w matematyce, nazwijmy to „wykresem”. To całkiem dobry sposób na opisanie Anglii, chociaż tak naprawdę jest częścią okrągłego obiektu. Możesz połączyć wiele z tych wykresów, aby uzyskać cały atlas pokrywający ziemię, który daje ładny opis Ziemi przy użyciu tylko dwuwymiarowych kawałków papieru. Oczywiście będziesz potrzebować więcej niż jednego wykresu, aby pokryć całą ziemię bez podwajania niektórych punktów i oczywiście, jeśli wykres obejmuje bardzo duży obszar, będzie wyglądał na bardzo zniekształcony w niektórych miejscach, ale jest to możliwe, jak widzisz.

A to jest rozmaitość. Jest to przestrzeń, w której możesz stworzyć atlas wykresów, z których każdy jest (częścią) przestrzeni euklidesowej opisującej część przestrzeni. W porządku, niezupełnie: to, czego chcesz od kolektora, to to, że możesz przejść z wykresu na wykres za pomocą przyjemnej operacji. Na przykład w twoim atlasie ziemi niektóre mapy będą się nakładać, a punkty nakładania się, które są blisko siebie na jednym wykresie, będą blisko siebie na drugim wykresie. Innymi słowy, masz mapę między nakładającymi się regionami dowolnych dwóch wykresów i ta mapa jest ciągła (w tym momencie otrzymujesz rozmaitość topologiczną) lub nawet różniczkowalną (w tym momencie otrzymujesz rozmaitość różniczkowalną).

Do tej pory powinno być dla ciebie oczywiste, że powinno być możliwe powiedzenie, że przestrzeń wokół nas jest rozmaitością różniczkowalną. Wydaje się, że opisanie tego lokalnie za pomocą $ \ mathbb {R} ^ 3 $ wydaje się całkowicie trafne, tak jak to prawdopodobnie robiłeś w szkole. I w ten sposób rozmaitości wchodzą do względności: jeśli dodasz wymiar czasu, okaże się, że dobrze jest przypuszczać, że nadal możesz modelować przestrzeń + czas jako czterowymiarową rozmaitość (czyli każdy wykres wygląda jak $ \ mathbb {R} ^ 4 $ lokalnie).

Po co modelować czasoprzestrzeń za pomocą rozmaitości?

Teraz wiesz, czym jest rozmaitość, ale nawet jeśli masz pojęcie o tym, jak możesz modelować czasoprzestrzeń jako rozmaitość, to tak naprawdę nie mówi ci, dlaczego powinieneś model czasoprzestrzeń jako rozmaitość. W końcu to, że potrafisz coś zrobić, nie zawsze czyni to szczególnie użytecznym.

Rozważ następujący problem: biorąc pod uwagę dwa punkty, jaka jest ich najkrótsza odległość?

[Na bok: zanim odpowiem na to pytanie, chciałbym wspomnieć, że chociaż mówiłem wcześniej o takich rzeczach, jak odległości i kąty, niekoniecznie masz te pojęcia na dowolnej rozmaitości, ponieważ może być niemożliwe zdefiniowanie czegoś takiego dla twoją podstawową „przestrzeń”, ale jeśli masz „rozmaitość różniczkowalną” (co oznacza, że ​​funkcje, które prowadzą cię z wykresu do wykresu w pokrywających się regionach), to robisz. W tym momencie można mówić o odległościach. W przypadku fizyki, zwłaszcza ogólnej teorii względności, zawsze masz pojęcie o odległości i kątach.]

Wracając do problemu najkrótszej odległości: w $ \ mathbb {R} ^ n $ odpowiedź jest dość prosta. Najmniejsza ścieżka między dwiema liniami to linia prosta między nimi. Ale na kuli? Aby to zdefiniować, musisz najpierw określić odległość na kuli. Ale jak to zrobić? W tym momencie wiedziałbym już, jaki jest najkrótszy dystans!

Oto jeden pomysł: jeśli rozważasz lot (na przykład) z Londynu do Buenos Aires, jaka jest „najkrótsza trasa”? Cóż, ziemia jest mniej więcej kulą w jakimś $ \ mathbb {R} ^ 3 $ . To jest przestrzeń euklidesowa, więc wiesz, jak obliczyć tam odległości, więc najkrótsza ścieżka jest po prostu najmniejszą odległością ze wszystkich możliwych ścieżek. Łatwy. Jest jednak problem: to działa tylko dlatego, że mamy jakąś otaczającą trójwymiarową przestrzeń. Ale tak nie musi być - w istocie nasza własna „przestrzeń” nie wydaje się być osadzona w jakiejś czterowymiarowej, wymiarowej hiperprzestrzeni (czy jakkolwiek chcesz to nazwać).

Oto kolejny pomysł: Twoja rozmaitość lokalnie wygląda jak przestrzeń euklidesowa, w której odpowiedź jest prosta. A co, jeśli określisz odległość tylko lokalnie, a następnie w jakiś sposób sklejasz ją tak, aby miała sens?

Piękną rzeczą jest to, że rozmaitość różniczkowalna daje narzędzia do tego. W ten sposób można utworzyć miarę odległości (zwaną metryką riemannowską), która pozwala obliczyć najkrótsze ścieżki między punktami, nawet bez otaczających przestrzeni. Ale to nie koniec. Co to są równoległe linie? Co dzieje się z lokalnym układem współrzędnych? Na przykład, jeśli lecisz samolotem, wydaje się, że zawsze patrzysz przed siebie, ale twoje pole widzenia nie przebiega w linii prostej, w jaki sposób zmienia się twoje pole widzenia podążając ścieżką? Gdy masz już swoje dane, wszystko jest proste.

Powinno być jasne, że wszystkie te pytania są pytaniami, które możesz zadać na temat otaczającej Cię przestrzeni (czasu) - i chcesz uzyskać na nie odpowiedź! Wydaje się również naturalne, że powinniście umieć odpowiedzieć na te pytania dla naszego wszechświata.

Jaka jest więc miara naszej przestrzeni? Czy możemy po prostu lokalnie to naprawić? Cóż, moglibyśmy, ale to nie będzie wyjątkowe, więc jak zdecydować, jaka jest właściwa metryka? Właśnie o to chodzi w ogólnej teorii względności: podstawowe równania ogólnej teorii względności mówią nam, w jaki sposób miara odległości w czasoprzestrzeni jest powiązana z materią i energią.

Trochę więcej o topologii (jeśli jesteś zainteresowany)

Na koniec, jeśli chcesz dowiedzieć się więcej o aspekcie „przestrzeni”, który pominąłem powyżej, przyjrzyjmy się temu bliżej. To, czego chcesz, to nie dowolny zestaw punktów, ale zestaw punktów, który ma sąsiedztwa dla każdego punktu. Możesz myśleć o sąsiedztwie punktu jako o liczbie punktów, które są w jakiś sposób „blisko” punktu. Tak jak w prawdziwym życiu, Twoja okolica może być naprawdę duża, może obejmować całą przestrzeń, nie może być nawet połączona, ale zawsze musi zawierać punkty bezpośrednio „obok” Ciebie. W rzeczywistości, jeśli masz miarę odległości, taką jak zwykła odległość euklidesowa w $ \ mathbb {R} ^ n $ , to zbiór okolic jest podawany przez wszystkie piłki wszystkich rozmiarów wokół dowolnego punktu. Jednak możesz zdefiniować te sąsiedztwa również bez miary odległości, ale nadal możesz w jakiś sposób myśleć o „bliskości”.

Te przestrzenie wystarczą, aby zdefiniować „funkcje ciągłe”, gdzie funkcja jest ciągła w punkcie, jeśli wszystkie punkty „w pobliżu” tego punktu (czyli w jakimś sąsiedztwie) pozostają „blisko” punktu po odwzorowaniu ( co oznacza, że ​​są ponownie przypisane do jakiejś okolicy). Zwykle, a szczególnie w przypadku wszystkich rozmaitości, o których naprawdę chcemy rozmawiać w teorii względności, dodalibyście do przestrzeni więcej warunków, aby mieć ładniejsze właściwości, ale jeśli chcecie się o tym dowiedzieć, proponuję rozpocząć naukę prawdziwych definicji matematycznych. Istnieje wiele innych odpowiedzi, które obejmują podstawy!

Aby przedstawić koncepcję rozmaitości gładkiej, przedstawię najpierw rozmaitości topologiczne .

Topological Manifold

Mówimy, że $ M $, przestrzeń topologiczna, jest także rozmaitością topologiczną , jeśli,

• Dla dowolnych dwóch punktów, które wybiorę, powiedzmy $ p, q \ w M $, istnieją rozłączne otwarte podzbiory $ U $ i $ V $ przestrzeni $ M $ takie, że $ p \ w U $ i $ q \ w V $. Innymi słowy, mogą być oddzielone okolicami.
• Istnieje policzalna podstawa dla topologii $ M $, co oznacza, że ​​możemy skonstruować dowolny zbiór otwarty w $ M $ ze sumy wielu innych zbiorów otwartych, zwanych podstawa $ B $ i że ta podstawa jest policzalna.
• Co najważniejsze, każdy punkt $ p \ w M $ ma sąsiedztwo, które jest homeomorficzne względem otwartego podzbioru $ \ mathbb {R} ^ n $. Innymi słowy, istnieje funkcja ciągła z ciągłą odwrotnością z tego sąsiedztwa do zbioru otwartego w $ \ mathbb R ^ n $ i to właśnie rozumiemy przez lokalnie euklidesowe.

Aby jeszcze raz podkreślić, możemy wybrać dowolny $ p \ w M $ i zbiór otwarty $ U \ podzbiór M $ zawierający $ p $ i mamy gwarancję, że będziemy w stanie skonstruować homeomorfizm $ \ psi: U \ to \ tylda U $ gdzie $ \ tylda U \ podzbiór \ mathbb R ^ n $. Ponadto ta definicja lokalnego euklidesa jest całkowicie równoważna z możliwością skonstruowania homeomorfizmu do otwartej piłki w samej $ \ mathbb R ^ n $ lub $ \ mathbb R ^ n $. Pierwsze dwa wymagania są raczej formalne, a trzeci jest niezbędny do zrozumienia.

Charts

Aby kontynuować tworzenie pojęcia rozmaitości gładkiej, wprowadzamy wykresy współrzędnych . W szczególności wykres współrzędnych to para $ (U, \ varphi) $, gdzie $ U \ podzbiór M $ jest zbiorem otwartym, a $ \ varphi (U) \ podzbiór \ mathbb R ^ n $ jest homeomorfizmem, o którym mówiliśmy, do $ \ mathbb R ^ n $.

Mapa $ \ varphi $ to mapa ze współrzędnymi lokalnymi, której składowymi są współrzędne, a $ U $ to sąsiedztwo współrzędnych.

SGładka struktura

Aby móc wykonać rachunek różniczkowy na takiej rozmaitości, musimy dodać do niej gładką strukturę. Jeśli $ (U, \ varphi) $ i $ (V, \ psi) $ to dwa wykresy takie, że $ U \ cap V \ neq \ varnothing $, to mapa

$$ \ psi \ circ \ varphi ^ {- 1}: \ varphi (U \ cap V) \ to \ psi (U \ cap V), $$

zwana mapą przejść , jest homeomorfizmem. Te dwa wykresy są gładko zgodne , jeśli ta mapa przejść jest dyfeomorfizmem, co oznacza, że ​​wszystkie składniki mają częściowe pochodne wszystkich rzędów, jest bijektywna, a odwrotność jest ciągła.

Możemy zdefiniować atlas $ \ mathcal A $ jako zbiór wykresów obejmujących całą rozmaitość, tak że każdy punkt musi należeć do domeny jednego z tych wykresów. Zauważ, że oznacza to, że nie wymagamy, aby jeden układ współrzędnych obejmował całą kolektor.

Możesz zgadnąć, że teraz nazwiemy $ \ mathcal A $ gładkim atlasem , jeśli wszystkie wykresy będą płynnie zgodne, jak zdefiniowano powyżej.

Zanim przejdziemy do puenty, moglibyśmy mieć rozmaitość $ M $, która ma wiele gładkich atlasów, więc w poniższej definicji wybieramy maksymalny lub ten, który jest kompletny w tym sensie, że każdy wykres, który jest płynnie zgodny, jest zawarty w $ \ mathcal A $.

Gładka rozmaitość jest więc parą $ (M, \ mathcal A) $ i możemy zdefiniować funkcję $ f: M \ do \ mathbb R ^ n $, aby była gładka, jeśli $ f \ circ \ varphi ^ {- 1} $ jest gładkie dla każdego wykresu.

H Jak modelować czasoprzestrzeń za pomocą rozmaitości?

W ogólnej teorii względności traktujemy czasoprzestrzeń jako rozmaitość riemannowską , co dodatkowo ogranicza pojęcie rozmaitości gładkiej.

Każdy kolektor riemannowski jest wyposażony w metryczny tensor $ g_p (X, Y) $, który przyjmuje dwa wektory styczne $ X, Y \ w T_p M $, które leżą w przestrzeni stycznej w punkcie $ p $ i daje używamy pojęcia długości wektora i kąta między wektorami w sposób uogólniony.

Równania pola Einsteina, które wiążą materię z krzywizną czasoprzestrzeni modelowaną jako rozmaitość, wyraźnie zależą od tej metryki $ g $.

Rozmaitość to pojęcie matematyczne.

W matematyce rozmaitość to przestrzeń topologiczna, która lokalnie przypomina przestrzeń euklidesową w pobliżu każdego punktu.Dokładniej, każdy punkt rozmaitości wymiarowej $ n $ ma sąsiedztwo, które jest homeomorficzne względem przestrzeni euklidesowej wymiaru $ n $.

Jego użycie pozwala na uogólnienia z klasycznych przestrzeni euklidesowych, a ponieważ Ogólna Teoria Względności przez konstrukcję zniekształca przestrzeń i czas, rozmaitość jest właściwym słowem do opisania „współrzędnych” jako zniekształconych z przestrzeni euklidesowych.

Historycznie rzecz biorąc, rozmaitości wyrosły z następującej idei

Często badamy różne powierzchnie, takie jak kula lub cylinder, umieszczając je w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej, a stamtąd badamy geometrię. Są jednak dziwactwa:

• Krzywe tak naprawdę nie mają żadnego „wewnętrznego” kształtu, ale istnieje wiele rodzajów krzywizny, które wynikają z tego, jak rysujemy krzywą w przestrzeni euklidesowej!
• Zwykły walec jest płaską powierzchnią, mimo że można by na niego naiwnie spojrzeć i pomyśleć, że jego okrągły kształt oznacza, że ​​jest zakrzywiony.
• Wiemy z geometrii sferycznej i geometrii hiperbolicznej, że kształty mogą mieć nietrywialną wewnętrzną geometrię.

Istnieje więc nietrywialny problem dotyczący rozróżnienia między tym, które części geometrii są faktycznie nieodłączne dla kształtu, który badamy, a które części geometrii są zewnętrzne - przypadek, w jaki sposób umieszczamy kształt w przestrzeni euklidesowej.

Idea rozmaitości została wymyślona, ​​aby rozwiązać ten problem - daje użyteczny sposób pracy z interesującymi kształtami w sposób czysto wewnętrzny, co zapewnia, że ​​cała geometria, którą badamy w ten sposób, jest naprawdę nieodłączna dla rozmaitości.

Podstawowym pomysłem jest pokrycie kształtu wykresami ze współrzędnymi i opisanie geometrii za pomocą rachunku różniczkowego na wykresach ze współrzędnymi. Pomyśl o użyciu map do przedstawienia powierzchni Ziemi.

Jeśli chodzi o fizykę, różnorodność odgrywa zupełnie inną rolę. Mamy stulecia doświadczenia w robieniu fizyki na mapach współrzędnych i wiemy, że z grubsza tak wygląda wszechświat w wystarczająco małych skalach, ale topologia wszechświata w dużej skali może być bardziej zaangażowana.

Wprowadź rozmaitości, gotową teorię matematyczną dotyczącą łączenia razem wykresów współrzędnych w celu opisania bardziej interesującej przestrzeni topologicznej.

Nawet jeśli ktoś nie jest zainteresowany bardziej interesującymi rozmaitościami, wciąż wchodzą one w grę dzięki nowoczesnej matematyce - geometria różniczkowa jest językiem do wykonywania zaawansowanych obliczeń w rachunku różniczkowym, szczególnie gdy w grę wchodzą idee geometryczne, a teoria i praktyka geometrii różniczkowej są generalnie rozwijane na rozmaitościach.

Powszechna definicja $ n $ -rozmaitości to: przestrzeń topologiczna, która przypomina przestrzeń euklidesową w sąsiedztwie każdego punktu (a rozmaitość to dowolna $ n $ -manifold). Oznacza to, że jeśli weźmiesz dowolny punkt w kolektorze, zawsze istnieje wystarczająco mała kulka wokół punktu, w którym przestrzeń może być stale deformowana w płaską przestrzeń. Prostym przykładem jest koło. Jest to rozmaitość 1 $, ponieważ jeśli weźmiesz jakąkolwiek połączoną podprzestrzeń, możesz ją wyprostować do linii (przestrzeń euklidesowa 1 $), nawet jeśli nie możesz tego zrobić z całym okręgiem. To samo można powiedzieć o każdej prostej gładkiej krzywej („prosta” oznacza nieprzecinającą się sama, a „gładka” oznacza różniczkowalną). Podobnie, kula, torus i inne gładkie powierzchnie kosztują 2 $ -rozmaitości.

Bardziej subtelną kwestią jest rozróżnienie między rozmaitością a jej osadzeniem. Potężne twierdzenie Nasha pokazuje, że dla każdego $ n $ -rozmaitości $ M $ istnieje takie $ m \ geq n $, że $ M $ jest osadzone w $ \ mathbb {R} ^ m $. W sensie abstrakcyjnym można sparametryzować krzywą w sposób, który spełnia definicję rozmaitości, nawet jeśli wszystkie jej osadzenia w $ \ mathbb {R} ^ 2 $ przecinają się same (być może osadza się bez przecięcia w $ \ mathbb { R} ^ 3 $). Ale ustalone osadzenie samo przecinającej się krzywej z technicznego punktu widzenia nie jest rozmaitością, ponieważ ma punkt, który wygląda jak $ + $ (nie $ \ mathbb {R} $). Podobnie, butelka Kleina może być osadzona w $ \ mathbb {R} ^ 4 $ jako 2 $ -rozmaitość, mimo że jej osadzenia w $ \ mathbb {R} ^ 3 $ przecinają się same.

Czasoprzestrzeń kosztuje 4 dolary w wymiarze. Zwykłe zastosowanie koncepcji rozmaitości pasuje tutaj, jeśli pomyślimy o przestrzennej części czasoprzestrzeni, która ulega ciągłym deformacjom w czasie. W tym modelu, w dowolnym ustalonym momencie wszechświat może być traktowany jako zbiór o wartości 3 $, ale musi on spełniać dodatkowe ograniczenia. Po pierwsze, zakładamy, że wszechświat jest homeomorficzny i izotropowy. Po drugie, taka 3-dolarowa rozgałęzienie musi mieć sens jako przekrój 4-dolarowej struktury wymiarowej.

Rozmaitości homeomorficzne i izotropowe o wymiarach 3 $ były bardzo aktywnym przedmiotem badań matematycznych ze względu na przełomową pracę Billa Thurstona, która rozpoczęła się w latach siedemdziesiątych XX wieku. Wśród tych rozmaitości jest jedna płaska (przestrzeń euklidesowa 3 $), jedna z dodatnią krzywizną (kula 3 $) i istnieje nieskończenie wiele struktur hiperbolicznych. Niektórzy matematycy uważają, że przestrzenną część czasoprzestrzeni można modelować za pomocą rozmaitości hiperbolicznej, chociaż w fizyce nie jest to powszechnie uważane (wyjaśnione poniżej). We wczesnych latach 80-tych Jeff Weeks odkrył zamknięty hiperboliczny 3 $ -krotność minimalnej objętości i niektórzy mieli nadzieję, że jest to model wszechświata, jednak nie spełnia on wymagań dotyczących przestrzennego przekroju czasoprzestrzeni. . Niedawno, w oparciu o dane dotyczące mikrofalowego promieniowania tła, tygodnie przypuszczały, że prawidłowym modelem jest przestrzeń dwunastościenna Poincare'a (jak kość o boku 12 $, w której za każdym razem, gdy wychodzisz przez jedną twarz, wracasz przez inną z pewną rotacją), która również jest hiperboliczna.

Wielu fizyków uważa, że ​​wszechświat jest płaski na podstawie naszych pomiarów krzywizny jego obserwowalnej części. Jednak (i ​​to stwierdzenie jest stronnicze, pochodzące z mojej perspektywy jako matematyka specjalizującego się w topologii), jeśli obserwowalny wszechświat jest stosunkowo niewielką częścią ogólnego wszechświata, to definicja rozmaitości mówi nam, że powinniśmy oczekiwać, że będzie wyglądał płasko niezależnie od jego faktycznej struktury topologicznej. Pozostaje przedmiotem zainteresowania, jaka jest topologia (części przestrzennej) ogólnego wszechświata w czasoprzestrzeni, jako rozmaitości.

Alternatywnie, można by rozważyć wszechświat z czasem jako zbiór 4 $, chociaż nie są one tak dobrze rozumiane. W fizyce istnieją również teorie wszechświata o wyższych wymiarach. W matematyce nie ma ograniczeń co do $ n \ in \ mathbb {N} $ w definiowaniu $ n $ -rozmaitości. Istnieją również dobrze rozwinięte teorie rozmaitości nieskończenie-wymiarowych (np. rozmaitości Banacha), a także $ n \ in \ mathbb {Q} ^ + $, czyli rozmaitości ułamkowo-wymiarowe (fraktale), ale te pojęcia są mniej związane z modelem czasoprzestrzeni.

Były bardzo dobre odpowiedzi, które bardzo dobrze opisały, koncepcyjnie i dokładnie, czym jest rozmaitość, w jaki sposób można jej użyć do opisania z natury zakrzywionej przestrzeni oraz jak idea ciągłości i różniczkowości powstaje połączenie wszystkich lokalnych list przebojów.

Chciałbym przedstawić sposób, w jaki fizycy doszli do 4-wymiarowej czasoprzestrzeni. Uwzględnienie czasu było krytyczne i było punktem wyjścia ze szczególnej teorii względności. Albo inaczej mówiąc, dlaczego fizycznie sensowne było użycie konstrukcji geometrycznej, aw szczególności geometrii riemannowskiej, do modelowania / opisu dynamicznej przestrzeni i czasu, czasoprzestrzeni, w sposób zgodny ze szczególną teorią względności i grawitacją. Może nie jestem całkowicie dokładny w historii, ale jest bliżej fizycznego myślenia. I wyjaśnia bardziej fizycznie, w jaki sposób rozmaitości, czyli geometria Riemannowska, są odpowiednią konstrukcją do opisu czasoprzestrzeni i jej dynamiki. Nie chodziło po prostu o to, że był to byt riemannowski, ale że był to żywy, dynamiczny byt.

Historycznie rzecz biorąc, pojawiło się to trochę inaczej w fizyce niż w matematyce, chociaż zasadniczo oznaczało to samo, a wraz z matematyką opracowaną następnie dla geometrii riemannowskiej, było to kluczowe narzędzie umożliwiające dostanie się do równań i przemyślenie pojęć. W fizyce idea czasoprzestrzeni pojawiła się po raz pierwszy wraz z Einsteinem i była to płaska czasoprzestrzeń (chociaż nazwa czasoprzestrzeni pojawiła się później), z metryką lorentzowską (i płaską), która była odpowiednia do zastosowania w szczególnej teorii względności. Początkowo nie sądzono, że czasoprzestrzeń, a raczej kompilacja współrzędnych x, y, z i t w jakikolwiek sposób definiuje dynamiczną lub zmienną istotę. Po prostu sądzono, że każdy inercyjny obserwator może wybrać ich, i mieliśmy transformacje Lorentza.

Einstein (wraz z innymi prawdopodobnie wnoszącymi swój wkład, jest dyskusja na temat tego, ile), poprzez historię opisaną w różnych książkach, doszedł do zasady równoważności, zgodnie z którą siła grawitacji wydaje się mieć taki sam efekt, jak po prostu pozostawanie w ciągłym przyspieszony układ odniesienia, a Einstein został poprowadzony do spojrzenia na (pseudo) geometrię riemannowską jako sposób opisu ruchu w kategoriach geodezji, a to, co stało się znane jako czasoprzestrzeń jako 4-wymiarowa jednostka pseudo-Riemannowska, z fizyką niezależną od wybrane układy współrzędnych, tj. obserwatora. Widząc, że w granicy słabego pola i przy małych prędkościach sprowadzało się ono do grawitacji Newtona i kilku innych rzeczy, uzyskał równania pola. Użył pełnej konstrukcji geometrii riemannowskiej, która nie była wtedy dobrze znana, ale istniała. Dotarł do tego, ponieważ musiał opisać coś niezależnie od układów współrzędnych, czy to inercjalnego, przyspieszającego czy czegokolwiek innego. Nie wiem, czy istniało wówczas rozmaite słowo na to. Ale zróżnicowanie było częścią riemannowskiej „przestrzeni”.

To, że geometria jest w stanie opisać grawitację, jest dość głębokim odkryciem Einsteina i niektórych jego kolegów. Miało to związek z zasadą równoważności, która wywodzi się zasadniczo z równoważności masy bezwładności (ruch, zmiana w czasoprzestrzeni) i masy grawitacyjnej (siły). Ta równoważność nie dotyczy żadnej z innych sił i jak dotąd nie można było ujednolicić teorii grawitacji Einsteina z żadną inną siłą.

Tak uważają moi niefizycy. Kolektor to zakrzywiona przestrzeń, która jest lokalnie płaska. Pomyśl o powierzchni Ziemi, która jest dwuwymiarową rozmaitością (można ją opisać za pomocą dwóch współrzędnych - szerokości i długości geograficznej). Małe skrawki powierzchni Ziemi można opisać za pomocą geometrii euklidesowej; większe obszary nie mogą, ponieważ ta geometria się psuje.

W kontekście względności, rozmaitość (a) ma cztery wymiary (trzy z przestrzeni i jeden z czasu) i jest nazywana czasoprzestrzenią; b) jest zróżnicowany; oraz (c) jest opisana funkcją zwaną metryką, która podaje różnicę czasu i odległość między nieskończenie bliskimi punktami. Różne układy współrzędnych mają różne metryki opisujące tę samą odległość między nieskończenie bliskimi punktami. Korzystając z metryki, można skonstruować tensor o czterech indeksach zwany tensorem krzywizny Riemanna. Wtedy i tylko wtedy, gdy ten tensor jest równy zero, przestrzeń w tym punkcie jest płaska, w przeciwnym razie jest zakrzywiona.

Specjalna teoria względności dotyczy płaskiej czasoprzestrzeni (zwanej czasoprzestrzenią Minkowskiego), tj. dotyczy sytuacji, w których efekty grawitacji są nieistotne. Krzywe energia-masa czasoprzestrzeń. Wolne ciała lub promienie światła będą podążać najkrótszą drogą (aka geodezyjną) między dwoma punktami w czasoprzestrzeni. Aby obliczyć tę ścieżkę, musisz znać metrykę. Dwie najpowszechniejsze metryki to metryka Minkowskiego (opisująca płaską czasoprzestrzeń) i metryka Schwarzschilda (opisująca czasoprzestrzeń wokół sferycznie symetrycznego obiektu, takiego jak nasze Słońce).

Istnieje już kilka dobrych odpowiedzi. Postaram się więc napisać krótką odpowiedź, która po prostu odpowiada na pytanie bez szczegółowych dyskusji.

Po wynalezieniu Szczególnej Teorii Względności Einstein próbował wymyślić niezmienną Lorentza teorię grawitacji, ale bezskutecznie. Ostatecznie problem został rozwiązany poprzez zastąpienie czasoprzestrzeni Minkowskiego zakrzywioną czasoprzestrzenią, czyli przez geometryzację grawitacji. W zakrzywionej czasoprzestrzeni krzywizna jest generowana (i na którą reaguje) za pomocą energii i pędu.

Rozmaitość to jedno z podstawowych pojęć w matematyce, w szczególności w geometrii. Wszyscy znamy n-wymiarową przestrzeń euklidesową $ \ mathbb {R} ^ n $ i zbiór n-krotek $ (x ^ 1, x ^ 2, ..., x ^ n) $ . Pojęcie rozmaitości oddaje ideę przestrzeni, która może być zakrzywiona i mieć skomplikowaną topologię, ale która przypomina topologię $ \ mathbb {R} ^ n $ span > w regionach lokalnych. Cały kolektor jest zbudowany przez gładkie zszycie tych lokalnych regionów.

Struktura różnorodna zapewnia zatem naturalne otoczenie, na którym można zbudować teorię grawitacji w oparciu o zasadę równoważności Einsteina: zakrzywiona czasoprzestrzeń przypomina lokalnie płaską czasoprzestrzeń, w której obowiązują prawa szczególnej teorii względności.