Od czasów fizyki Newtona chodzi o obserwację przyrody, kwantyfikację obserwacji za pomocą pomiarów i znalezienie modelu matematycznego, który nie tylko opisuje / mapuje pomiary, ale, co najważniejsze, jest predykcyjny. Aby to osiągnąć, fizyka używa rygorystycznego, spójnego modelu matematycznego, narzucając dodatkowe postulaty jako aksjomaty, aby powiązać połączenie pomiarów z matematyką, wybierając podzbiór rozwiązań matematycznych do modelu.

Matematyka jest spójna samoistnie dzięki konstrukcji modelu matematycznego. Jego przydatność w fizyce polega na tym, że może przewidywać nowe mierzone zjawiska. Gdyby matematyka była sklejona i niespójna, w jaki sposób przewidywania modelu miałyby jakąkolwiek trafność?

To żądanie spójności własnej pozwala na fałszowanie proponowanego modelu matematycznego poprzez przewidywanie nieprawidłowych liczb. Na przykład spójny euklidesowy model płaskiej ziemi został sfałszowany na kuli ziemskiej. Doprowadziło to do geometrii sferycznej jako modelu globu. Cały wysiłek badawczy mający na celu walidację modelu standardowego w LHC, na przykład, ma nadzieję, że zostanie on sfałszowany i otworzy okno dla nowych teorii.

Odpowiedź @ annav już dobrze opisuje, jak działają teorie fizyczne i jak wymagają one spójności. Chciałbym dodać kilka komentarzy z innej perspektywy.

TL; DR Teorie fizyczne muszą być spójne z samym sobą ORAZ spójne z obserwacjami.

Matematyczna spójność własna

Po pierwsze, jeśli traktujemy teorię fizyczną jako matematyczny system aksjomatów (tj. zbiór reguł), musi ona być spójna samoistnie, ponieważ w przeciwnym razie przestaje mieć sens. Oto przykład zestawu reguł, który jest not samo-spójny:

1. Niebo jest niebieskie.

2. Niebo jest zielone.

Cóż, to nie ma sensu. Wiem, że przykład jest głupi, ale to tylko zilustrowanie tego. Spójność siebie oznacza po prostu, że nie ma takich reguł, które są ze sobą sprzeczne.

o fizyka próbuje zrobić

Fizyka próbuje znaleźć takie reguły, które opisują to, co widzimy w naturze. Oczywiście istnieją różne filozoficzne stanowiska dotyczące tego, ile reguł powinno być, ile parametrów możemy wprowadzić (np. teoria strun próbuje to zmniejszyć) i tak dalej. Ale tak czy inaczej, chcemy zestawu reguł opisujących to, co widzimy. Cytując z pytania:

Rozumiem potrzebę rygorystycznych podstaw w matematyce, ale w fizyce przeprowadzamy eksperymenty, które decydują, co jest prawdą, a co nie.

To oczywiście prawda. Ale jest to dodatkowy wymóg dla zestawu reguł. Muszą być również zgodne z eksperymentem. Główną kwestią, którą staram się wskazać, jest: jak moglibyśmy uzyskać zgodność reguł z eksperymentem, skoro nie są one nawet spójne ze sobą?

Gdyby jedynymi twierdzeniami matematycznymi dopuszczonymi w teorii fizycznej były te, które mają natychmiastową treść empiryczną (tj. można je przetestować za pomocą jednoznacznego eksperymentu), to miałbyś bardzo dobry argument do przedstawienia. Czemu? Ponieważ spójność świata doświadczeń gwarantowałaby spójność formalizmu matematycznego. Koniec historii.

W rzeczywistości jednak matematyka, na której opiera się teoria fizyczna, jest skomplikowanym rusztowaniem, które styka się z faktami empirycznymi tylko w wybranych punktach.

Oto, co mam na myśli ...

Na przykład nie można zmierzyć grupy jednostkowej $ U_t = \ exp (iHt) $ wygenerowanej przez hamiltonian systemu kwantowego; tak naprawdę mierzysz histogram względnych częstości wyników, które porównuje się z kwadratem funkcji falowej $ | \ psi (x) | ^ 2 $, której postać w dowolnym momencie jest określana przez niewidoczne matematyczne rusztowanie ($ \ psi_t ( x) = U_t \ psi_0 (x) $ w tym przypadku).

Jeśli występuje niespójność w nieempirycznej części schematu matematycznego, możliwe jest (z definicji) sformułowanie sprzecznych przewidywań empirycznych. A to, jestem pewien, że się zgodzisz, jest problemem.

Nie oznacza to oczywiście, że nie możemy sobie poradzić z matematycznie niespójną teorią w fizyce. Wejdź do kwantowej teorii pola! Jednak miejsca, w których może istnieć matematyczna niespójność, wymagają starannego rozgraniczenia i precyzyjnych protokołów upoważnionych do zapewnienia, że ​​dwie osoby wykorzystujące tę samą teorię do rozwiązania tego samego problemu dokonają tych samych empirycznych przewidywań.

Gdyby teorie zostały użyte tylko do opisania tego, co już wiemy i obserwujemy, być może nie musiałyby one być konsekwentne;mogą nawet przerodzić się w duże listy obserwowanych zjawisk.Tak wyglądała nauka w Sumerze 5000 lat temu.Jeśli chcemy, aby teorie fizyczne były predykcyjne, muszą być spójne wewnętrznie w tym sensie, że muszą dokonywać tych samych (ważnych) przewidywań, niezależnie od matematycznego sposobu, w jaki w nich pracujesz.Zakładając właściwe rozgraniczenie dziedzin, powinny one być również kompatybilne ze sobą, umożliwiając matematycznemu rozumowaniu bezproblemowe działanie w zakresie szeregu zjawisk fizycznych.Wtedy możemy mieć wrażenie, że dotknęliśmy czegoś głębokiego, związanego z samą naturą rzeczywistości.Fizyka opiera się na założeniu, że to, co obserwujemy, jest czymś więcej niż powierzchownymi korelacjami.

Teorie matematyczne, które nie są spójne, dowodzą sprzeczności (jest to tylko stwierdzenie o matematyce i co to znaczy być niespójnym, a nie w szczególności z fizyką).

Nie chcemy teorii fizyki, które przewidują sprzeczne rzeczy. Idealnie byłoby, gdybyśmy nie chcieli teorii, które czynią jakiekolwiek błędne przewidywania, ale jeśli nasza teoria zawiera dwa lub więcej sprzecznych przewidywań dotyczących tej samej obserwacji, to jedna z nich jest błędna, więc teoria jest błędna.

Dlatego nie chcemy teorii fizyki, które są matematycznie niespójne.

W rzeczywistości jest to raczej gorsze niż to - w niespójnej teorii używającej klasycznej logiki każde zdanie jest twierdzeniem. Nie chodzi więc tylko o to, że niespójny model tworzy niektóre błędne prognozy, ale tworzy każdą błędną prognozę, jaką możesz sobie wyobrazić, a także tworzy każdą poprawną prognozę, jaką możesz sobie wyobrazić. To sprawia, że ​​jest bezużyteczny do uprawiania fizyki, ponieważ w żaden sposób nie pomaga ci odróżnić rzeczy prawdziwych od fałszywych.

Istnieją niestandardowe logiki, które pozwalają na pewne sprzeczności bez tego, że cała rzecz wybuchnie ci w twarz, i być może niektórzy fizycy z powodzeniem je wykorzystali, nie wiem. Jeśli tak, to mogą istnieć specjalne wyjątki od reguły, „teorie fizyczne muszą być spójne”, ale większość fizyków używa logiki standardowej i dlatego nie może zrobić nic użytecznego z niespójną teorią.

Fizyka to sztuka kompresji naszej wiedzy o wszechświecie

Tak się składa, że ​​za każdym razem, gdy zbliżamy do siebie dwa masywne ciała (lub zauważamy je blisko siebie), wydają się one zbliżać do siebie. Teraz moglibyśmy po prostu zarejestrować fakt, że każde masywne ciało (indywidualnie) porusza się w kierunku każdego innego masywnego ciała (indywidualnie). To jest duża ilość informacji.

Jeśli wymyślimy strategię kompresji, powiedzmy, prawo grawitacji, to otrzymamy opis sytuacji, który wykorzystuje znacznie mniej informacji, ale nadal opisuje, co się dzieje. Nie musimy już szczegółowo opisywać położenia i przyciągania każdego obserwowanego masywnego ciała i ich tendencji do przyspieszania względem siebie: zamiast tego szacujemy ich masę i mówimy, że „prawo grawitonu dotyczy wszystkiego, co ma masę”.

To fantastyczna kompresja w naszym opisie wszechświata i przewidywaniu, co będzie dalej.

Powtarzaj ten proces wiele razy, a otrzymasz współczesną fizykę, w której nasze obserwacje są destylowane do równań i algorytmów, co oznacza, że ​​nie musimy po prostu wymieniać wszystkich naszych doświadczeń i przewidywań, ale raczej „wyłapać” i powiedzieć „ użyj tych sztuczek ”, a wszechświat przynajmniej wydaje się znacznie prostszy.

W złożonych sytuacjach często algorytmy i równania nie działają dobrze (ponieważ ich „pełna” ocena jest trudna w tej skali). Ale przy pewnych założeniach możemy zbudować reguły działające w różnych skalach całkiem dobrze , takie jak prawo gazu doskonałego i poprawki do niego.

Możemy to wykorzystać do sprawdzenia naszych technik na małą skalę, sprawdzając, czy możemy wyprowadzić reguły dużej skali z reguł małej skali. Jeśli tak, zasady na dużą skalę nie są dodatkowymi regułami, a jedynie konsekwencjami tych na małą skalę.

Z drugiej strony, jeśli okaże się, że reguły na dużą skalę nie są konsekwencjami reguł na małą skalę, oznacza to, że reguły na małą skalę są błędne w sposób, którego jeszcze nie rozumiemy. Oznacza to, że jakość ich kompresji jest gorsza niż idealna i mogą pojawić się nowe reguły, które pozwolą nam wyprowadzić z nich rzeczywiste reguły na dużą skalę.

Jeśli masz niespójną teorię, oznacza to, że używanie jej czasami przewiduje rzeczy, których nie doświadczamy. To sprawia, że ​​jest to gorszy algorytm kompresji, ponieważ teraz musisz mówić zarówno o algorytmie i , gdzie nie ma on zastosowania. Opisanie, gdzie nie ma zastosowania, to dodatkowe fragmenty informacji i może wymagać własnego wzorca: jeśli musisz indywidualnie opisać każdy przypadek, w którym nie ma zastosowania, ta kompresja jest niewiele lepsza niż tylko zbiór obserwacji i prognoz bez podstawowej teorii .

Tak więc spójna teoria daje możliwość opisania wszechświata (teraźniejszości i przyszłości) bardziej zwięźle niż niespójna.

Teorie fizyczne nie są zbiorem matematycznych aksjomatów są próbami opisu natury.

Nie tylko to. Fizyczne teorie również mają przewidywać. To jest część metody naukowej. Nie oczekuje się przewidywania nowych zjawisk - które można później zweryfikować - przy użyciu niespójnej teorii. Nie możemy oszukiwać. Kierując się matematyką samozgodności, Dirac był w stanie przewidzieć antycząstki, Higgsa, bozon Higgsa i fale grawitacyjne Einsteina.

Czy ma sens mówienie o spójności termodynamiki?

Dla przykładu: na początku XX wieku ludzie znali główne wyniki termodynamiki. Gdybyś zapytał wówczas ucznia, jaka jest temperatura, prawdopodobnie odpowiedziałby, że jest to miara termicznego wzburzenia cząsteczek. Ale ten wynik uzyskuje się przez porównanie ciśnień obliczonych przez teorię kinetyczną i przez prawo gazu doskonałego. Chodzi o to, że temperatura była szeroko stosowana, dopóki nie pojawiła się w równaniu gazu doskonałego. Dlatego nie jest logicznie spójne użycie zmiennej fizycznej do uzyskania wyniku i na podstawie tego wyniku do zdefiniowania tej zmiennej. Aby termodynamika była spójna, trzeba zdefiniować temperaturę na samym początku i to właśnie robi Prawo Zerotha.

Teoria fizyczna wykorzystuje obiekty matematyczne do modelowania układów fizycznych. Mówiąc ogólnie, teoria składa się z (a) zasad, jak odnosić te obiekty do warunków początkowych eksperymentu, (b) matematycznych twierdzeń dotyczących właściwości, które model musi mieć, oraz (c) opisu matematycznych właściwości model prowadzi do testowalnych przewidywań co do wyniku eksperymentu.

Z tych części (b) można myśleć jako o „matematycznej treści” teorii. Na przykład w mechanice Newtona model składa się z funkcji, które określają pozycje i orientacje różnych ciał jako funkcje zmiennej czasowej, a także inne funkcje, które pokazują, skąd pochodzą siły, a $ F = ma $ jest wtedy wymaganiem, które różne funkcje tworzące model są powiązane w określony sposób.

Teoria, która nie jest spójna samoistnie w takiej, w której reguły z części (b) nakładają na obiekt modelowy tak wiele ograniczeń, że w rzeczywistości nie ma obiektu matematycznego, który spełniałby je wszystkie .

Nie jest niczym niezwykłym, że takie teorie mogą być praktycznie przydatne, ponieważ teoretykom udaje się wyciągnąć z nich prognozy, które wytrzymują eksperymenty - ale sytuacja jest niewygodna, ponieważ matematycznie to prawda że opisy w (c) prowadziłyby bezmyślnie do jakiegokolwiek przewidywania na temat danego eksperymentu. Otrzymujemy działające prognozy z teorii tylko dlatego, że teoretycy ograniczają się do pewnych konkretnych sposobów rozumowania, a nie „czegokolwiek, co jest matematycznie uzasadnionym wnioskiem z reguł (b)". Te ograniczenia dotyczące rodzaju rozumowania „dozwolonego” przez teorię na ogół nie są ani wyraźnie określone, ani nawet całkowicie zrozumiałe przez użytkowników lub twórców teorii.

Krótko mówiąc: spójność siebie jest wymagana, ponieważ oczekujemy, że natura będzie trzymać się praw, które można opisać matematycznie.Opisy matematyczne z definicji muszą być spójne same w sobie.

Fizyka teoretyczna to próba opisania systemu (podzbioru przyrody) za pomocą matematyki , dokonując pewnych założeń i idealizacji, jeśli to konieczne. Innymi słowy, językiem fizyki teoretycznej jest matematyka. Z grubsza rzecz biorąc, potrzebujesz aksjomatyzacji pojęcia stanów , obserwabli i prawa dynamicznego . Większość teorii fizycznych ma więcej niż jeden równoważny opis (np. Prawo dynamiki Newtona jest równoważne sformułowaniu Hamiltona, które z kolei jest równoważne zasadzie najmniejszego działania).

To, co nadaje znaczenie zestawowi równań matematycznych, polega na tym, że możesz wyodrębnić prognozy dla wyników eksperymentów, a jeśli te przewidywania są rzeczywiście potwierdzone w eksperymencie, to mówisz, że ten zestaw równań opisuje twoje systemy. Założenia i idealizacje określają również zakres trafności: nie oczekuje się, że nierelatywistyczna mechanika kwantowa będzie dokładnie opisywać eksperymenty w LHC. Oczywiście może się zdarzyć, że pojedynczy zestaw równań może nie być w stanie opisać wszystkich cech twojego systemu, a to dlatego, że różne efekty mogą wykraczać poza zakres ważności jednej teorii. Na przykład niemożliwość perpetuum mobile może być wyprowadzona z Drugiej zasady termodynamiki, więc gdyby bylibyśmy w stanie ją zbudować, to wywnioskowalibyśmy, że druga zasada byłoby niepoprawne. Fizycy uważają Drugą zasadę termodynamiki za pewnik, ponieważ była wielokrotnie testowana eksperymentalnie i okazała się prawdziwa.

Niespójności w Twoim sformułowaniu matematycznym są problematyczne, jeśli można ich użyć do sformułowania sprzecznych przewidywań.Oczywiście nie wszystkie matematyczne niespójności muszą wiązać się z fizycznymi przewidywaniami, ale zazwyczaj matematyczne niespójności wskazują na błędy w twoim teoretycznym opisie twojego fizycznego systemu - i na brak zrozumienia pewnych aspektów.Tak więc wiedza o matematycznych niespójnościach może być w rzeczywistości przydatna dla fizyków, ponieważ informuje ich, w którym kierunku należy dalej badać.

Dobre pytanie. Czy interpretacja wieloświatowa, która kładzie nacisk na spójność wewnętrzną i wnioski, takie jak grawitacja musi być kwantyfikowana, jest rzeczywiście lepsza od interpretacji kopenhaskiej, która po prostu pozostaje agnostyczna w tych sprawach? Jedną z zalet nalegania na spójność wewnętrzną jest to, że teoria staje się bardziej falsyfikowalna, ponieważ wystarczy obalić jeden z jej wniosków, aby obalić samą teorię. Kolejną zaletą jest możliwość interpretacji teorii przez „fikcyjną rzeczywistość”, jak wskazał H. Dieter Zeh.

Z drugiej strony powinniśmy przyznać, że agnostyczne stanowisko interpretacji kopenhaskiej jest bardziej uczciwe w odniesieniu do tego, co naprawdę wiemy, a także bardziej uczciwe w odniesieniu do możliwych konsekwencji obalenia teorii. Żaden z praktycznych wniosków, jakie wyciągnęliśmy z mechaniki kwantowej, nie byłby mniej ważny, gdybyśmy je obalili, tak jak żadne z praktycznych wniosków z teorii Newtona nie straciło na ważności po ujawnieniu przez mechanikę kwantową jej ograniczeń. Bezpodstawne ekstrapolacje z teorii Newtona, takie jak demon Laplace'a, z pewnością utraciły ważność, ale i tak należało ich unikać.

Możemy założyć, że zarówno ogólna teoria względności, jak i mechanika kwantowa poprawnie opisują świat fizyczny i wykorzystujemy to założenie do przewidywania takich zjawisk jak promieniowanie Hawkinga czarnych dziur. Ta prognoza może być słuszna lub błędna, ale nie staje się błędna tylko dlatego, że połączona teoria mechaniki kwantowej i ogólnej teorii względności nie jest spójna.