Próba stworzenia analogii ze zwykłymi doświadczeniami wydaje się bezużyteczna; gdybym pobiegł na północ przez jakieś „pole” płynące na zachód, nie spodziewałbym się, że nagle polecę w niebo.

Jest to rozsądne oczekiwanie, ponieważ elektryczność a pola grawitacyjne wytwarzają siły skierowane w kierunku pola. Spróbujmy więc zobaczyć, co pójdzie nie tak, jeśli zapiszemy prawo siły dla magnetyzmu, które zachowuje się w ten sam sposób. Pierwszą rzeczą, jaką moglibyśmy wypróbować, byłoby

$$ \ textbf {F} = q \ textbf {B} \ qquad (1) $$

Cóż, to nie działa , ponieważ taka siła zachowywałaby się dokładnie tak samo jak siła elektryczna, a zatem byłaby siłą elektryczną, a nie oddzielnym zjawiskiem. Siły magnetyczne mają być interakcjami poruszających się ładunków z ruchomymi ładunkami, więc wyraźnie musimy uwzględnić $ \ textbf {v} $ po prawej stronie. Jednym ze sposobów na zrobienie tego byłoby standardowe prawo siły Lorentza, ale szukamy jakiejś alternatywy w kierunku pola. Możemy więc zapisać to:

$$ \ textbf {F} = q \ textbf {B} | \ textbf {v} | \ qquad (2) $$

Jako przykład tego, co jest nie tak z tym, załóżmy, że mamy identyczne ładunki $ q $ połączone sprężyną. Jeśli siedzą w stanie równowagi w spoczynku, równanie (2) mówi, że nie ma na nich siły magnetycznej. Ale załóżmy, że zaczniemy trochę wibrować. Teraz zaczną strzelać w kierunku pola magnetycznego. Narusza to zasadę zachowania energii i pędu.

Zasadniczo sprowadza się to do problemu algebraicznego. Iloczyn wektorowy ma właściwość rozdzielającą $ (\ textbf {v} _1 + \ textbf {v} _2) \ times \ textbf {B} = \ textbf {v} _1 \ times \ textbf {B} + \ textbf {v} _2 \ times \ textbf {B} $, aw przykładzie ładunków na sprężynie, przy rzeczywistej sile Lorentza, gwarantuje to, że siły magnetyczne działające na dwa ładunki zniosą się. Naprawdę potrzebujemy tej właściwości dystrybucyjnej i faktycznie można udowodnić, że iloczyn wektorowy wektora jest jedyną możliwą formą mnożenia wektorów (do stałej mnożenia), która daje wynik wektora, jest niezmienna rotacyjnie, jest dystrybucyjna i dojeżdża z mnożenie przez skalar. (Zobacz moją książkę http://www.lightandmatter.com/area1sn.html, dodatek 2.)

Argument pseudowektorowy

Jest argument intuicyjny, ale pierwszą rzeczą do zrobienia jest wzięcie liczby podwójnej Poincare z B. W trzech wymiarach istnieje tensor epsilon $ \ epsilon_ {ijk} $, który jest niezmienna - nie zmienia się podczas rotacji. Ma $ \ epsilon_ {123} = 1 $ i wszystkie węzły przesiadkowe dają znak minus, więc wartość $ \ epsilon $ jest równa zero z dwóch indeksów, a znak permutacji, aby dostać się do 123, jeśli są różne. Tensor epsilon skurczony z trzema wektorami $ v_1, v_2, v_3 $ daje oznaczony obszar rozciągnięty przez równoległościan, który tworzą. Ponieważ obszar ze znakiem jest wyznacznikiem macierzy v połączonych w 3 kolumny, zmienia znak pod wpływem odbicia wszystkich trzech osi współrzędnych.

Podstawową wielkością w elektromagnetyzmie jest $ B _ {\ mu \ nu} = \ epsilon _ {\ mu \ nu \ sigma} B ^ {\ sigma} $, tensor epsilon skurczył się z B. To jest tensor antysymetryczny rzędu 2. Ponieważ tensor $ \ epsilon $ jest niezmienny, tensor antysymetryczny jest równoważny wektorowi w trakcie rotacji, ale nie jest równoważny w przypadku odbić. Powodem jest to, że chociaż wektor zmienia znak pod wpływem odbić, tensor nie. Odnosi się to również do B - jest to pseudowektor, jeśli odbijasz przestrzeń przewodem przenoszącym prąd, kierunek B nie zmienia się.

Fakt, że B jest zasadniczo tensorem, a nie wektor oznacza, że ​​gdy oddziałuje z cząstką o prędkości v, może tworzyć siłę tylko wtedy, gdy jeden z indeksów jest z czymś skurczony. Jedyną rzeczą, z którą można się skurczyć, jest prędkość, więc otrzymujesz $ B _ {\ mu \ nu} v ^ \ mu $ jako siłę, a to jest $ v \ razy B $

W teorii względności, jest to jedyna naturalna rzecz, ponieważ pola E i B razem tworzą antysymetryczny 2-tensor, a siła cztero-Lorentza jest tym tensorem skurczonym z prędkością 4. Ta forma jest tak naturalna i intuicyjna, że ​​nie wymaga szczegółowego uzasadnienia.

Bardziej fizyczne powtórzenie argumentu

Powyższe jest w pewnym sensie formalnym brzmieniem, ale chodzi tylko o to: pole magnetyczne nie zmienia znaku pod odwróceniem współrzędnych przestrzeni. Aby zobaczyć to fizycznie, rozważ elektromagnes prądu rozciągający się wzdłuż osi z od -a do a, z prądem przeważnie w płaszczyźnie x-y wzdłuż każdego uzwojenia, i odbij ten solenoid w osiach x-y-z. Odbicie x odwraca prąd, odzwierciedlenie y powoduje powrót do miejsca, w którym się zaczęło, a odbicie z nie zmienia solenoidu.

Ponieważ prąd jest taki sam, B jest takie samo! Więc B z solenoidu nie zmienia się pod wpływem odbicia. Zatem siła działająca na cząstkę nie może przebiegać wzdłuż kierunku B, ponieważ siła zmienia kierunek pod wpływem odbicia, a B nie. Siła może działać tylko w kierunku wielkości, która zmienia kierunek, a najprostsza taka wielkość to $ v \ razy B $. Po odbiciu v odwraca kierunek, a B nie, więc siła Lorentza odpowiednio się odwraca.

Ten argument zakłada symetrię odbicia, która jest symetrią elektromagnetyzmu, ale w rzeczywistości nie jest podstawową symetrią w naszym wszechświecie . Ten sam argument refleksji pokazuje, że ładunek magnetyczny nie jest właściwie symetryczny z ładunkiem elektrycznym, ponieważ ładunek magnetyczny zmienia znak pod wpływem odbicia (odzwierciedla wszystkie współrzędne z ładunkiem u źródła - pole przemieszcza się w nowe miejsce, ale wskazuje w tym samym kierunku, więc zwrot ładunku magnetycznego). Ta właściwość oznacza, że ​​monopole magnetyczne były wczesnym sygnałem, że natura nie jest niezmiennikiem parzystości i może wyjaśniać, dlaczego Dirac nie był zaskoczony, gdy wykazano, że słabe interakcje naruszają parzystość.

Drugim założeniem jest, że siła jest najprostsza niezmienna kombinacja odbicia B i v. Jeśli porzucisz ideę, że siła jest liniowo proporcjonalna do B, istnieją bardziej skomplikowane kombinacje, które również działają, aby dać niezmiennicze prawo siły odbicia. Te kombinacje generalnie nie są zgodne z zasadą zachowania energii.

Aby mieć automatyczną oszczędność energii (i automatyczną przestrzeń fazową z właściwościami symplektycznymi), powinieneś wyprowadzić równania ruchu z akcji.

Argument hamiltonowski i niezmiennik cechowania

Najlepszym argumentem jest koncepcja potencjału pędu (lub potencjału wektora). Podobnie jak energia ma dodaną energię potencjalną, która wynosi $ e \ phi $, pęd ma potencjał dodany, który wynosi $ eA $, gdzie A jest potencjałem wektora.

Lagrangian interakcji wynosi

$$ mA \ cdot \ dot {x} $$

Co daje pęd sprzężony $ mv + eA $, tak że energia kinetyczna wynosi $ (p-eA) ^ 2 \ ponad 2 mln $, a energia potencjalna to $ e \ phi $. Równania Hamiltona dla tej energii dają prawo siły Lorentza. Równania Hamiltona to:

$$ \ części_t p = \ części_x {(p-eA) ^ 2 \ ponad 2m + \ phi} $$$$ \ części_t x = {p - eA \ over m } $$

A połączenie równań z równaniem drugiego rzędu dla przyspieszenia x daje prawo siły Lorentza. To samo zastąpienie w hamiltonianie, $ p $ na $ p-eA $, działa w teorii względności, aby dać prawidłowe czterowymiarowe prawo siły Lorentza.

Identyfikacja B z $ \ nabla \ razy A $ może można uzasadnić niezmienniczością równań przy dodawaniu gradientu do A. Klasycznie fizyczną częścią A jest jego zwinięcie, co jest rozsądne, aby identyfikować się z B w równaniach Maxwella.

Ten argument jest zasadniczo rozsądny , ponieważ nie zależy od niezmienności odbić (każdy argument oparty na symetrii odbicia jest naprawdę fałszywy, ponieważ wiemy, że nie jest to symetria natury w jakimkolwiek podstawowym sensie) i jest poprawny mechanicznie kwantowo, gdy interpretujesz niezmienność cechowania jako wolność w fazie lokalnej przedefiniowanie funkcji falowej cząstki naładowanej. Jedyną wadą jest to, że wymaga pewnej znajomości zasady Hamiltona.

Siła Lorentza jest prostopadła do prędkości, co jest równoważne twierdzeniu, że siła nie działa na naładowaną cząstkę; zmienia tylko kierunek prędkości, a nie jej wielkość.

Siła jest również prostopadła do pola magnetycznego. Wynika to ze wzoru i ten fakt - i całą formułę - można wyprowadzić różnymi metodami, np. ze szczególnej teorii względności.

Ta cecha - siła jest prostopadła do pola - odróżnia pole magnetyczne od pól elektrostatycznych i grawitacyjnych. Pod tym względem jest inaczej: w przeciwieństwie do pola elektrostatycznego i grawitacyjnego, natężenie pola nie jest gradientem żadnego „potencjału skalarnego”. Ale nie ma paradoksu. Różne efekty w Naturze mogą wynikać z różnych wzorów matematycznych i często tak się dzieje.

Jeśli masz z tym problem, po prostu doceń to, że $ (B_x, B_y, B_z) $, które wygląda jak wektor, jest tylko skrótem dla $ (F_ {yz}, F_ {zx}, F_ {xy}) $, trzy składniki tensora antysymetrycznego z trzema indeksami (składniki są podzbiorami tensora relatywistycznego $ F _ {\ mu \ nu} $, który zawiera również pole elektryczne).

Na przykład, jeśli $ \ vec B = (0,0, B_z) $, wówczas niezerowy trzeci składnik może zostać zapisany jako $ B_ {z} = F_ {xy} $ i zamiast strzałki w kierunku $ z $ możesz wizualizować pole za pomocą zorientowanej pętli (ze strzałką) w płaszczyźnie $ xy $ (do której wektor skierowany $ z $ jest normalny). To ta sama informacja.

Ta pętla na płaszczyźnie $ xy $ naprawdę mówi ci, co robi pole magnetyczne z naładowanymi cząstkami: obraca ich prędkość zgodnie z ruchem wskazówek zegara (lub przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, w zależności od znaku $ B_z $ i ładunku $ Q $) w płaszczyźnie $ xy $.

Oto przykład z Principles of Electrodynamics Schwartza, oparty na teorii względności. (Czy właśnie zdyskwalifikowałem tę odpowiedź jako „nieintuicyjną”? Kontynuując niezależnie ...)

Wyobraź sobie nieskończony, prosty przewód ze stałym prądem, który składa się z równej liczby dodatnich i ujemnych ładunków przepływających przez w przeciwnych kierunkach (więc gęstość ładunku netto drutu wynosi 0).

Teraz dodaj cząstkę z ładunkiem q poruszającą się równolegle do drutu ze stałą prędkością v (ramka laboratorium K). Jaka jest siła działająca na cząstkę?

Odpowiadając, Schwartz przekształca problem w ramkę reszt K 'cząstki. Stosując odpowiednie wzmocnienie Lorentza do czterowektora prądu ładowania drutu, można stwierdzić, że w K 'ma on niezerową gęstość ładunku. Ładunek jest zatem przyciągany do drutu przez pole elektrostatyczne.

(Istnieją tutaj dwa założenia / fakty empiryczne: 1) w układzie spoczynkowym cząstki siła jest podawana przez pole elektryczne, które widzi cząstka, oraz 2) ponieważ rozkład ładunku i prądu jest czas niezależnie, można obliczyć pole elektryczne w K 'zwykłym podejściem całkowania-nad-gęstością ładunku.)

Wracając do ramy laboratorium, można znaleźć odpowiedź na pytanie, które brzmi: silny> poruszający się ładunek odczuwa siłę prostopadłą do jego prędkości .

Jeśli teraz obliczysz oddzielnie pole B dla prądu za pomocą zwykłego wzoru, okaże się również, że obliczona powyżej siła spełnia F = q vxB .

Oczywiście powyższy przykład to tylko jeden przykład (i nie miałby zastosowania, gdyby cząstka poruszała się w kierunku drutu zamiast równolegle do niego, ponieważ założenie 2 byłoby naruszone). Jest bardziej złożony proces indukcji dostać się do pełnego aparatu relatywistycznego. Jednak powyższy przykład potwierdza istnienie siły prostopadłej do prędkości naładowanej cząstki i pola magnetycznego.

Podam tutaj bardzo krótki argument oparty na mechanice kwantowej. Ten argument ma w rzeczywistości głębokie fizyczne i historyczne pochodzenie, które spróbuję podać w dalszej części. W mechanice kwantowej operator prędkości cząstki w zewnętrznym polu magnetycznym to (przy minimalnym sprzężeniu):

$ \ mathbf {v} = \ frac {p - q \ mathbf {A}} {m} $

Gdzie $ \ mathbf {A} $ to potencjał wektora. Oznacza to, że pole magnetyczne jest podawane za pomocą kanonicznych relacji komutacyjnych:

$ \ mathbf {B} = - im ^ 2 \ mathbf {v} \ times \ mathbf {v} $

Teraz nietrudno to sprawdzić

$ \ mathbf {v}. \ mathbf {F} \ propto \ epsilon_ {ijk} [v_i, [v_j, v_k]] $

który znika przez tożsamość Jacobiego ($ \ mathbf {F} $ jest siłą Lorentza), która jest wymaganą relacją ortogonalności.

To „wyprowadzenie” jest w rzeczywistości częścią bardzo interesującego argument Feynmana, za którym kryje się bardzo ciekawa historia. W rzeczywistości argument nie wymaga mechaniki kwantowej, a jedynie pojęcia nawiasów Poissona. Feynman nie potraktował argumentu poważnie i nie opublikował go. Dopiero w 1990 r. Po jego śmierci argument ten został opublikowany (w jego imieniu) przez Dysona: F. Dyson, Am.J.Phys. 58,209 (1990).

Argument Feynmana jest bardzo głęboki, ponieważ pozwala na wyprowadzenie całej teorii Maxwella (wraz z równaniem siły Lorentza) wychodząc od bardzo prostych i podstawowych założeń:

1. Kanoniczne nawiasy Posissona położenia i prędkości.

2. Minimalne sprzężenie: Siła elektromagnetyczna działająca na cząstkę naładowanego punktu zależy tylko od położenia i prędkości.

Proszę, zobacz sekcję wprowadzającą w następującym artykule autorstwa Carineny, Ibort, Marmo i Sterna.

Jednym z uogólnień tej procedury jest wyprowadzenie równań Yanga-Millsa zgodnie z te same zasady

Przypuszczam, że można by o tym myśleć w kategoriach źródła i odpowiedzi. Pola elektryczne i magnetyczne są wytwarzane przez źródła, a mianowicie ładunki elektryczne i prądy. Można myśleć o prądach jako o względnym dryfcie między przeciwnie naładowanymi cząstkami.

Rozważmy elektron o prędkości w płaszczyźnie xy (V $ _ {\ phi} $) pod wpływem pola magnetycznego wzdłuż + $ \ hat {z} $ lub B $ _ {z} $. Aby otrzymać B $ _ {z} $, moglibyśmy użyć okrągłego drutu prądu I $ _ {\ phi} $ w płaszczyźnie xy, który miałby kierunek wektora w dodatnim kierunku azymutalnym (lub przeciwnie do ruchu wskazówek zegara). Prądy są definiowane przez ruch ładunków dodatnich, więc elektrony poruszają się w przeciwnym kierunku.

Zatem przyspieszenie elektronu na skutek wpływu B $ _ {z} $ spowodowałoby, że trajektoria cząstki zmieniłaby się wygląda jak koło w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, podobne do wspomnianego wcześniej I $ _ {\ phi} $. Jednak prąd związany z tym elektronem, I $ _ {e} $, jest w kierunku przeciwnym do I $ _ {\ phi} $ lub I $ _ {\ phi} $ ~ -I $ _ {e} $ (ignorując wielkości, po prostu martw się o znak).

Celem tej nieco skomplikowanej odpowiedzi jest zilustrowanie, że reakcją elektronu jest skuteczne przeciwdziałanie działającemu na niego polu. Jest to podobne do koncepcji indukcji w prawie Faradaya, zgodnie z którą indukowany jest prąd, aby spróbować zapobiec zmianie strumienia magnetycznego. Idea jest podobna w przypadku elektronu, gdzie jego orbita jest faktycznie prądem indukowanym, a prąd ten działa przeciwnie do B $ _ {z} $.

Powinno to mieć sens, ponieważ należy zachować energię / pęd. Można o tym myśleć na dwa sposoby: B $ _ {z} $ traci energię / pęd, aby przyspieszyć elektron lub B $ _ {z} $ traci energię / pęd, ponieważ prąd indukowany (przez orbitę elektronu) działa przeciwko niemu. Hmm, ta ostatnia część jest bardziej zagmatwana, niż myślałem na początku. Zastanawiam się, czy „lub” powinno być „i”? Niezależnie od tego cząstka reaguje na pole, wytwarzając skuteczny prąd w przeciwnym sensie niż ten, który wytworzył pole.

Nie lubię intuicyjnych wyjaśnień, które nie są intuicyjne! Intuicyjne wyjaśnienia nie mogą zawierać formuł i matematyki.

Powinien stanowić analogię, która, choć nie do końca trafna, pomaga czytelnikowi poczuć coś za sobą suchy wzór lub twierdzenie.

Od dłuższego czasu szukam intuicyjnego wyjaśnienia siły Lorentza i teraz znalazłem taki, który bardzo mi się podoba.

Zacznijmy od rysunek (poniżej), który przedstawia siłę Lorentza wizualizowaną jako interakcję pomiędzy wyimaginowanymi tubami magnetycznymi.

_{(źródło: conspiracyoflight .com)}

Wyobraź sobie taki, który patrzy na pionowy magnes, południową część po lewej stronie i północną część po prawej stronie. Linie magnetyczne biegną od prawej do lewej (N-> S)

Teraz wyobraź sobie ładunek dodatni poruszający się pionowo przez linie magnetyczne. Generuje wokół siebie pole magnetyczne na zasadzie prawej ręki. Linie tego pola są poziome i przeciwne do ruchu wskazówek zegara.

Pamiętaj, że równoległe magnetyczne linie siły poruszające się w tym samym kierunku są zwykle konsekwencją siły odpychania. Równoległe magnetyczne linie siły poruszające się w przeciwnych kierunkach są zwykle konsekwencją siły przyciągania.

Jeśli patrzysz na magnesy i poruszający się ładunek w pionie, z tyłu (po drugiej stronie) linie magnetyczne ( zewnętrzne i generowany ładunek) są w tym samym kierunku, który jest zwykle wytwarzany przez siłę do przodu. W przedniej (bliższej stronie) linie magnetyczne znajdują się w przeciwnym kierunku, co jest normalnie generowane przez dodatkową siłę skierowaną do przodu.

W konsekwencji cząstka doświadcza siły z dalekiej strony do bliższej, ciemną strzałką pokazaną na rysunku.

Wreszcie, jeśli siła ma składową w tym samym kierunku co prędkość, siła będzie generować ciągły wzrost prędkości. Spowoduje to na zawsze wzrost energii kinetycznej, ponieważ magnesy nie muszą być ładowane. Gdyby siła miała składową w kierunku przeciwnym do prędkości, ładunki zatrzymałyby się i nie ma możliwego prądu elektrycznego wewnątrz pola magnetycznego.

Wraz z pojawieniem się metody Einsteina na temat elektromagnetyzmu, magnetyczne linie siły został zdegradowany do wyimaginowanej istoty. Jest to jednak przydatne podejście do wyjaśniania pojęć!

Źródło: https://www.conspiracyoflight.com/Lorentz/Lorentzforce.html

How about this?Assume that the Lorentz force is not perpendicular to $v$ (that is $v$ has a nonzero component parallel to $F$). The force acts on the charge causing it to accelerate...which in turn increases the force ($qvB$ where $v$ is the component parallel to $F$) this in turn increases the acceleration which increases the force and so on ad infinitum. This would obviously violate conservation of energy and therefore $v$ must be perpendicular to $F$. The same argument explains why $B$ must be perpendicular to $v$.

Naładowana część nigdy nie pozostałaby na swoim miejscu. Próbujesz rozwiązać bez całego równania, ale twoja odpowiedź powinna wyglądać tak dla działającego modelu. Zamiast tego, gdyby dodatni dysk jednobiegunowy zastąpił go dodatnio naładowaną cząstką.