Wprowadzenie

W tej odpowiedzi wykorzystamy pomysły omówione w odpowiedziach na Co to jest czas, czy płynie, a jeśli tak, to co określa jego kierunek?, więc naprawdę musisz przeczytaj odpowiedzi na to pytanie, zanim zajmiesz się tym.

Kluczową koncepcją, której potrzebujesz, aby zrozumieć dylatację czasu, jest to, że zegar nie mierzy upływu czasu - czas nie płynie w teorii względności (patrz pytanie What is time…?, aby uzyskać więcej informacji na ten temat). Zegar mierzy odległości. Aby wyjaśnić, co mam na myśli, użyję analogii licznika kilometrów w Twoim samochodzie. Jeśli zaczniesz w pewnym momencie $ A $ i pojedziesz do jakiegoś punktu $ B $ , licznik kilometrów wskaże jak daleko się przesunąłeś. Zatem zmiana w odczycie licznika kilometrów to odległość w przestrzeni $ A-B $ zmierzona wzdłuż pokonanej trasy. Zegar w Twoim samochodzie mierzy odległość w czasie między punktami spacetime $ A $ i $ B $ tj. Zmiana w zegarze mierzy liczbę sekund między opuszczeniem punktu $ A $ a przybyciem do punktu $ B $ , a liczba sekund jest również mierzona wzdłuż pokonanej trasy w czasoprzestrzeni . Ten ostatni punkt ma znaczenie, ponieważ zobaczymy, że odległość w czasie zależy od trasy, podobnie jak odległość w przestrzeni.

Powodem, dla którego musimy traktować czas jako odległość, jest to, że w teorii względności nie ma sztywnego i szybkiego rozróżnienia między czasem a przestrzenią. Możesz podzielić czasoprzestrzeń na trzy wymiary przestrzenne i jeden wymiar czasowy, ale inny obserwator może dokonać tego podziału w inny sposób i obaj wasza dwójka nie zgodziliby się co do tego, czym był czas, a co przestrzeń. W teorii względności musimy traktować wymiar czasu tak samo, jak wymiary przestrzeni. To po prostu współrzędna biegnąca od (w zasadzie) $ - \ infty $ do $ \ infty $ po prostu jak $ x $ , $ y $ i $ z Współrzędne $ biegną od $ - \ infty $ do $ \ infty $ . Więcej informacji na ten temat znajdziesz w pytaniu Czym jest czas ...?.

W tym wszystkim chodzi o to, że podaje nam bardzo dokładną definicję dylatacji czasu. Jeśli dwóch różnych obserwatorów zmierzy odległość między dwoma punktami czasoprzestrzeni $ A $ i $ B $ , to odległość ta będzie być czterowektorem z komponentami czasowymi i przestrzennymi. Dylatacja czasu oznacza po prostu, że różni obserwatorzy nie zgadzają się co do wielkości składnika czasowego tej odległości, tj. Będą obserwować różną ilość czasu między dwoma punktami.

Przykład dylatacji czasu

Aby wyjaśnić, dlaczego tak się dzieje, weźmy konkretny przykład. Przypuśćmy, że obserwuję cię w ruchu, a wtedy w moich współrzędnych twoja trajektoria jest linią w czasoprzestrzeni. Ponieważ nie mogę narysować czterowymiarowych wykresów, załóżmy, że poruszasz się tylko wzdłuż osi $ x $ , więc wszystko, co muszę narysować to Twoja trajektoria w $ x $ i $ t $ (czas). Załóżmy, że Twoja trajektoria wygląda następująco:

Rysunek 1

Tak więc oboje zaczynamy od punktu $ A $ . Ponieważ jestem nieruchomy w tych współrzędnych, moja trajektoria jest prosta w górę osi czasu do $ B $ , podczas gdy twoja trajektoria (czerwona linia) zmierza do rosnącej $ x $ , a następnie zatrzymuje się, odwraca i wraca na moją pozycję. Odległość, którą pokonałem w czasie, to tylko odległość w górę osi czasu od $ A $ do $ B $ span> - nazwiemy tę odległość $ t_ {ab} $ . Odległość, którą pokonałeś w czasie, to cóż, zobaczmy, jak to obliczyć.

Rysunek 1 pokazuje, co dzieje się w moim układzie współrzędnych, ale teraz narysujmy ten sam diagram w twoim układzie współrzędnych, tj. Współrzędne w który pozostajesz nieruchomy u początku, a ja poruszam się:

Rysunek 2

W twoich współrzędnych to ja się poruszam (pokazana czarną linią), a ty pozostajesz nieruchomy, więc w twoich współrzędnych twoja trajektoria (czerwona linia) jest prosta w górę osi czasu, a odległość, którą się poruszasz, to tylko odległość w czasie między $ A $ i $ B $ . Nazywamy tę odległość $ \ tau_ {ab} $ .

W tym miejscu sprawy stają się dziwne, ale w rzeczywistości jest to jedyna punkt, w którym sprawy stają się dziwne, więc jeśli uda ci się przejść dalej, jesteś w domu. Odległość $ \ tau_ {ab} $ na rysunku 2 ma szczególne znaczenie w teorii względności. Nazywa się to właściwym czasem i podstawową zasadą względności jest to, że właściwy czas jest niezmiennikiem . Oznacza to, że właściwy czas jest taki sam dla wszystkich obserwatorów, a konkretnie dla ciebie i dla mnie. Oznacza to, że - i oto kluczowy punkt:

Długość czerwonej linii jest taka sama na rysunku 1 i rysunku 2

Wróćmy na chwilę do rysunku 1 i zobaczmy, dlaczego oznacza to dylatację czasu:

Rysunek 3

Długość mojego wiersza od $ A $ do $ B $ , $ t_ {ab} $ , oczywiście różni się od długości czerwonej linii z $ A $ do $ B $ , $ \ tau_ {ab} $ . Ale już ustaliliśmy, że długość czerwonej linii to czas, który mierzę między dwoma punktami, a to oznacza czas, który mierzę między $ A $ a $ B $ różni się od czasu mierzonego między $ A $ a $ B $ :

$$ t_ {ab} \ ne \ tau_ {ab} $$

I to właśnie rozumiemy przez dylatację czasu.

Jeśli moim celem było przedstawienie intuicyjnego wyobrażenia o tym, jak powstaje dylatacja czasu, prawdopodobnie nie udało mi się, ponieważ nie jest intuicyjnie oczywiste, dlaczego długość czerwona linia powinna być taka sama na rysunku 1 i rysunku 2. Ale przynajmniej zawęziłem ją do jednego nieintuicyjnego kroku, a jeśli jesteś gotowy to zaakceptować, to reszta nastąpi w prosty sposób. Aby uczynić to ilościowym i dokładnie wyjaśnić, co mam na myśli, mówiąc długość czerwonej linii , musimy pogłębić trochę matematyki.

A teraz trochę matematyki

Sytuacja, którą narysowałem na rysunkach 1 i 2, jest w rzeczywistości nieco skomplikowana, ponieważ wiąże się z przyspieszeniem, tj. oddalasz się ode mnie, zwalniasz do zatrzymania, a następnie przyspieszasz z powrotem w moim kierunku. Na początek użyjemy prostszego przypadku, w którym po prostu ruszasz ze stałą prędkością i nie przyspieszasz. Nasze dwa diagramy czasoprzestrzeni wyglądają następująco:

Rysunek 4

W mojej klatce podróżujesz z prędkością $ v $ , więc po jakimś czasie $ t $ Twoja pozycja zmierzona na moim zegarze to $ (t, vt) $ . W kadrze jesteś nieruchomy, więc po pewnym czasie $ T $ zmierzony na twoim zegarze twoja pozycja to $ (T, 0 ) $ . I pamiętaj, że powiedzieliśmy, że długość czerwonej linii musi być taka sama dla ciebie i dla mnie.

Aby obliczyć długość czerwonej linii, używamy funkcji zwanej metryką. Prawdopodobnie pamiętasz, jak uczono cię w szkole twierdzenia Pitagorasa. Który mówi ci o trójkącie prostokątnym:

długość przeciwprostokątnej jest określona wzorem:

$$ s ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 $$

To równanie mówi, jak mierzyć sumę (to znaczy w tym przypadku po przekątnej ) odległości, biorąc pod uwagę przemieszczenia w każdym kierunku współrzędnych. To są dokładnie informacje zawarte w metryce: informuje, jak mierzyć odległości. Powyższe równanie robi to poprzez podanie wyraźnego wzoru na długość linii, wynikającego z przesunięć współrzędnych w kierunku poziomym i pionowym (nazwijmy je $ x $ i $ y $ ). Teraz można oczywiście pomyśleć także o nieskończenie małych (nieskończenie małych, w ograniczającym sensie) odległościach. Formuła staje się wtedy po prostu

$$ \ mathrm ds ^ 2 = \ mathrm dx ^ 2 + \ mathrm dy ^ 2 $$

Nazywa się to elementem liniowym dla dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej i koduje odpowiednią metrykę (euklidesową). W przypadku szczególnej teorii względności musimy rozszerzyć tę koncepcję, aby objąć wszystkie trzy wymiary przestrzenne plus czas. Istnieje wiele sposobów zapisania elementu liniowego dla szczególnej teorii względności i na potrzeby tego artykułu napiszę go jako:

$$ \ mathrm ds ^ 2 = -c ^ 2 \ mathrm dt ^ 2 + \ mathrm dx ^ 2 + \ mathrm dy ^ 2 + \ mathrm dz ^ 2 $$

gdzie $ \ mathrm dt $ to odległość przesunięta w czasie, a $ \ mathrm dx $ , $ \ mathrm dy $ , $ \ mathrm dz $ to odległości przeniesione w przestrzeń.

To równanie koduje metrykę Minkowskiego, a ilość $ \ mathrm ds $ jest nazywana właściwą dystans. Wygląda to trochę jak twierdzenie Pitagorasa, ale zauważ, że nie możemy po prostu dodać czasu do odległości, ponieważ mają one różne jednostki - sekundy i metry - więc mnożymy czas przez prędkość światła $ c $ , więc produkt $ ct $ ma jednostki metrów. Zwróć również uwagę, że w równaniu dajemy $ ct $ znak minus - jak zobaczysz, ten znak minus jest tym, co wyjaśnia dylatację czasu. Ponieważ rozważamy tylko dwa wymiary, nasze równanie wygląda następująco:

$$ \ mathrm ds ^ 2 = -c ^ 2 \ mathrm dt ^ 2 + \ mathrm dx ^ 2 $$

OK, zróbmy obliczenia. Ponieważ cały ruch jest w linii prostej, nie potrzebujemy nieskończenie małego elementu liniowego i zamiast tego możemy użyć:

$$ \ Delta s ^ 2 = -c ^ 2 \ Delta t ^ 2 + \ Delta x ^ 2 $$

Zacznij od klatki - nie poruszasz się w przestrzeni, więc $ \ Delta x = 0 $ i przenosisz odległość $ \ tau $ w czasie, więc $ \ Delta t = \ tau $ , dając nam:

$$ \ Delta s ^ 2 = -c ^ 2 \ tau ^ 2 $$ span>

Teraz wykonajmy obliczenia w mojej ramce. W mojej ramce przesuwasz odległość w przestrzeni $ \ Delta x = vt $ i odległość w czasie $ \ Delta t = t $ więc równanie długości czerwonej linii wygląda następująco:

$$ \ Delta s ^ 2 = -c ^ 2t ^ 2 + (vt) ^ 2 = -t ^ 2c ^ 2 \ left (1 - \ frac {v ^ 2} {c ^ 2} \ right) $$

Ponieważ długości $ \ Delta s $ są równe w obu ramkach, aby uzyskać połączenie dwóch równań:

$$ - c ^ 2 \ tau ^ 2 = -t ^ 2c ^ 2 \ left (1 - \ frac {v ^ 2} {c ^ 2} \ right) $$

A zmiana układu daje :

$$ \ tau = t \ sqrt {1 - \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}} = \ frac {t} {\ gamma} $$

gdzie $ \ gamma $ to współczynnik Lorentza:

$$ \ gamma = \ frac {1} {\ sqrt {1 - \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}}} $$

I to jest wynik, którego potrzebujemy, aby pokazać dylatację czasu. Odległość, którą przemieściłeś w czasie $ \ tau $ jest mniejsza niż odległość, którą pokonałem w czasie $ t $ span> o współczynnik $ \ gamma $ .

Dodatek - ruch przyspieszony

Zacząłem główną odpowiedź od tego diagramu czasoprzestrzeni:

Rysunek 1

ale potem przeszedłem do prostszego przykładu, jeśli chodzi o przerzucanie matematyki. Dzieje się tak, ponieważ nie chciałem odwracać uwagi od głównej wiadomości w mojej odpowiedzi, jednak jeśli ktoś jest zainteresowany, wyjaśnię teraz, jak radzimy sobie z przyspieszonym ruchem.

Nawiasem mówiąc, usłyszysz, jak ludzie twierdzą że szczególna teoria względności nie radzi sobie z ruchem przyspieszonym, ale jak zaraz zobaczysz, jest to po prostu nieprawda. Podstawowa zasada jest taka sama - długość trajektorii jest taka sama dla wszystkich obserwatorów. Po prostu obliczenie długości trajektorii jest trochę trudniejsze.

Obliczenia, które zrobimy, są takie same jak poprzednio, tj. Obliczę odległość z $ A $ do $ B $ wzdłuż mojej trajektorii, a następnie oblicz odległość wzdłuż swojej trajektorii, a dylatacja czasu będzie różnicą między nimi. Odległość wzdłuż mojej trajektorii to oczywiście tylko odległość w górę osi $ t $ (czas), ale dla Ciebie musimy obliczyć długość czerwonej krzywej.

Robimy to, dzieląc krzywą na „ nieskończenie małe” proste:

Rysunek 2

Jeśli przybliżymy czerwoną krzywą serią prostych linii o długości $ \ mathrm ds $ wtedy całkowita długość krzywej, $ \ Delta s $ , będzie po prostu sumą długości wszystkich tych prostych. Pozwalamy, aby długości $ \ mathrm ds $ osiągnęły zero i zastąpiliśmy sumę całką:

$$ \ Delta s = \ int_A ^ B \, \ mathrm ds \ tag {1} $$

I długość $ \ mathrm Wartość ds $ daje to samo równanie, którego użyliśmy w głównej odpowiedzi:

$$ ds ^ 2 = -c ^ 2 \ mathrm dt ^ 2 + \ mathrm dx ^ 2 \ tag {2} $$

Sztuczka, której używamy, polega na tym, że jeśli zmienisz odległość $ dx $ w czasie $ dt $ span> wtedy twoja prędkość wynosi $ v = {\ mathrm dx} / {\ mathrm dt} $ , ponieważ dokładnie tak definiujemy prędkość. Zmiana układu daje:

$$ \ mathrm dx = v \, \ mathrm dt $$

I możemy podstawić to do równania (2), aby uzyskać:

$$ \ mathrm ds ^ 2 = -c ^ 2 \ mathrm dt ^ 2 + v ^ 2 (t) \ mathrm dt ^ 2 $$

gdzie $ v (t) $ jest twoją prędkością jako funkcją czasu mierzonego w moim rama. Teraz umieść to w równaniu (1) i otrzymamy:

$$ \ Delta s = -c \ int_A ^ B \, \ left (1 - \ frac {v (t) ^ 2} {c ^ 2} \ right) \, \ mathrm dt \ tag {3} $$

Na koniec zauważamy, że w Twojej ramce odległość, którą się poruszasz jest nadal podane przez to samo równanie co poprzednio:

$$ \ mathrm ds ^ 2 = -c ^ 2T ^ 2 $$

I otrzymujemy:

$$ T_ {AB} = \ int_A ^ B \, \ sqrt {1 - \ frac {v (t) ^ 2} {c ^ 2}} \, \ mathrm dt $$

gdzie $ T_ {AB} $ to upływający czas mierzony przez Twój zegar.

Aby wykonać obliczenia, musimy znać równanie twojej prędkości jako funkcji czasu, a to zależy od tego, jak przyspieszasz. Właściwie obliczanie sum dość szybko się komplikuje, więc nie będę omawiać szczegółów. Jednak natychmiast widzimy, że występuje dylatacja czasu i mierzysz mniej czasu, który upłynął niż ja.

Czy twoja prędkość $ v (t) $ jest dodatnią lub ujemną kwadratu, $ v ^ 2 (t) $ jest zawsze dodatnia, co oznacza, że ​​współczynnik pierwiastka kwadratowego jest zawsze mniejszy niż 1:

$$ 1 - \ frac {v (t) ^ 2} {c ^ 2} \ lt 1 $$

Więc myintegruje funkcję, która jest zawsze mniejsza niż jedna z $ t = t_A $ do $ t = t_B $ a to oznacza, że wynik musi być mniejszy niż $ t_B - t_A $ , czyli:

$$ T_ {AB} \ lt t_B - t_A $$

Zatem Twój czas, który upłynął, $ T_ {AB} $ jest zawszemniej niż mój czas, który upłynął, $ t_B - t_A $ , bez względu na to, jak zmienisz prędkość podczas podróży w obie strony.

A teraz powinieneśzauważyłem, że jest to tylko ukryty paradoks bliźniaków.To pokazuje, że czas, który upłynął dla przyspieszającego bliźniaka jest zawsze krótszy niż czas, jaki upłynął dla stacjonarnego bliźniaka, chociaż jest więcej szczegółów, które będą musiały poczekać na kolejny wpis innego dnia.

Dodatek - co zaobserwował bliźniak?

Im bardziej uważni z was mogliby zauważyć coś, co pominęłam w ostatniej sekcji głównej odpowiedzi. Podałem tę liczbę, pokazując wykresy czasoprzestrzeni:

Następnie obliczyłem długość czerwonej linii w moim kadrze i Pokazałem, że Twój upływający czas jest krótszy niż mój, który upłynął. Oczywiście wszystko się zgadza, ale poczekaj, czy dylatacja czasu nie jest symetryczna? Czy nie powinieneś obserwować, jak mój czas się wydłuża? Tak, rzeczywiście, a celem tego dodatku jest wyjaśnienie, co się dzieje.

Jeśli spojrzymy na mój diagram czasoprzestrzeni, zauważymy, że ty i ja nie znaleźliśmy się w tych samych punktach. Podróżowałeś z $ A $ do $ B $ , podczas gdy ja podróżowałem z $ A $ do $ C $ . W mojej ramce punkty $ B $ i $ C $ są jednoczesne, tj. Mają tę samą współrzędną czasową, $ t_B = t_C $ i dlatego mogę stwierdzić, że istnieje dylatacja czasu. Twierdzę, że oboje zaczęliśmy w tym samym czasie $ t = t_A $ i oboje zakończyliśmy w tym samym czasie $ t = t_B = t_C $ , ale nasze zegary mierzyły różne czasy, kiedy to robiliśmy. Stąd musi nastąpić dylatacja czasu.

Ale moje twierdzenie, że punkty $ B $ i $ C $ są jednoczesne są prawdziwe tylko w mojej ramce, a we wszystkich innych ramkach $ B $ i $ C $ są nie jednoczesne. Oznacza to, że różni obserwatorzy nie zgodzą się z moim obliczeniem dylatacji czasu i dlatego oboje możemy uważać, że czas drugiej osoby jest wydłużony. Zobaczmy, jak to działa.

Zamierzam skrócić wiele matematyki i po prostu powiedzieć, że aby znaleźć punkty czasoprzestrzeni w różnych klatkach, używamy kilku równań zwanych transformacjami Lorentza. Są to:

$$ \ begin {align} t '& = \ gamma \ left (t - \ frac {vx} {c ^ 2} \ right ) \\ x '& = \ gamma \ left (x - vt \ right) \ end {align} $$

Skup się na $ B $ , co w moich współrzędnych to $ (t, vt) $ . Aby znaleźć odpowiedni punkt $ B '$ we współrzędnych, po prostu podłącz $ t = t $ i $ x = vt $ do równań, aby uzyskać:

$$ \ begin {align} t '& = \ gamma \ left (t - \ frac {v (vt)} {c ^ 2} \ right) = \ gamma t \ left (1 - \ frac {v ^ 2} {c ^ 2} \ right) = \ frac {t} {\ gamma} \\ x '& = \ gamma \ left (vt - vt \ right) = 0 \ end {align} $$

Więc w twojej ramce punkt $ B = (t / \ gamma, 0) $ . Ale już to wiedzieliśmy. W swojej ramce jesteś nieruchomy w punkcie początkowym, więc Twoja pozycja $ x $ jest zawsze równa zero, a my już ustaliliśmy, że Twój upływający czas to $ T = t / \ gamma $ . Więc transformacje Lorentza mówią nam to, co już wiedzieliśmy, co jest naprawdę dobre!

Ale teraz rozważmy kwestię $ C $ , czyli $ (t, 0) $ w mojej ramce i zobaczmy, gdzie jest w Twojej ramce. Ponownie, po prostu umieść te wartości dla $ t $ i $ x $ w transformacjach Lorentza i otrzymamy:

$$ \ begin {align} t '& = \ gamma \ left (t - \ frac {v \, 0} {c ^ 2} \ right ) = \ gamma t \\ x '& = \ gamma \ left (0 - vt \ right) = - \ gamma vt \ end {align} $$

Narysujmy nasze ramki z tymi wszystkimi punktami:

Więc w mojej klatce przedział czasu mierzony na moim zegarzepodczas gdy ja przechodzę z $ A $ do $ C $ to $ t $ , ale w Twojej ramce przedział czasu, kiedy przechodzę z $ A $ do $ C $ to odległość $ AD $ , czyli $ \ gamma t $ .A ponieważ $ \ gamma t \ gt t $ obserwujesz, jak mój czas się wydłuża w taki sam sposób, jak ja obserwuję, jak twój czas się wydłuża.Chodzi tylko o to, że nie zgadzamy się co do naszego punktu początkowego i końcowego.

Porównanie ramek z ramkami diagramów i interwałów

Jest to dodatek do głównej dyskusji Johna Renniego, w której badamy klasyczny paradoks Bliźniaczy, wyraźnie rysując diagram czasoprzestrzenny tras obu bliźniaków w dwóch różnych ramach i obliczając ich interwały w obie strony, aby pokazać, że wynik nie zależy od tego, z której klatki (pojedynczej, inercyjnej) oglądany jest eksperyment.

Scenariusz pokazany tutaj przedstawia podróżującą bliźniaczkę (Heidi) dokonującą 0,5c $ względem Ziemi na obu etapach swojej podróży i odwiedzając obiekt docelowy o jedno światło- rok od Ziemi bez międzylądowania. Bliźniak pozostający w domu (Hans) oczywiście pozostaje na Ziemi niecierpliwie czekając na ich ponowne spotkanie.

Jako upraszczające założenie zakłada się, że przyspieszenie jest na tyle szybkie, że nie musimy zawracać sobie głowy jego pokazywaniem lub dodawaniem do naszych obliczeń.

Rama Ziemi

W ramie Ziemi obie części Podróży zajmują dwa lata, tworząc diagram

Oczekiwanie na Hansa jest \ begin {align *} \ tau_ \ text {Hans} = - \ frac {\ sqrt {\ Delta s ^ 2_ \ text {Hans}}} {c} & = \ frac {\ sqrt {c ^ 2 (4 \, \ text {lata}) ^ 2 - (0 \, \ text {lata świetlne}) ^ 2}} {c} \\ & = \ sqrt {(4 \, \ text {lata świetlne}) ^ 2} {c} \\ & = 4 \, \ text {lata} \ ;, \ end {align *} co oznacza, że ​​Hans czekał 4 lata.

Dla Heidi sytuacja jest nieco bardziej skomplikowana, wyrusza w dwie bezwładnościowe podróże i łatwo jest zmierzyć właściwy czas, jaki upłynął na każdej z nich, a następnie dodać je do siebie \ begin {align *} \ tau_ \ text {Heidi} & = \ tau_ \ text {out-bound} + \ tau_ \ text {in-bound} \\ & = \ frac {\ sqrt {c ^ 2 (2 \, \ text {lata}) ^ 2 - (+1 \, \ text {lata świetlne}) ^ 2}} {c} + \ frac {\ sqrt {c ^ 2 (2 \, \ text {lata}) ^ 2 - (-1 \, \ text {lata świetlne}) ^ 2}} {c} \\ & = 2 \ sqrt {(3 \, \ text {lata}) ^ 2} \\ & = 2 \ sqrt {3} \, \ text {lata} \ end {align *}

Na ich spotkaniu Heidi jest o sześć i pół miesiąca młodsza od Hansa.

Ramka wychodząca

To świetnie, ale jedną z wad używania diagramu Minkowskiego (w przeciwieństwie do diagramu Loedela) jest to, że wydaje się, że zajmuje on szczególne miejsce pionowe osie.

Wybierzmy więc inny układ odniesienia i powtórzmy całą pracę, aby zobaczyć, czy otrzymamy tę samą odpowiedź.

W tym przypadku użyję układu odniesienia, w którym odsunięta noga Heidi jest w spoczynku. Oznacza to, że Ziemia porusza się wstecz po 0,5c $ w tej klatce.

Aby narysować tę figurę, musielibyśmy znaleźć współrzędne przybycia Heidi do obiektu docelowego i wrócić na Ziemię w tej klatce. Można to zrobić przez bezpośrednie zastosowanie transformacji Lorentza do znanych współrzędnych tych punktów w ramce połączonej z Ziemią lub wiedząc, że zwiększenie $ beta = v / c $ przesuwa linię na diagramie pod kątem $ \ alpha = \ tan \ beta $ i powoduje przeskalowanie linii o współczynnik $$ s = \ frac {\ sqrt {1 + \ beta ^ 2}} {\ sqrt {1 - \ beta ^ 2}} \; $$ który możesz rozpoznać jako czynnik przesunięcia Dopplera dla światła.

Tak czy inaczej, czas dotarcia do obiektu docelowego to $ t_a = 1.73 \, \ text {years} $ , a dla powrotu na Ziemię $ t_r = 4.62 \, \ text {lata} $ , a miejsce powrotu na Ziemię to $ - 2.31 \, \ text {lat świetlnych} $ .

Tym razem mamy \ begin {align *} \ tau_ \ text {Hans} & = \ frac {\ sqrt {\ Delta s ^ 2}} {c} \\ & = \ frac {\ sqrt {c ^ 2 (4.62 \, \ text {lata}) ^ 2 - (-2,31 \, \ text {lat świetlnych}) ^ 2}} {c} \\ & = 4 \, \ text {lata} \ ;. \ end {align *}

Podobnie w przypadku Heidi \ begin {align *} \ tau_ \ text {Heidi} & = \ tau_ \ text {out-bound} + \ tau_ \ text {in-bound} \\ & = \ frac {\ sqrt {c ^ 2 (1,73 \, \ text {lata}) ^ 2 - (0 \, \ text {lata świetlne}) ^ 2}} {c} + \ frac {\ sqrt {c ^ 2 ((4,62-1,73) \, \ text {lata}) ^ 2 - (-2,31 \, \ text {lat świetlnych}) ^ 2}} {c} \\ & = 3.466 \, \ text {lat} \ około 2 \ sqrt {3} \, \ text {lata} \ ;, \ end {align *} gdzie bardzo mała rozbieżność na końcu jest po prostu błędem zaokrągleń spowodowanym obcięciem liczb w miarę postępów. (Czy zauważyłeś, że 1,73 $ \ ok \ sqrt {3} $ ? To nie przypadek, interwał każdego etapu podróży Heidi musi być taki sam w każdym układzie odniesienia.)

Krótko mówiąc, ten sam wynik

Ramka dołączona lub jakaś ramka nie jest połączona z żadnym z bliźniaków.

Pozostawiony jako ćwiczenie. Warto poświęcić czas na ponowne wykonanie całej pracy i przekonanie się, że nadal uzyskujesz te same wyniki w innych ramkach.

Rozwiązanie paradoksu

Paradoks można w pełni rozwiązać, przyjmując, że właściwy czas $ \ tau $ jest (mieszczący się w obrębie znaku i współczynnika $ c $ ) pierwiastek kwadratowy z przedziału. Gdy już to zaakceptujesz (zarówno instrukcję, jak i schemat, według którego obliczany jest interwał), wszystko inne to tylko narysowanie ścieżek i dodanie odpowiedniego czasu.

Dlaczego akceptacja schematu obliczeniowego jest ważna? W zwykłej geometrii linia prosta jest najkrótszą odległością między dwoma punktami. W geometrii Minkowskiego różnica znaków między $ (\ Delta t) ^ 2 $ a $ (\ Delta x) ^ 2 $ oznacza, że ​​linia prosta to najdłuższy właściwy czas między dwoma zdarzeniami.

Powinienem wspomnieć o roli przyspieszenia, ponieważ jest ono często traktowane jako rodzaj jasnego pyłu, który rozwiązuje paradoks.

Przyspieszenie oznacza to, że zmienia się nachylenie linii świata: to znaczy ta linia świata nie jest prosta.A ponieważ nie jest prosta, nie jest to najdłuższy właściwy czas między dwoma wydarzeniami.Tak więc przyspieszenie ma ten efekt nie dlatego, że jest coś magicznego w przechodzeniu przyspieszenia, ale dlatego, że powoduje odchylenie linii świata.Schematy fałszowania, w których wiadomość jest przekazywana, aby żadna „rzecz” nie ulegała przyspieszeniu, nie zmienia faktu, że wiadomość zajmuje nieprostą linię między zdarzeniami.

Obrazy tutaj są moją oryginalną pracą i zostały po raz pierwszy przygotowane (w LaTeX, przy użyciu TikZ) dla krótkiej notatki na temat interwału czasoprzestrzennego używanego na moich zajęciach z fizyki współczesnej.

Czym tak naprawdę jest dylatacja czasu?

Zmniejszona szybkość ruchu lokalnego. Zobacz Co to jest czas, czy płynie, a jeśli tak, to co określa jego kierunek? Jak powiedział Einstein, czas jest tym, co mierzą zegary . A jeśli przyjrzysz się naukowo, empirycznie, co naprawdę robi zegar, zobaczysz, że w rzeczywistości nie mierzy on odległości w czasie między punktami czasoprzestrzeni A i B. Zawiera tylko wibrujący kryształ, wahadło lub wahadło, i jakiś rodzaj kół zębatych lub elektroniki do liczenia lub tłumaczenia tego regularnego cyklicznego ruchu lokalnego w celu zapewnienia pewnego rodzaju zbiorczego wyświetlania. Zegar „włącza” ruch lokalny, to wszystko. A kiedy zegar działa wolniej, dzieje się tak dlatego, że lokalny ruch jest wolniejszy.

Proszę, czy ktoś wyjaśni, czym naprawdę jest dylatacja czasu i jak się dzieje.

Jak wyżej, dylatacja czasu to zmniejszona szybkość ruchu lokalnego. Zobacz O elektrodynamice ruchomych ciał, gdzie Einstein mówił o czasie:

Musimy teraz uważnie pamiętać, że tego rodzaju opis matematyczny nie ma fizycznego znaczenia, chyba że są całkiem jasne, co rozumiemy przez „czas”. Musimy wziąć pod uwagę, że wszystkie nasze sądy, w których czas odgrywa rolę, są zawsze sądami jednoczesnych wydarzeń. Jeśli na przykład powiem: „Ten pociąg przyjeżdża tutaj o godzinie 7”, mam na myśli coś takiego: „Wskazanie małej wskazówki mojego zegarka na 7 i przybycie pociągu są wydarzeniami jednoczesnymi”.

Ta operacyjna definicja czasu to nic innego jak pozycja wskazówek, która jest tylko skumulowaną wersją całego regularnego cyklicznego lokalnego ruchu wewnątrz zegara. Wewnętrzny mechanizm zegara nie bez powodu nazywany jest ruchem. Einstein mówił później o „czasie” potrzebnym światłu na podróż z punktu A do punktu B, co ładnie odnosi się do prostego wnioskowania o dylatacji czasu w Wikipedii:

^{obraz domeny publicznej autorstwa Mdd4696}

Przedstawia światło poruszające się w zegarze świetlnym z równoległym lustrem. Czas to nic innego jak liczba odbić światła od luster. Dylatacja czasu występuje, gdy zespół porusza się szybko, ponieważ światło porusza się po zygzakowatej ścieżce, a nie po prostej w górę iw dół. Ale jeśli leciałby po czystym nocnym niebie i można by było go oglądać przez teleskop gedanken, musiałby pan go przesuwać, aby utrzymać go w swoim polu widzenia. W tym polu widzenia wiązka światła wydaje się poruszać prosto w górę iw dół, wolniej niż normalnie. To jest dylatacja czasu szczególnej teorii względności. To wszystko, czym jest. To takie proste. Współczynnik Lorentza $$ \ Delta t '= \ frac {\ Delta t} {\ sqrt {1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}}} $$ jest po prostu wyprowadzony z twierdzenia Pitagorasa, w którym przeciwprostokątna jest droga światła, a podstawą jest prędkość jako ułamek c. Wysokość daje współczynnik Lorentza i używamy odwrotności, aby odróżnić dylatację czasu od skrócenia długości.

Jest wiele pytań i odpowiedzi dotyczących sposobu obliczania dylatacji czasu, ale żadne z nich nie daje intuicyjnego zrozumienia, jak to się dzieje.

Myślę artykuł w Wikipedii jest wystarczająco dobry dla szczególnej teorii względności. To jest bardzo proste. Szybkość ruchu lokalnego jest z konieczności redukowana przez makroskopowy ruch w przestrzeni, ponieważ maksymalna prędkość ruchu wynosi c. Tym razem dylatacja dotyczy nie tylko światła, ale także wszystkich rzeczy materialnych.

A zapytany przez lucas:

Nic nie wiem o względności, ale nie mogę zaakceptować, że istnieje zjawisko zwane dylatacją czasu. Jednak nie mam z tym problemu ze względu na matematykę. Nie mam problemu, jeśli czas się wydłuża, bo nie wiem, która godzina. Ale zastanawiam się, kiedy mówią, że zegar będzie działał powoli w stosunku do innego tego samego zegara, jeśli jego szybkość jest wyższa.

1. Jaki rodzaj zegarów mają na myśli? Zegar analogowy, zegar cyfrowy itp.

2. O ile wiem, niektóre zegary mechaniczne działają na zasadzie sprężyny skrętnej wewnątrz nich. Skąd więc materiał sprężyny wie, że musi się rozwijać powoli z większą prędkością? Czy wyższa prędkość zmienia strukturę chemiczną lub właściwości fizyczne materiału sprężyny?

odpowiedział Gennaro Tedesco:

Zegar oczywiście nie zwalnia ani nie przyspiesza. Jest to tylko niefortunna terminologia, która oznacza, że ​​przedziały czasu zależą od układu odniesienia, a różni obserwatorzy w różnych układach odniesienia mogą mierzyć różne odstępy czasu, jeśli są w ruchu względnym względem siebie.

Mamy dobrze zdefiniowane pojęcie czasu w fizyce po prostu dlatego, że eksperymentalnie odkryto, że względne tempo procesów fizycznych jest takie samo zawsze w tych samych warunkach. Dlatego wybierasz jeden okresowy proces fizyczny, na którego szybkość wpływają czynniki, które można łatwo i powtarzalnie kontrolować, i używasz go jako zegara. Oznacza to, że mierzysz upływający czas, licząc okresy tego standardowego procesu i porównujesz wszystkie inne procesy fizyczne z tym. Zobacz moją odpowiedź tutaj, aby uzyskać więcej informacji.

Jednym z czynników, który, jak stwierdzono eksperymentalnie, ma wpływ na względne szybkości procesów fizycznych, jest względna prędkość między układami inercyjnymi, w których zachodzą porównywane procesy fizyczne. współczynnik względny dla dwóch procesów w różnych ramkach inercjalnych, jeśli znamy ich względną szybkość, gdy zachodzą w tej samej klatce.

To dylatacja całego czasu to: zmiana względnych szybkości procesów fizycznych, które są obserwowane jako wynik względnego ruchu między różnymi procesami fizycznymi. Gdy stracisz kulturowy bagaż związany z „czasem”, ta różnica nie jest zaskakująca: jeśli zmienisz czynnik w eksperymencie, zmiana wyniku eksperymentu jest całkowicie normą lub przynajmniej niezwykle powszechną.

Zanim zrozumiesz, czym jest dylatacja czasu, musisz zrozumieć, czym jest czas. Słowo czas to termin opisujący ruch w czasie. To ruch rzeczy fizycznych w wymiarze czasowym. Mówiąc językiem laika, poruszamy się przez wymiar przestrzenny i czas przez wymiar czasowy.

Ponieważ te dwa wymiary są ze sobą powiązane, nasza prędkość czasowa jest odwrotnie proporcjonalna do naszej prędkości przestrzennej, co powoduje dylatację czasu. Dylatacja czasu to nie przyspieszanie lub zwalnianie czasu. Dylatacja czasu występuje wtedy, gdy ktoś lub coś jest wolniejszy lub szybszy.

Niestety, ponieważ nasza prędkość czasowa determinuje tempo procesów atomowych, biologicznych i mechanicznych, nigdy nie dostrzegamy żadnych zmian lokalnie. Nasze tempo postrzegania zwalnia dokładnie o taką samą wartość, jak nasze zegary. Dla nas wszystko wydaje się normalne. Dopiero gdy porównamy nasz zegar z kimś, kto ma inną prędkość czasową, zobaczymy różnicę.

Grawitacja wpływa również na tempo, w jakim mierzymy czas, ale zajmę się tym innym razem.