Pozwólcie, że dodam tylko kilka rzeczy do tego, co już zostało wspomniane. Myślę, że najlepszym źródłem QFT dla matematyków są dwa tomy MSR. Ale ponieważ są one dość długie, a niektóre części nie są łatwe dla matematyków (uczestniczyłem trochę w ich spisywaniu i wiem, że w dużej mierze zostały one napisane przez ludzi, którzy wtedy nie rozumieli dobrze, o czym piszą), więc jeśli naprawdę chcesz zrozumieć temat w sposób matematyczny, proponuję następującą kolejność:

1) Upewnij się, że dobrze rozumiesz mechanikę kwantową (istnieje wiele matematycznych wprowadzeń do mechaniki kwantowej; ten, który szczególnie lubię to książka autorstwa Faddeeva i Yakubovsky'ego http://www.amazon.com/Lectures-Mechanics-Mathematics-Students-Mathematical/dp/082184699X)

2) Zrozum o co chodzi (matematycznie) w kwantowej teorii pola. Źródłem, które mi się tutaj podoba, są aksjomaty Wightmana (jak coś, czego możesz sobie życzyć w QFT, ale które prawie nigdy się nie sprawdzają) przedstawione w drugim tomie książki Reeda i Simona na temat analizy funkcjonalnej; aby uzyskać nieco dokładniejszą dyskusję, spójrz na wykłady Kazhdana w tomach IAS.

3) Zrozum, jak działa dwuwymiarowa konformalna teoria pola. Jeśli chcesz mieć bardziej elementarne i bardziej analityczne (i bardziej „fizyczne”) wprowadzenie - spójrz na wykłady Gawedzkiego w tomach MSR. Jeśli chcesz czegoś bardziej algebraicznego, spójrz na notatki Gaitsgory'ego w tym samym miejscu.

4) Przestudiuj perturbacyjną QFT (diagramy Feynmanna): jest to dobrze opisane w tomach IAS (dla matematyka; fizyk potrzebowałby dużo więcej praktyki niż to, co się tam robi), ale na miejscu nie pamiętam dokładnie, gdzie (ale powinno być łatwe do znalezienia).

5) Spróbuj zrozumieć, jak super-symetryczne kwantowe teorie pola praca. Przedmiot ten jest najtrudniejszy dla matematyków, ale jest też źródłem większości zastosowań matematyki. Jest to omówione w wykładach Wittena w II tomie MSR (jest ich chyba około 20) i nie jest to łatwe - na przykład wymaga dobrej praktycznej znajomości niektórych aspektów geometrii superroznicowej (również tam omówione), co jest przedmiotem czysto matematycznym, ale niewielu matematyków o tym wie.

Niewielu matematyków przeszło przez to wszystko, ale jeśli naprawdę chcesz rozmawiać z fizykami, myślę, że coś takiego jak powyższy schemat jest konieczne (nawiasem mówiąc: nie włączyłem teorii strun do swojej listy - to dodatkowy temat; dobre wprowadzenie do tego jest w wykładach D'Hokera w tomach IAS).

Edytuj: Ponadto, jeśli potrzebujesz czysto matematycznego wprowadzenia do topologicznej teorii pola, możesz przeczytać notatki Segala http://web.archive.org/web/20000901075112/http://www. cgtp.duke.edu/ITP99/segal/; to jest bardzo przystępna (i przyjemna) lektura! Nowoczesne (i technicznie znacznie trudniejsze) podejście matematyczne do tego samego tematu zostało opracowane przez Jacoba Lurie http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/cobordism.pdf (nie ma motywacja fizyczna w tym artykule, ale matematycznie jest to prawdopodobnie właściwy sposób myślenia o topologicznych teoriach pola).

Jeśli jesteś matematykiem i chcesz zrozumieć QFT, wcześniej czy później będziesz musiał zmagać się z renormalizacją. Twoje życie będzie łatwiejsze, jeśli od początku zrozumiesz, że filozofia „efektywnej teorii pola” Wilsona-Weinberga itd. Jest podstawową zasadą organizującą cały przedmiot. W szczególności będziesz musiał to wiedzieć, aby mieć jakąkolwiek nadzieję na zrozumienie intuicji stojącej za istniejącymi rygorystycznymi konstrukcjami QFT. Niestety, wyjaśnienia dotyczące renormalizacji w podręcznikach zorientowanych na fizykę cząstek elementarnych, do których matematycy często sięgają w pierwszej kolejności, nie są zbyt świetne.

Może mogę dać trochę motywacji przed dodaniem do listy zalecanych lektur.

W systemie z nieskończenie wieloma stopniami swobody (takim jak teoria pola w czasoprzestrzeni o wymiarze co najmniej 2), musisz w jakiś sposób zorganizować stopnie swobody, zanim będziesz mógł nawet zacząć mówić o ich interakcji. W QFT często organizujemy stopnie swobody, pytając o ich wielkość w porównaniu z pewną stałą skalą odległości. (Przykładem tego jest rozkład Fouriera pola elektromagnetycznego. Myślimy o polu elektromagnetycznym jako o sumie fal sin / cos o różnych długościach). Więc kiedy mówimy o teorii pola, tak naprawdę mamy na myśli sekwencja aproksymacji, która rozpoczyna się od zbioru stopni swobody, których skala charakterystyczna jest porównywalna ze skalą odniesienia, a następnie systematycznie dodaje nowe, których skale charakterystyczne są dalej od naszej skali odniesienia.

Podstawową ideą filozofii efektywnej teorii pola jest to, że zamiast myśleć o stopniach swobody, których używamy w pobliżu skali odniesienia, jako o tych, które pozostają, gdy odrzucamy wszystkie inne, powinniśmy pomyśleć o tych stopniach swobody wolność jako przybliżony „efektywny” opis systemu, który otrzymujemy przez uśrednienie tych innych stopni swobody. Jeśli przyjmiesz ten punkt widzenia, często okaże się, że stopnie swobody na skali referencyjnej przypominają te, które otrzymalibyśmy, ignorując na ślepo stopnie swobody dla mniejszej odległości, a ich interakcje mają tę samą podstawową postać, z wyjątkiem: że wszystkie stałe sprzężenia są różne. Procedura renormalizacji, która pojawia się w całej QFT, polega na obliczeniu, w jaki sposób interakcje między stopniami swobody w skali odniesienia są określane w kategoriach interakcji między stopniami swobody właściwymi dla mniejszej odległości, w szczególności w celu ustalenia, które oddziaływania stają się silniejsze i która jest słabsza.

Ta filozofia ma swoje korzenie w mechanice statystycznej, często zaniedbywanej trzeciej nodze stolca QFT. (Całka po ścieżce QFT jest ściśle związana z obliczeniami funkcji podziału, które pojawiają się w mechanice statystycznej systemów pola). Jeśli chcesz zrozumieć QFT, musisz przestudiować QM, teorię względności i mechanikę statystyczną. Mechanizm statystyczny nie jest tak naprawdę opcjonalny.

Kilka odniesień:

• „Odcięcia & Continuum Limits: A Wilsonian Approach to Field Theory” to doskonałe wprowadzenie.

• Mechanika statystyczna Kersona Huanga ładnie opisuje model Isinga, który jest prawie ur-przykładem tego tematu.

• QFT & Critical Phenomena Zinn-Justina omawia te pomysły z ogromną ilością szczegółów.

• David Brydges „Lectures on the Renormalization Group” w tomie IAS / Park City Mechanika statystyczna jest całkiem niezły.

• Bitwa „Wavelets & Renormalization” poddaje gruntownej i matematycznie rygorystycznej analizie integralną ścieżki euklidesowej dla 3D skalarnej teorii pola, bardzo w duchu filozofii renormalizacji.

• Glimma &a Jaffe'a „Fizyka kwantowa: funkcjonalny integralny punkt widzenia” wyjaśnia wiele mechanizmów matematycznych, takich jak przestrzenie jądrowe i miary cylindryczne, które można wykorzystać do matematycznego przedstawienia idei efektywnej teorii pola precyzyjne i używa tej maszyny do konstruktywnych 2d skalarnych teorii pola i udowodnienia niektórych nietrywialnych faktów na ich temat.

Istnieją dwa aspekty tego pytania:

1) Które źródła próbują przekazać zwykłą niejasną i spekulatywną historię fizyki w sposób, który matematycy z większym prawdopodobieństwem docenią?

2) Które źródła próbują przedstawić faktyczne matematyczne podejście do QFT, czegoś, co pasuje do matematyki?

Po pierwsze, Deligne i wsp. Quantum Fields and Strings to prawdopodobnie najlepsza dotychczasowa odpowiedź.

Ale jest też wiele do powiedzenia na temat drugiego pytania. W ciągu ostatnich kilku lat dokonał się tutaj duży postęp. W grudniu (2011) ukazuje się tom AMS, w którym zebrano ankiety i oryginalne artykuły na ten temat:

Sati, Schreiber (red.) Mathematical Foundations of Quantum Field Theory and Perturbative String Theory AMS (2011) Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, tom: 83.

Wprowadzenie z większą liczbą linków znajduje się pod adresem arXiv: 1109.0955

[Edytuj: biorąc pod uwagę poniższą dyskusję, powinienem powiedzieć, że nie mam na myśli „niejasnych i spekulatywnych” w pejoratywny sposób. Faktem jest, że z punktu widzenia matematyki znaczna część fizyki, z pewnością znaczna część kwantowej teorii pola i teorii strun, choć może być dobrze ugruntowana i solidna, jest niejasna i spekulatywna. Aby zrozumieć prawdę na ten temat, pomocne może być udanie się do czystego matematyka, który jest zainteresowany poznaniem przedmiotu, ale nie ma w tym żadnego przygotowania, i spróbuje go tego nauczyć. Dowiadujemy się z tego, że wiele tekstów napisanych przez fizyków, którzy twierdzą, że są „dla matematyków”, tak naprawdę nie jest. Między fizykami teoretycznymi, którzy są matematycznie świadomi, a czystym matematykiem, który nie ma doświadczenia w zwykłej fizyce, istnieje spory dystans. Wielu fizyków nie zdaje sobie sprawy z tej odległości.]

Moshe poruszył już wiele kwestii. Może zainteresuje Cię Kwantowa Teoria Pola Follanda: przewodnik turystyczny dla matematyków. Próbuje zrobić jak najwięcej rzeczy w matematycznie rygorystyczny sposób i wskazuje punkty, w których nie można tego zrobić.

Jeśli chodzi o tło matematyczne: pewna znajomość równań różniczkowych cząstkowych i teorii dystrybucji będzie wygodny.

Dotyczy to „konwencjonalnej” kwantowej teorii pola. Możesz być także zainteresowany topologiczną kwantową teorią pola, która ma znacznie bardziej matematyczny charakter.

QFT to ogromny temat, leżący u podstaw większości współczesnej fizyki teoretycznej. Myślę, że ogólnie rzecz biorąc społeczność matematyczna była zainteresowana specjalnymi prostymi przypadkami (np. Topologiczna lub racjonalna QFT), więc standardowe zastrzeżenie dotyczące przysłowiowego słonia jest tutaj bardzo istotne.

Jedną dobrą ankietą jest ta roczny kurs podany w IAS dla matematyków, który obejmuje wiele zagadnień. Istnieje dwutomowa książka przydatna nie tylko dla matematyków oraz strona internetowa: http://www.math.ias.edu/qft. To da ci przegląd głównych tematów i (w zależności od tego, co cię interesuje), potrzebnego tła.

Jeśli chodzi o próby sformalizowania ogólnego QFT, jest ich wiele. Ponieważ we współczesnym (post-Wlison) podejściu do tematu, wszystkie definiujące właściwości QFT mają związek z procesem renormalizacji, zadałem tutaj pytanie w tym zakresie Formalizing Quantum Field Theory, odpowiedzi mogą dać ci przedsmak tego, co jest na froncie.

Oprócz tych wspaniałych odpowiedzi chciałbym polecić książki,

1. A Mathematical Introduction to Conformal Field Theory autorstwa M. Schottenlohera
2. Supersymetria dla matematyków: wprowadzenie autorstwa VS Varadarajan
3. Mirror Symmetry autorstwa C. Vafa, E. Zaslow i in. al
4. Some Physics for Mathematicians autorstwa L. Grossa

Pierwsza książka rozwija niektóre analizy niezbędne dla CFT (rozdział 8) jako a także teorię konformalnych zwartości (rozdziały 1, 2) i teorię algebr Witta i Virosoro (rozdziały 4-6). Książka kończy się omówieniem reguł fuzji i formalnym konstruowaniem CFT (zaczynając od czegoś analogicznego do aksjomatów Wightmana). Uważam, że Schottenloher jest analitykiem, więc z tej książki można uzyskać bardziej analityczne wrażenie [czytaj: poznaj analizę funkcjonalną i podstawową teorię reprezentacji].

Druga książka została napisana z perspektywy kogoś, kto jest analitykiem funkcjonalnym z doświadczeniem w teorii reprezentacji. Pierwsze dwa rozdziały zawierają przyzwoite matematyczne wprowadzenie do QFT, a także niektóre z bardziej teoretycznych wyników reprezentacji, które mogą okazać się interesujące. Autor przedstawia również niektóre z geometrii algebraicznej, które można znaleźć w formalnej analizie QFT (co oczywiście jest wyjaśnione w pełnej krasie w Quantum Fields and Strings .

trzecia książka pochodzi z letniej szkoły dla zarówno studentów matematyki, jak i fizyki. W związku z tym wprowadza dużą różnorodność tematów i stanowi nieco formalne wprowadzenie do QFT.

Na koniec notatki z wykładów z zajęć Leonarda Grossa z kwantowej teorii pola są dobrym formalnym wprowadzeniem dla matematyków z a) zapleczem analitycznym ib) fizyką nie wyższą niż mechanika klasyczna. Jest to łatwy do odczytania zestaw notatek z dobrymi odniesieniami historycznymi. Podczas gdy studiowałem zarówno fizykę, jak i matematykę, zauważyłem, że te notatki są moim ulubionym odniesieniem do QFT (być może dlatego, że wolę analizę i geometrię różniczkową od algebry i geometrii algebraicznej).

Jeśli szukasz czegoś łatwiejszego i bardziej pedagogicznego, powinieneś rzucić okiem na wspaniałą książkę Baeza i Muniaina pt. Pola miernicze, węzły i grawitacja . Ta książka rozwija matematyczny formalizm teorii cechowania w przyjazny i zabawny sposób, a jej przeczytanie wymaga bardzo niewielkiej wiedzy. Jeśli chcesz poznać fizyczne aspekty kwantowej teorii pola, możesz zajrzeć gdzie indziej, ale ta książka zawiera całkowicie samodzielne matematyczne wprowadzenie do teorii Cherna-Simonsa, kwantowej teorii pola mającej ważne zastosowania w czystej matematyce.

Inną bardzo przyjazną książką o kwantowej teorii pola dla matematyków jest Frobenius Algebras and 2D Topological Quantum Field Theories autorstwa J. Kocka. Jest to świetne miejsce do rozpoczęcia, jeśli chcesz przestudiować niedawną pracę Jacoba Lurie na temat klasyfikacji topologicznych kwantowych teorii pola. Jedynym problemem związanym z tą książką jest to, że nie mówi ona wiele o tym, jak kwantowe teorie pola są wykorzystywane do obliczania niezmienników przestrzeni topologicznych. Dlatego uważam, że najlepiej będzie uzupełnić tę książkę czymś innym - być może klasycznym papierem Atiyah.

To miał być komentarz, a nie odpowiedź, ale nie mam wystarczającej reputacji. Zasadniczo zrobiłem magisterkę z matematyki (czysta matematyka), potem magister to fizyka (QFT), a następnie doktorat z matematyki (czysta geometria algebraiczna). Więc musiałem uporać się z problemem, który próbujesz rozwiązać. Myślę, że trudno będzie uzyskać dobrą odpowiedź, ponieważ nie określasz, z jakiego powodu chcesz się uczyć QFT. Kilka komentarzy:

Jeśli zamierzasz pracować nad takimi rzeczami, jak równania Seiberga-Wittena z punktu widzenia matematyki, to przypuszczam, że książka Baeza i Muniaina pt. Gauge Fields, Knots and Gravity (wspomniane przez Boba Jonesa powyżej) jest świetne, ponieważ i tak nie będziesz musiał kwantyzować rzeczy.

Jeśli naprawdę chcesz zrozumieć temat obejmujący perspektywę fizyki (co próbowałem zrobić), proponuję rozwinąć podstawy fizyki. Proponuję więc przeczytanie książki Sakurai z mechaniki kwantowej (która z mojego czysto matematycznego zaplecza w tamtych czasach była dobrą książką), razem z książkami dla laików: Feynman ´s QED i Weinberg´s The discovery of subatomic cząstek . Użyłem tych książek z Peskin and Schroeder's An Introduction to Quantum Field Theory .

Właściwie starałem się jednocześnie zastosować bardziej „matematycznie precyzyjne” podejście do QFT - ale ostatecznie pomyślałem, że jest to trudniejsze niż podejście fizyczne - ponieważ wydaje mi się, że ostatecznie wydajesz ogromną ilość czasu, aby dotrzeć w dowolne miejsce i ryzykować zmianę, że zostaniesz pochowany w stosie formalizmu matematycznego, zanim będziesz mógł wykonać proste obliczenia.

Ostatni komentarz. Z mojego doświadczenia wynika, że ​​wspaniale było rozmawiać z fizykami (zazwyczaj są bardziej rozmowni i opowiadają więcej historii na swój temat niż matematycy). Dlatego uważam, że przebywanie w grupie studentów / profesorów fizyki podczas studiowania QFT jest wysoce opłacalne.

Jako matematyk amator znalazłem kwantową teorię pola Franza Mandla &a Grahama Shawa jako szybkie i zwięzłe wprowadzenie. Jednak wcześniej trzeba będzie omówić trochę mechaniki kwantowej. Książka została mi pierwotnie polecona.

Dobrym wprowadzeniem jest „Kwantowa teoria pola dla matematyków” autorstwa Ticciati. Jest świetny w tym sensie, że jest dość rygorystyczny i samowystarczalny, a jednocześnie dość obszerny w swojej prezentacji.

Nieco bardziej zaangażowaną i obszerną prezentacją z określonymi tematami jest „Kwantowe pola i struny: kurs dla Matematycy ”. Jest to 2-tomowy zestaw wypełniony wykładami osób w terenie. Jednak dość techniczne.

Ta odpowiedź zawiera dodatkowe zasoby, które mogą być przydatne. Pamiętaj, że odpowiedzi, które zawierają jedynie listę zasobów, ale nie zawierają szczegółów, są zdecydowanie odradzane przez zasady witryny dotyczące pytań dotyczących rekomendacji zasobów . Ta odpowiedź została tutaj, aby zawierać dodatkowe linki, które nie mają jeszcze komentarza.

• Kevin Costello, matematyk, napisał książkę o kwantowej teorii pola , szczególnie aspekty perturbacyjne. Książka była kiedyś dostępna na jego stronie internetowej, ale teraz została opublikowana przez AMS. Możesz znaleźć linki na jego stronie internetowej, do której zamieściłem link powyżej.
• E. Zeidler pisze sześciotomowy traktat pod ogólnym tytułem „Kwantowa teoria pola: pomost między matematykami i fizykami”. Do tej pory ukazały się 3 tomy, które są również dostępne na springerlink.com (jeśli ma się odpowiednią subskrypcję). Ta praca jest dość przystępna dla matematyka.
• Doskonałe wprowadzenie do matematyki QFT, która jest naprawdę podręcznikiem (który może służyć na przykład jako materiał pomocniczy na pierwszym lub drugim roku studiów magisterskich z matematyki) to „Mechanika kwantowa i teoria pola kwantowego, elementarz matematyczny” Jonathana Dimocka, Cambridge University Press, 2011.

• Dla supersymetrii (co, jak słusznie powiedział Alexander Braverman, najważniejsze w zastosowaniach matematycznych), książka Dana Freeda ["Five Lectures on Supersymmetry".] [3]

• Kwantowa teoria pola (Mathematical Surveys and Monographs) autor: Folland

• Droga do rzeczywistości: kompletny przewodnik po prawach wszechświata

• Mechanika kwantowa i kwantowa teoria pola: elementarz matematyczny

• Matematyczne aspekty kwantowej teorii pola (Cambridge Studies in Advanced Mathematics

• QFT - Prof. CN Yang & Prof. Kenneth Young ( youtube)
• QFT - autor: Sidney Coleman ( notatki z wykładu)
• QFT - David Tong ( notatki z wykładów)

Physics Stack Exchange links:

• Formalizowanie kwantowej teorii pola;

• Rygor w kwantowej teorii pola;

• CFT i formalizacja kwantowej teorii pola