Odpowiedzi brzmią: nie i nie. Bezwymiarowość lub posiadanie tych samych wymiarów jest warunkiem koniecznym, aby ilości były „kompatybilne”, nie jest to warunek wystarczający. To, czego próbuje się uniknąć, nazywa się błędem kategorii. Analogiczna sytuacja występuje w programowaniu komputerowym: chciałoby się uniknąć umieszczania wartości jakiegoś typu danych w miejscach zarezerwowanych dla innego typu danych. Ale chociaż z pewnością wymagany jest ten sam wymiar, aby wartości należały do ​​tego samego „typu danych”, nie ma powodu, dla którego nie mogą być rozgraniczone przez wiele innych kategorii oprócz tego.

Niutonometr jest jednostką zarówno momentu obrotowego, jak i energii oraz dżuli na kelwin, zarówno entropii, jak i pojemności cieplnej, ale dodanie ich jest zwykle problematyczne. To samo dotyczy dodawania przysłowiowych jabłek i pomarańczy mierzonych w „bezwymiarowych jednostkach” liczenia liczb. Właściwie ostatni przykład pokazuje, że rozgraniczenie kategorii zależy od kontekstu, jeśli zależy nam tylko na jabłkach i pomarańczach jako obiektach, dodanie ich może być w porządku. Wymiar jest tak ważny w fizyce, ponieważ mieszanie ilości o różnych wymiarach rzadko ma sens, a do jego śledzenia służy niezły rachunek ( analiza wymiarowa). Ale sensowne jest również wprowadzenie dodatkowych kategorii w celu rozgraniczenia wartości wielkości, takich jak moment obrotowy i energia, nawet jeśli rachunek różniczkowy może nie być dla nich tak przyjemny.

Jak pokazują własne przykłady, sensowne jest również traktowanie radianów w różny sposób w zależności od kontekstu: weźmy ich kategorię („wymiar”), a mianowicie. przy podejmowaniu decyzji o dodawaniu należy brać pod uwagę steradyany lub liczenie liczb, ale pomijać je, gdy dochodzi do substytucji w funkcje transcendentalne. Hertz jest zwykle używany do pomiaru częstotliwości fal, ale ponieważ cykle i radiany są oficjalnie bezwymiarowe, dzielą wymiar z jednostką prędkości kątowej, radianem na sekundę, radiany również stanowią jedyną różnicę między amperami dla prądu elektrycznego i amperozwojami dla siły magnetomotorycznej. Podobnie, bezwymiarowe steradyany są jedyną różnicą między lumenem a kandelą, podczas gdy często rozróżnia się natężenie światła i strumień. Zatem w tych kontekstach sensowne może być traktowanie radianów i steradianów jako „wymiarowych”.

W rzeczywistości radiany i steradyany były klasą samą w sobie jako „jednostki uzupełniające” SI do 1995 r. W tym samym roku Międzynarodowe Biuro Miar (BIPM) zdecydowało, że „ niejednoznaczny status jednostek uzupełniających zagraża wewnętrznej spójności SI ”i przeklasyfikował je na„ bezwymiarowe jednostki pochodne, których nazwy i symbole mogą, ale nie muszą, być używane w wyrażeniach dla innych Jednostki pochodne SI, co jest wygodne ”, eliminując w ten sposób klasę jednostek dodatkowych. Pragnienie utrzymania ogólnej zasady, że argumenty funkcji transcendentalnych muszą być bezwymiarowe, mogło odegrać pewną rolę, ale to pokazuje, że status wymiarowy jest w pewnym stopniu określany przez konwencję, a nie fakt. W tym samym duchu amper został wprowadzony jako nowa jednostka podstawowa do systemu MKS dopiero w 1901 roku i włączony do SI jeszcze później. Jak sama nazwa wskazuje, MKS pierwotnie opierał się na metrach, kilogramach i sekundach jako jednostkach bazowych, wymagało to jednak ułamkowych potęg metrów i kilogramów w pochodnych jednostkach prądu elektrycznego.

Jak zauważył @dmckee, energię i moment obrotowy można rozróżnić jako skalary i pseudo-skalary, co oznacza, że ​​przy odwracaniu transformacji orientacji, takich jak odbicia, te pierwsze zachowują swoją wartość, a drugie zmieniają znak. To prowadzi do kolejnej kategoryzacji wielkości, które odgrywają dużą rolę w fizyce, poprzez reguły transformacji przy zmianach współrzędnych. Wśród wektorów są wektory "prawdziwe" (jak prędkość), kowektory (jak pęd) i pseudowektory (jak moment pędu), w rzeczywistości wszystkie wielkości tensorowe są kategoryzowane przez reprezentacje ortogonalnej (we względności Lorentza) grupy. Zawiera również ładny rachunek różniczkowy opisujący, w jaki sposób typy tensorów łączą się podczas różnych operacji (iloczyn skalarny, iloczyn tensorowy, iloczyn klina, skurcze itp.). Jednym z powodów przepisania elektrodynamiki Maxwella w kategoriach form różniczkowych jest śledzenie ich. Staje się to ważne, gdy mówimy, że metryka tła nie jest euklidesowa, ponieważ od tego zależy identyfikacja wektorów i kowektorów. Różne typy tensorów i tak mają zwykle różne wymiary, ale są wyjątki, a kategoryzacje są wyraźnie niezależne.

Ale nawet typ tensorowy może nie wystarczyć. Przed pomiarami Joule'a mechanicznego równoważnika ciepła w latach czterdziestych XIX wieku ilość ciepła (mierzona w kaloriach) i energia mechaniczna (mierzona w jednostkach pochodnych) miała dwa różne wymiary. Ale nawet dzisiaj można chcieć trzymać je w osobnych kategoriach, badając układ, w którym energia mechaniczna i cieplna są w przybliżeniu oddzielnie zachowywane, to samo dotyczy energii masowej Einsteina. Oznacza to, że granice kategoryczne nie są wyryte w kamieniu, mogą zostać wzniesione lub zniesione zarówno ze względów praktycznych, jak i z powodu fizycznego odkrycia.

Wiele historycznych osobliwości związanych z wyborem i rozwojem jednostek i systemów jednostek opisano w książce Kleina The Science of Measurement.

Ilekroć myślę o tym problemie, wracam do jednego z artykułów Joela Spolsky'ego „ Making Wrong Code Look Wrong”, który mówi o notacji węgierskiej. Nie tylko bezużyteczny rodzaj notacji węgierskiej, w którym zmienne są nazywane w sposób opisujący ich typy ( f_pos dla float, d_pos dla double itd.) - to w artykule jest „System węgierski” - ale oryginalny, praktyczny rodzaj „Aplikacje węgierskie”, gdzie nazwa zmiennej odzwierciedla rodzaj wielkości fizycznej, którą ona reprezentuje. Na przykład x_pos i y_pos dla pozycji poziomej i pionowej. Lub w przykładzie, który może być bardziej odpowiedni dla twojego przypadku, circ_length i rad_length odpowiednio dla obwodu i promienia.

Jeśli w aplikacjach węgierskich zdarzyło Ci się pisać circ_length + rad_length , mógłbyś podejrzewać, że coś jest nie tak, ponieważ nie powinieneś dodawać obwodu i promienia. Mimo że są spójne wymiarowo, w pewnym sensie nie są kompatybilne . Chciałbyś przepisać to na coś takiego:

  circ_length + circ_from_rad (rad_length)
 

Systemy jednostek to (w pewnym stopniu ograniczony) fizyczny odpowiednik aplikacji węgierskich. Używamy różnych jednostek do oznaczenia różnych zmiennych, które nie są kompatybilne i nie powinny być sumowane.

Na początku może się to wydawać dziwnym spojrzeniem na jednostki. W końcu wydaje się intuicyjnie oczywiste, że długość i czas są różne w pewien sposób, a powiedzmy, wysokość i szerokość nie są. Ale potem pojawiła się teoria względności i dowiedzieliśmy się, że długość i czas w rzeczywistości są zgodne, wystarczy dokonać właściwej konwersji.

  prime_t, prime_x = prime_from_normal (normal_t, normal_x)
 

czyli innymi słowy

$$ \ begin {pmatrix} ct '\\ x' \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} \ gamma & - \ beta \ gamma \\ - \ beta \ gamma & \ gamma \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} ct \\ x \ end {pmatrix} $$

Potem pojawiła się mechanika kwantowa i dowiedzieliśmy się, że energia i częstotliwość to także to samo.

  energy = energy_from_freq (częstotliwość)
 

$$ E = \ hbar \ omega $$

A potem pojawiła się grawitacja kwantowa i ktoś wynalazł jednostki Plancka, a to prowadzi całą drogę w dół króliczej nory do punktu, w którym wszystko to tylko liczba i możesz dowolnie dodawać masy, ładunki i siły.

Trzymaj się z dala od grawitacji kwantowej

W każdym razie, jeśli tak łatwo jest zmniejszyć liczbę odrębnych jednostek, pokazując, w jaki sposób można je wszystkie przekształcić w siebie, możesz również odwrócić ten proces. Potraktowałbyś systemy jednostek, które mamy , jako zredukowane wersje bardziej skomplikowanych systemów, które rozróżniają wielkości, które normalnie uważamy za takie same. Na przykład wysokość i szerokość. Możesz mieć „metr wysokości” i „metr szerokości” jako efektywnie oddzielne jednostki. Lub, w twoim przypadku, „metr obwodu” i „metr promienia”, w którym to przypadku należy zdefiniować $$ 1 \ \ mathrm {rad} = \ frac {1 \ \ text {circuit-meter}} {1 \ \ text {radius-meter}} $$ W twoim systemie to nie będzie tym samym, co $ \ frac {1 \ \ text {height-meter}} {1 \ \ text {width-meter}} $. Możesz uczynić to samo, zamieniając wszystkie te jednostki na metry, w którym to przypadku odzyskasz system metryczny, ale wtedy stracisz dodatkowe informacje kontekstowe dostarczone przez system jednostek.

Oto praktyczny przykład: nachylenie $ m $ definiuje się jako wysokość nad (poziomą) długością, $ \ Delta y / \ Delta x $, co oznacza, że ​​jednostkami nachylenia są $$ [m] = \ frac {\ text {height-meter}} {\ text {length-meter}} $$ Z drugiej strony kąt $ \ alpha $ jest definiowany jako obwód w promieniu, $$ [\ alpha] = \ frac {\ text {circuit-meter}} {\ text {radius-meter}} $$ Związek między tymi dwoma jest $$ m = \ tan \ alpha $$ więc w tym rozszerzonym systemie jednostek wiesz, że styczna przyjmuje jednostki $ \ frac {\ text {circuit-meter}} {\ text {radius-meter}} $ i daje wynik w jednostkach $ \ frac {\ text {height-meter}} {\ text {length-meter}} $.

Jest jednak problem. A co jeśli robisz obliczenia uwzględniające prędkości poprzeczne i cofające się gwiazdy? (Odpowiednio prostopadle i równolegle do linii wzroku). W takim przypadku nadal używasz funkcji stycznej, ale możesz otrzymać wynik w jednostkach $ \ frac {\ text {length-meter}} {\ text {wysokość -meter}} $. Ściśle mówiąc, prawdopodobnie oznacza to, że powinieneś mieć oddzielną funkcję, która generowałaby tego rodzaju dane wyjściowe. W praktyce możesz posunąć się za daleko. Dawanie wszystkiego w osobnych jednostkach jest często większym kłopotem niż jest warte.

Musisz więc znaleźć równowagę między tymi dwoma skrajnościami. Wiele osób zgadza się, że posiadanie kątów wyznaczonych przez jednostkę w celu zachowania informacji kontekstowej, że są one kątami (a nie czymś innym), jest przydatne. Możesz w znaczący sposób wykorzystać te informacje w funkcjach trygonometrycznych: funkcja taka jak $ \ tan $ musi przyjmować jako dane wejściowe kąt lub „kołowy” stosunek długości (obwód do promienia itp.) I podawać jako wynik stosunek „prostokątny” długości (wysokość do szerokości lub odwrotnie lub coś takiego). Radian może być „fałszywą” jednostką, jasne, ale w pewnym sensie nie jest bardziej fałszywy niż jednostka prędkości lub momentu pędu i jest przydatna informacja do utrzymania.

Oto zabawna matematyczna odpowiedź. (A przynajmniej uważam to za zabawne.)

Potraktujmy poważnie pomysł, że możemy traktować radiany jako jednostkę i przejdźmy dalej. Oznacza to, że kiedy piszemy wyrażenie takie jak $ \ sin \ theta $ , argument $ \ theta $ musi mieć jednostki radianów, podczas gdy wynik (zakładam) to po prostu liczba bez jednostek. Inaczej mówiąc, wyrażenie $ \ sin ^ {- 1} x $ ma jednostki w radianach.

Teraz, ponieważ możemy napisać $ \ sin \ theta $ jako $ \ frac {i} {2} ( e ^ {- i \ theta} -e ^ {i \ theta}) $ , co oznacza, że ​​argument $ e ^ \ theta $ musi również mają jednostki w radianach. Inaczej mówiąc, każde wyrażenie w postaci $ \ ln x $ ma jednostki w radianach, ponieważ logarytm jest odwrotnością funkcji wykładniczej.

Jednak tutaj możemy szybko wpaść w kłopoty, ponieważ całka z logarytmu jest dana przez $$ \ int \ ln x \, dx = x \ ln x - x + C. $$ Zakładając, że $ x $ jest liczbą bezwymiarową, termin $ x \ ln x $ ma jednostki w radianach, ale termin $ x $ jest bezwymiarowy. Tak więc doszliśmy do niespójności tego rodzaju, której szukałeś, gdzie ilość w radianach jest dodawana do wielkości bezwymiarowej i nigdy nie musieliśmy w ogóle uwzględniać fizyki.

Niekoniecznie jest to nierozwiązywalny problem. benrg ma fajną odpowiedź, w której zwraca uwagę, że rozwiązanie powyższej całki można zapisać jako $ x \ ln (x / e) + C= x \ ln x - x \ ln e + C $ , z tym, że $ \ ln e $ jest stałą o wartości 1, alejednostki radianów, więc jednostkami wyrażenia są ogólnie radiany.Wydaje się, że jest to spójne i raczej mi się podoba.

Warto pomyśleć o tym wszystkim trochę dłużej, w deszczowe popołudnie, kiedy nie ma nic innego do roboty.Chodziło mi o to, żeby pokazać, że traktowanie radianów jako jednostki nie jest proste, nawet w świecie czystej matematyki.benrg pokazuje, że mimo wszystko można to robić konsekwentnie, co jest dla mnie interesujące.

Nie możesz dodawać bezwymiarowych ilości chcąc nie chcąc z prostego faktu, że konkretna bezwymiarowa ilość reprezentuje określoną fizyczną rzecz. Korzystając z podanych przykładów, nie możesz dodać m / m do kg / kg, ponieważ reprezentują one różne ilości; jeden to kąt, a drugi to częściowa zawartość masy.

Może to dotyczyć nawet wielkości wymiarowych. Więc masz ciężarówkę, która będąc obiektem 3D ma długość, wysokość i szerokość. Wszystkie są mierzone w jednostkach długości, takich jak metry, ale nie reprezentują tej samej wartości. Gdybym chciał wiedzieć, jak długo pięć ciężarówek jest od końca do końca, nie mógłbym użyć szerokości ani wysokości, ponieważ te wartości nie są istotne dla tego, co mierzę lub obliczam - nawet jeśli są tego samego typu jednostki, tj. o tym samym wymiarze.

Więc więcej niż tylko sprawdzenie, czy równanie jest spójne wymiarowo lub nawet jednostkowe , aby Twoja biblioteka miała pewność, że manipulacje wymiarami naprawdę mają sens, musiałaby wiedzieć, co faktycznie reprezentują wartości i Uwzględnij to w.

Pomyśl o tym w ten sposób: czy tuzin jest bezwymiarowy?

radiany (1), stopnie (0,017) i gradiany (0,0157) to tuziny (12).

Konwencja mówi, że stopień dotyczy kątów, a tuzin - jaj. Nikt nie mówi o 562 stopniach m / s / s, tak jak nikt nie mówi o 0,82 tuzinie m / s / s. Mówią, że 9,8 m / s / s. Ale całkowicie mogli. Nie ma w tym żadnego podstawowego matematycznego ani fizycznego powodu, tylko konwencja w celach komunikacyjnych.

Innymi słowy, po prostu traktuj 90 stopni tak, jak gdybyś otrzymał 1,8 tuzina .

1. Z jednej strony jest to „tylko” wielkość skalarna. Jeśli pomnożymy przez to długość, otrzymacie długość. Jeśli pomnożymy przez nią masę, otrzymacie masę. (Do Twojej wiadomości, żebyś nie pomyślał inaczej, słynny stosunek obwód / promień może pojawić się w niektórych nieoczekiwanych miejscach.)
2. Z drugiej strony 3 tuziny plus 4 jednostki to nie 7 tuzin; musisz gdzieś uwzględnić różnicę.

Od Ciebie zależy, jak i gdzie to zrobisz. Po prostu wiedz, że różnica nie dotyczy dimension, ale raczej magnitude.

Odpowiedziałem na inne pytanie dotyczące jednostek, które było z tym związane. Wskazałem w nim, że jednostki nie są fundamentalną koncepcją w podstawach wszechświata. Są koncepcją, która pomaga ludziom odnosić rzeczywisty świat do równań matematycznych, których używamy do opisu świata. Dlatego ich głównym celem jest bycie użytecznym.

W matematyce jasne jest, że radiany są w rzeczywistości stosunkami mniejszymi o jednostkę, co sprawia, że ​​stopnie są w rzeczywistości skalarem $ \ frac {\ pi} {180} $. Jednak w wielu dyscyplinach inżynieryjnych bardziej przydatne jest traktowanie ich jako samodzielnych jednostek i „upuszczanie” ich tylko wtedy, gdy jest to konieczne, np. > cos .

Boost, prawdopodobnie pierwsza istniejąca biblioteka C ++, ma w sobie system jednostek, Boost.Units. Boost.Units definiuje jednostki kątowe, które nie są bezwymiarowe. W rzeczywistości definiują wymiarowość planar_angle , opisującą radiany i stopnie, oraz wymiarowość solid_angle , opisującą steradyany. W Boost.Units są różnymi wymiarami, mimo że w matematyce oba są stosunkami, więc jesteś w dobrym towarzystwie, jeśli chodzi o myślenie o kątach jako wielkościach niezupełnie bezwymiarowych.

Jeśli dobrze zrozumiałem twoje pytanie, szukasz przypadku w fizyce, w którym kąty są dodawane do dowolnej wielkości bezwymiarowej, ale nie kątowej. Nie sądzę, żeby zdarzało się to zbyt często, ale jest to możliwe.

Weźmy na przykład pod uwagę transformację miernika QED. Pole elektronowe przekształca się jako $$ \ psi \ to e ^ {ie \ theta (x)} \ psi $$ więc $ \ theta (x) $ jest kątem. Ale pole elektromagnetyczne przekształca się jako $$ A_ \ mu \ to A_ \ mu + \ Partial_ \ mu \ theta (x) $$ więc dodajemy kąt do wielkości nieokątnej.

Mówiąc głębiej, powodem, dla którego rzadko widzisz kąty dodane do innych niż kąty, jest to, że kąty są definiowane tylko do wielokrotności $ 2 \ pi $ span >, podczas gdy większość wielkości nie-kątowych nie. Nie możesz więc dodać kąta do fizycznej wielkości bezwymiarowej o określonej wartości. Mój powyższy przykład działa tylko z powodu symetrii mierników: $ A_ \ mu $ dokładna wartość nie jest fizyczna, więc pozwala na pewien stopień przedefiniowania.

Osobiście uważam, że nie należy mylić kąta, powiedzmy $ \ alpha $, i stosunku między $ \ ell $ długością łuku okręgu a jego promieniem $ r $, przynajmniej od samego początku. Jeśli chodzi o pojęcia podstawowe, kąty potrzebują nowego typu „rzeczy”, o której można by mówić; na przykład nie są one ani długością, ani przedziałem czasu.

Co więcej, z geometrycznego punktu widzenia kąt jest określony przez wartości jego sinusa i cosinusa, kropka. Pod tym względem „wymiar kątowy” mógłby być koncepcyjnie pomyślany jako część koła.

Fakt, że gdy ktoś patrzy na okrąg wystarczająco blisko, tj. na małe kąty, to długość łuku jest dobrze przybliżona przez prosty odcinek, a następnie daje zależność tego rodzaju \ begin {equation} \ sin \ alpha \ ok \ frac {\ ell} {R} \ end {equation} Liczba (a nie jednostka), która pojawi się po prawej stronie, będzie ułamkiem liczby $ 2 \ pi $. Teraz, jeśli nazwiemy $ \ alpha_ {tot} $ całkowity kąt rozciągnięty przez okrąg i powiemy, że powyższe przybliżenie jest w porządku, jeśli np. $ \ alpha = \ alpha_ {tot} / {10 ^ 6} $, to mamy to

\ begin {equation} \ sin \ frac {\ alpha_ {tot}} {10 ^ 6} \ ok \ frac {2 \ pi} {10 ^ 6} \ end {equation}

Myślę więc, że kwestią wyboru jest podjęcie decyzji, że naturalną jednostką dla kątów są radiany, tak aby $ \ alpha_ {tot} = 2 \ pi \: rad $. Ze względu na powyższą równość prowadzi to jednak do ważnych konsekwencji:

• Radiany muszą być bezwymiarowe
• Funkcje sinus i cosinus to jedyne funkcje w kalkulatorze, które dbają o jednostkę
• Równanie $ \ ell = \ alpha R $ jest poprawne tylko wtedy, gdy $ \ alpha $ jest wyrażone w radianach. W pewnym sensie nie jest to więc pełne równanie w sensie wymiarowym, ponieważ staje się fałszywe, jeśli na przykład wyrazimy jednostkę kąta w stopniach.

Nie jestem gotowy na odbudowę geometrii od podstaw, ale mam intuicję, że jest to rozsądne i można to robić konsekwentnie. Wydaje się prawdą, że logarytmy (lub odwrotne funkcje trygonometryczne) przenoszą cię do innej (transcendentalnej) dziedziny numerycznej, a wykładniki (lub funkcje trygonometryczne) prowadzą z powrotem, a dodawanie wielkości z różnych dziedzin nie działa. To jest dokładnie sytuacja, w której jednostki są przydatne.

Nazywanie tego „kątem” nie jest wystarczająco ogólne, ponieważ dotyczy również dzienników liczb rzeczywistych. Liczba bitów informacji w systemie jest logarytmem o podstawie 2 liczby równoprawnych stanów, a „bit” jest często używany jako jednostka do tego celu. Podobnie „nat” jest używane do logarytmu podstawy e. Jeśli to wszystko jest zgodne, to „nat” i „radian” to ta sama jednostka.

Jeśli logarytm ma wymiar, to nie ma już podstawy: wybór jednostki zastępuje wybór podstawy. Logarytm bezzasadny spełnia $ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} \ log x = ə / x $ i $ \ int \ log x \, \ mathrm dx = x \ log x - əx + C $, gdzie $ ə = \ log e = \ lim_ {n \ to \ infty} n \ log (1 + 1 / n) = 1 \, \ text {rad} $. Zauważ, że te równania odnoszą się również do zwykłych logarytmów dowolnej podstawy, mimo że nigdy nie wspominają o podstawie - tak jak w każdym innym równaniu poprawnym wymiarowo. Czynniki ə mogą wyglądać dziwnie, ale myślę, że to tylko brak znajomości. Nikt nie patrzy w oczy, gdy wszędzie pojawiają się $ \ pi $ lub $ c $.

Długość łuku prawdopodobnie nie powinna wynosić tylko $ r \ theta $, ponieważ ma on wymiary $ \ text {długość} \ cdot \ text {kąt} $. Oczywiście możesz napisać $ r \ theta / ə $, ale myślę, że ładniejszym podejściem jest uogólnienie na dowolną krzywiznę Gaussa $ k $. Formuła bezwymiarowa to wtedy $ r \ theta \, \ text {sinc} \; r \ sqrt {k} $ lub, dla kąta bryłowego $ \ Omega $ na kuli $ d $, $ \ Omega (r \ , \ text {sinc} \; r \ sqrt {k}) ^ d $. Działa to bez modyfikacji, jeśli podasz $ k $ wymiary $ (\ text {kąt} / \ text {długość}) ^ 2 $, co wydaje się rozsądne, a wymiar wyniku to $ \ text {długość} ^ d $ bez żadnych dodatkowych czynników.

Formuła Eulera to $ \ exp iə \ tau = 1 $. (Lub $ \ exp iə \ pi = -1 $, ale dopóki rekonstruujemy matematykę, równie dobrze możemy wprowadzić inne reformy.)

Biorąc pod uwagę, że często widzisz „bit”, „nat”, „rad”, „deg” itp. jako jednostki ad hoc, dziwne jest, że nigdy nie zostało sformalizowane (o ile mi wiadomo). Oczywiście matematycy nigdy nie dbali o jednostki. Ale fizycy je kochają.

Oto pragmatyczna odpowiedź od kogoś, kto faktycznie pisał obszerne biblioteki jednostek wiele razy w wielu językach (od Mathematica przez Simulink po Excel) do wielu celów przez wiele lat. Więc oba te wypunktowania są oparte na moim osobistym doświadczeniu:

• Jeśli tworzysz bibliotekę jednostek ogólnego przeznaczenia przeznaczoną dla wielu ludzi wykonujących wiele rzeczy, sugeruję, aby NIE robić z kątów jednostki, ponieważ istnieje wiele „pułapek”, w których zazwyczaj trzeba pomnożyć lub podziel losową ilość przez „radiany” w kontekście, w którym nie ma to intuicyjnego sensu, i stanie się to punktem nieporozumień i frustracji dla użytkowników.
• Jeśli tworzysz bibliotekę jednostek dla określonej aplikacji, w której często pojawiają się kąty lub kąty bryłowe, w których wzory fizyczne są względnie proste i obejmują wąską dziedzinę i gdzie tylko Ty lub Twoi bliscy koledzy używacie kodu, to ja NALEŻY zalecać, aby kąty były jednostką, ponieważ dodatkowa korzyść w zakresie sprawdzania błędów przewyższa sporadyczne mylące problemy. (Liczba „pułapek” będzie ograniczona i będziesz w stanie dowiedzieć się, kiedy się ich spodziewać i jak interweniować).

Pomyśl w kategoriach transformacji współrzędnych jako uogólnienia konwersji jednostek.

Podczas konwersji między jednostkami wykonujesz bardzo prostą transformację współrzędnych na pojedynczym, odpowiednim wymiarze fizycznym:

Mnożenie *.

Dodając dwa kąty, masz do czynienia na przykład z biegunowym układem współrzędnych. Podstawowy obszar (fizyka) pozostaje taki sam, ale mapa zmienia się, gdy próbujesz dodać dwa kąty razem. Nowa mapa jest nadal dwuwymiarowa z siatkami kartezjańskimi, ale jest wypaczeniem starej mapy - jak Projekcja Ziemi Mercator. Wszystkie obawy dotyczące wymiarowości wyrażeń, takich jak „tg (kąt)”, są następnie ukryte w przekształceniach współrzędnych, które same są traktowane jako uogólnienie konwersji jednostek.

W przypadku współrzędnych biegunowych występuje dodatkowo nowy zwrot w tym, że jeden z wymiarów jest skończony - zawija się. Oznacza to, że mapa jest w rzeczywistości cylindrem o nieskończonej długości, ale o skończonym obwodzie. Arytmetyka modulo staje się wówczas kluczem do pojęcia współmierności.

Jeśli chodzi o wielkości wektorowe, takie jak „wysokość-metr” i „długość-metr” - obejmują one operacje wektorowe. Analiza wymiarowa może być zastosowana do wielkości wektorowych i ich operacji, tak samo jak do operacji skalarnych.

* Konwersja między temperaturami jest mnożeniem z przesunięciem, ale nadal jest to przekształcenie współrzędnych w jednym wymiarze.

Chodzi o to, że samo pojęcie „wymiarów” jest generalnie niefizyczne, jest to ludzka konstrukcja, która została wymyślona, ​​aby umożliwić ludziom wykonywanie obliczeń, gdy nie są w stanie porównać różnych wielkości z jakiegokolwiek powodu (niewystarczająca wiedza, chęć użycia niezgodnych jednostki w tym samym równaniu itp.). W rzeczywistości wszystko jest bezwymiarowe, ponieważ co oznaczałoby, że pewna wielkość fizyczna byłaby zasadniczo wymiarowa? Czy mógłbyś przeprowadzić eksperyment, aby to zademonstrować? Oczywiście, że nie, więc pojęcie wymiarów jest niefalsyfikowalne, to tylko konwencja, której się trzymamy (kiedy nie używamy jednostek naturalnych).

Zatem kąt jest rzeczywiście bezwymiarowy, ale zasadniczo tak samo jest z długością, odstępami czasu, temperaturami mas itp. itd. Teraz, jak wskazano w innych odpowiedziach, sumowanie kąta do jakiejś bezwymiarowej wielkości nie zawsze ma sens , ale to samo można powiedzieć o długościach, odstępach czasu, masach itp. Chociaż możesz użyć jednostek naturalnych, umieszczając $ \ hbar = c = G = 1 $ i odrzucić wszelkie pojęcia wymiarów, nadal nie będzie to miało sensu ogólnie, aby dodać kilka losowych wyrażeń dla wielkości fizycznych.

Ale jak to się dzieje, że analiza wymiarów może działać, jeśli całe pojęcie wymiarów jest fałszywe? Powodem jest to, że może wynikać z argumentu skalowania w dobrej wierze. Należy wziąć pod uwagę, że przy dostępnych stałych $ \ hbar $, $ c $ i $ G $ nie można ustawić żadnego argumentu wymiarowego, ponieważ zawsze można dokonać konwersji z jednego wymiaru na inny przy użyciu tych stałych. Zatem analiza wymiarowa zawsze musi wiązać się z dodatkową regułą ad hoc, w zależności od problemu, aby nie używać jednej lub więcej z tych stałych.

Co to znaczy narzucić regułę, która zabrania używania $ c $ do przeliczania długości na przedziały czasowe i odwrotnie podczas wykonywania analizy wymiarowej? Można powiedzieć, że oznacza to, że efekty relatywistyczne można zignorować. Ale to oznacza, że ​​używając jednostek naturalnych, możemy przeskalować odstępy czasu w stosunku do długości, wprowadzając bezwymiarową stałą skalowania $ c $, która pojawia się dokładnie tam, gdzie normalnie umieszczamy prędkość światła w równaniach, a następnie rozważamy granicę skalowania, do której wysyłane jest $ c $ do nieskończoności. Oto jak należy ponownie zinterpretować analizę wymiarową.

Teraz argumenty skalowania nie są oczywiście ograniczone do długości, przedziałów czasu itp., możesz wymyślić argumenty skalujące, które obejmują kąty, np. podczas wykonywania obliczeń w granicach małych kątów. Ale poza tym, gdy kąty nie są małe, nie ma oczywistego ograniczenia skalowania, nad którym się pracuje, dlatego pomysł przypisania wymiaru do kąta jest tak nienaturalny, jak nieużywanie jednostek $ c = 1 $ w szczególnej teorii względności.

Dimensions kąta zależy od punktu widzenia i celu (używania wymiarów).

Podobnie Units (i niejawna skala) kąta zależy również od lokalnych zwyczajów i praktyk, które wspierają te punkty widzenia i cele.

Osobiście chcę, aby kąty były wymiarem, szczególnie do wykrywania i korygowania błędów w obliczeniach naukowych i inżynieryjnych. Istnieją narzędzia obliczeniowe, które obejmują sprawdzanie i przewidywanie wymiarów, takie jak MathCAD, Mathematica (dodatek), Maple itp., Ale nie są one tak powszechne, jak mogłyby być.

Ci, którzy używają podstawowych (czystych liczb) narzędzi do obliczeń numerycznych, często nie widzą problemu, więc argumenty są gorące.

Podobnie historycznie, gdy dominowały ołówki i papier, określanie jednostek i wymiarów było niezależne od arytmetyki, więc występowały podobne problemy. Możliwość uwzględnienia skalowania jednostek i wymiarów w obliczeniach symbolicznych nigdy nie została wykorzystana.

Dla matematyków zwykle ważne jest, aby osiągnąć pewien poziom abstrakcji w stosowalności teorii matematycznych. Mają ogólne pojęcie „długości”, które inni następnie mylą z codziennymi pojęciami długości jako miary linijki (lub jej odpowiednika).

Należy zauważyć, że długość nie jest w rzeczywistości wymiarem. Jest to raczej metryka przestrzeni 3D. Gdyby Długość była tylko przestrzenią 1D (rzeczywistą), nie byłoby problemu z kątem, ponieważ nie byłoby problemu z 6 stopniami swobody dla ciał w przestrzeni długości (drugie 3 stopnie to kąty!).

Złożoność mogłaby stanowić problem (w przypadku 1D długości), ale należałoby zapytać „Gdzie znajduje się ten ortogonalny urojony wymiar?”.

Zakładając, że ujednoznacznienie raportowania wyników i obliczeń stało się ponownie dozwolone (w SI) za pośrednictwem „dodatkowych wymiarów”, wówczas znacznie zmniejszyłoby to liczbę błędów w inżynierii i nauce oraz ulepszyło narzędzia obliczeniowe na początku aby z nich korzystać.

W kilku miejscach potrzebna byłaby dodatkowa „edukacja”, tak aby moment obrotowy został zdefiniowany jako niutonometr na radian, a zatem różnił się od pracy (niutonometr). Oduczenie się złych nawyków zajmuje dużo czasu!

Na http://iopscience.iop.org/0026-1394/47/6/R01/ dostępny jest dobry artykuł przeglądowy na temat kwestii związanych z przygotowaniem SI do ery automatyzacji. stacks.iop.org/Met/47/R41].

Hall jest inny artykuł na temat potrzeb systemów oprogramowania „Software Support for Physical Quantities” (był http://mst.irl.cri.nz/Portals/5/enzcon.pdf , dostępne pod adresem https://www.researchgate.net/publication/236673054_Software_support_for_physical_quantities)

Przedstawiłem również propozycje Mathcadowi, ale dokument obecnie nie jest widoczny https://www.ptcusercommunity.com/docs/DOC-1501

No.

Oprócz wspomnianych już przykładów tutaj są pewne rzeczywiste problemy z różnymi wielkościami bezwymiarowymi i dlaczego nie można ich mieszać. :(

Zaczynając od jednostek prędkości kątowej:

• Hertz (Hz) dla częstotliwości $ f $ mierzonej w okresach na sekundę (co odpowiada $ \ frac {2 \ cdot \ pi} {s} $)

lub

• Częstotliwość kątowa $ \ omega $ mierzona w $ \ frac {rad} {s} $

Możesz dowolnie wybierać, czy obliczasz energię fotonu za pomocą $ hf $, czy za pomocą $ \ hbar \ omega $. Jeśli przejrzysz książki, z przerażeniem przekonasz się, że wiele książek wykorzystujących wartości częstotliwości nie wspomina, czy oznaczają one częstotliwość kątową, czy normalną (zwłaszcza prace teoretyczne dotyczące optyki i ogólnie wibracji).

Jeszcze gorzej jest ze steradiantem:
System jednostek Gaussa uznał, że wykorzenienie odwrotnego czynnika $ 4 \ cdot \ pi $ z prawa Coulomba to świetny pomysł. Problem polega na tym, że czynnik musi wystąpić, jeśli całkujesz ładunki po zamkniętym kącie bryłowym, więc wymazanie współczynnika oznacza, że ​​system Gaussa ustala pełny kąt bryłowy, pełną sferę równoważną 1. To powoduje nieskończony ból, jeśli spróbujesz poradzić sobie z równaniami jasności w systemie Gaussa. Innym problemem jest to, że jednostek SI i Gaussa nie można łatwo przekształcić. W jednostkach Gaussa równania wielomianowe zachowują współczynnik 1, podczas gdy jednostki SI muszą dopasować równania do $ (4 \ cdot \ pi) ^ n $.

Bezwymiarowy nie jest wymiarem, ale raczej lack tego. Twoja wymyślona zasada nr 1 nie zostanie naruszona, ponieważ stosuje only do ilości, które have. Jeśli chcesz również obsługiwać ilości, które nie mają wymiaru, musisz wiedzieć, jakie były wymiary, zanim zostały „anulowane”. Na przykład: jeśli masz ilość, która ma l / l , a inną, która ma m / m , to wiesz, że nie są one „zgodne”, mimo że (po ich wymiarach anuluj) wydają się być. Jeśli nie możesz pobrać historii z przeszłości, po prostu „oflaguj” wynik jako „wynik może nie być prawidłowy, ponieważ w grę wchodzą ilości bezwymiarowe”.

Jeśli chodzi o kąty, to do mają wymiary (stopnie, radiany, steradyany). Nie powinno być problemu z dodawaniem (lub odejmowaniem) angles o tym samym wymiarze. Tak więc, o ile wymiar jest „dołączony” do każdej ilości, nie powinno być problemu z „obsługą” go.

Kwestia, czy używamy radianów czy stopni do określenia kąta , to nie kwestia wymiarów, lecz pytanie, której definicji użyjemy dla kąta .

Możesz zobaczyć tę odpowiedź, aby uzyskać dłuższe wyjaśnienie. Ale zasadniczo pomyśl przez chwilę o gęstości materii. To może mieć wymiary $ \ frac {\ text {kg}} {\ text {m} ^ 3} $ lub $ \ frac {\ text {lb}} {\ text {cm} ^ 3} $ (lub wiele innych opcje). Ale te wymiary nie zmieniają faktu, że gęstość materii jest zawsze definiowana jako $ \ frac {\ text {masa materii}} {\ text {objętość materii}} $. Alternatywnie moglibyśmy zdefiniować gęstość materii jako $ \ frac {\ text {masa materii}} {5 \ times (\ text {objętość materii})} $. Byłoby to równie przydatne i zawierałoby te same informacje, co bardziej standardowa definicja, ale oznaczałoby to, że musielibyśmy nosić ze sobą wszystkie te 5 $ w naszych formułach. O wiele bardziej naturalne jest użycie w naszych definicjach po prostu 1 $ s zamiast 5 $ s. Nie ma powodu, aby mieć 5 $ lub jakąkolwiek inną liczbę. (UWAGA: z matematycznego punktu widzenia ta alternatywna definicja może podać wielkości liczbowe dla gęstości materii, które są identyczne ze standardową definicją, jeśli użyjemy innych wymiarów, ale dla tego wyjaśnienia można to potraktować jako matematyczną ciekawostkę lub przypadek). / p>

W przypadku kątów istnieją naprawdę dobre powody, aby mieć wiele definicji. Podstawowym tego powodem jest to, że istnieje bardzo naturalny i „specjalny” kąt, który jest bardzo przydatny - kąt pełnego obrotu wokół koła. (W przeciwieństwie do tego, nie ma naturalnej „specjalnej” gęstości materii, poza gęstością materii w próżni…). Zatem pierwsza dobra definicja kąta będzie obejmować tylko 1 $ s: $ \ text {kąt} = \ frac {\ text {długość łuku koła}} {\ text {długość promienia okręgu}} $. Ta definicja jest dobra, ponieważ wtedy nie musimy nosić ze sobą żadnych dodatkowych irytujących czynników, gdy używamy funkcji takich jak $ \ sin $ (chyba że odpowiednio przedefiniujemy te funkcje, ale doprowadzi to do niekończącego się łańcucha noszenia irytujących liczby w innych funkcjach). Wadą tej definicji jest to, że specjalny kąt pełnego obrotu wokół koła okazuje się brzydką liczbą niewymierną z nigdy nie kończącym się rozszerzeniem dziesiętnym: 6,28318530718 ... $. Druga dobra definicja rozwiązuje ten problem, definiując kąt (w przybliżeniu) jako $ \ text {kąt} = \ frac {\ text {długość łuku koła}} {\ text {długość promienia koła}} \ times {57.29577951308} $. To sprawia, że ​​specjalny kąt wynosi 360 $, co jest bardzo miłe, ponieważ jest liczbą całkowitą, a także niektóre inne ważne kąty okazują się liczbami całkowitymi (kąt prosty, kąt prosty). Ale z drugiej strony ta definicja jest bardzo nienaturalna i niezgodna z naszymi definicjami innych funkcji (takich jak $ \ sin $). ( ta odpowiedź pokazuje tę niezgodność)