Skalar to wielkość jednoskładnikowa, która jest niezmienna przy obrotach układu współrzędnych

OK, ale co w takim razie rozumiesz przez „rotację”?

Widzisz, skalar w znaczeniu zdefiniowanym w Twoim cytacie nie jest tylko „skalarem”, kropka. Możesz mieć tylko skalar w odniesieniu do określonej operacji rotacji. Ta sama wielkość może być skalarem w odniesieniu do jednego rodzaju obrotu i wektorem lub tensorem w odniesieniu do innego.

Prawdą jest, że istnieje grupa rotacyjna (grupa $ U (1) $), która działa na płaszczyźnie zespolonej i zamienia jedną liczbę zespoloną w drugą. Ale to nie jest typ rotacji, której używają fizycy grupowi. Używamy rotacji, które zamieniają kierunki fizyczne w siebie (tradycyjna rotacja $ SO (3) $) lub które zmieniają kierunki linii świata w siebie (grupa Lorentza), lub które zamieniają stany spinowe w jeden inna (dowolna grupa $ SU (2) $ spin) lub stany kolorów (grupa $ SU (3) $ używana w QCD) i tak dalej. Żaden z tych obrotów nie wpływa na zwykłą starą liczbę zespoloną, ponieważ zwykła stara liczba zespolona nie ma przypisanego żadnego fizycznego znaczenia, które spowodowałoby jej zmianę podczas dowolnej operacji rotacji fizycznej.

Ma to wpływ na to, co liczy się jako „składnik”. Jak wspomniał w komentarzach użytkownik2357112, zależy to od kontekstu: na przykład możesz traktować liczbę zespoloną jako wektor dwuskładnikowy lub możesz mieć wektor o złożonych współczynnikach (jak w mechanice kwantowej) , w którym to przypadku każda liczba zespolona jest tylko jednym składnikiem. W rzeczywistości są nawet sytuacje, w których cała macierz może być składnikiem, na przykład wektor Pauliego.

Chodzi o to, że nie powinieneś zakładać, że składnik musi być liczbą rzeczywistą, ani nawet jakąkolwiek liczbą.Prawdopodobnie bardziej sensowne jest definiowanie komponentu w kategoriach rotacji (ponieważ w matematyce cała idea składowych pochodzi z przestrzeni wektorowych, więc równie dobrze możemy zrobić analogiczną rzecz w fizyce).Nie mam zamiaru sugerować tutaj żadnej rygorystycznej definicji, ale rozsądnym byłoby uchwycenie idei, że komponenty wektora „wymieniają się” między sobą w ramach obrotu, a jeśli na jakiś obiekt matematyczny nie wpływa pewienobrót, to cały obiekt (czy to liczba, wektor, tensor, cokolwiek) zasługuje na to, aby być uznanym za jeden składnik (a więc jako skalar) w odniesieniu do tego obrotu.

Chociaż jest to trochę trywialne, liczba zespolona, jako element składowy pola może być skalarem działającym poprzez przemienne mnożenie w przestrzeni wektorowej , przy czym ta ostatnia, poprzez skalowanie, będące podstawowym przejawem pojęcia liniowości .Zobacz definicję przestrzeni wektorowej , aby uzyskać więcej informacji.

Aby nieco wzmocnić odpowiedź WetSavannaAnimal, matematyk definiuje przestrzeń wektorową (luźno) jako zestaw rzeczy, które po dodaniu lub pomnożeniu przez skalar (czyli liczbę) zachowują się jak małe strzałki. Nie muszą to być małe strzały. NA PRZYKŁAD. Zbiór wszystkich funkcji $ y = ax ^ 2 + bx + c $ jest przestrzenią wektorową 3D.

Wektor n-wymiarowy może być zawsze reprezentowany przez n liczb, co odpowiada punktowi w n-wymiarowej przestrzeni fizycznej lub małej strzałce od początku do tego punktu. W tym sensie wektor można opisać wielkością i kierunkiem.

W przypadku najbardziej znanych przestrzeni wektorowych liczby są rzeczywiste. Ale możliwe jest, że będą one również złożone. NA PRZYKŁAD. powyższe funkcje można zdefiniować na płaszczyźnie zespolonej. Nadal byłaby to przestrzeń wektorowa 3D. Chociaż $ a $, $ b $ i $ c $ byłyby liczbami zespolonymi, są ich 3.

To nieco rozszerza ideę strzałki w przestrzeni fizycznej. Ale tak samo jest z wektorem 4D lub 17D. Chodzi o to, że skalar to liczba, która może pomnożyć wektor bez zmiany jego kierunku.

Dla fizyka wektor musi mieć inną właściwość. Musi mieć fizycznie znaczącą wielkość, która nie zmienia się podczas obracania układu współrzędnych. Dla fizyka siła jest wektorem, ale punkt w termodynamicznej przestrzeni fazowej nim nie jest. Dla fizyka 4D czasoprzestrzeń jest przestrzenią wektorową, w której wielkość jest interwałem, a obroty współrzędnych zwiększają się.

Fizycy są trochę niechlujni w tej kwestii. Dla matematyka pojęcie wielkości jest ujęte w definicji normy. Dla matematyka 4D czasoprzestrzeń nie jest znormalizowaną przestrzenią wektorową, ponieważ norma nigdy nie może być ujemna.

Wracając do rzeczy, drugim znaczeniem skalara jest fizycznie znacząca wartość, która jest niezmienna w przypadku rotacji współrzędnych. Wielkość wektora jest skalarna. Podobnie wielkości tensorów wyższego rzędu są skalarami.

W tym sensie skalary są zwykle liczbami rzeczywistymi.Mechanika kwantowa ma złożone funkcje falowe.Ale fizycznie znaczące wielkości są prawdziwe.

Liczby zespolone są zwykle wizualizowane jako „dwuskładnikowa ilość podobna do wektora”.Jest to jednak tylko narzędzie wizualizacji, a rzeczywiste + urojone osie płaszczyzny Arganda nie odpowiadają żadnym fizycznym kierunkom.Liczby zespolone nie zmieniają się pod $ SO (3) $ obrotami przestrzeni lub wzmocnieniami Lorentza, dlatego są skalarami.

Jeśli uważasz, że liczby zespolone są zasadniczo powiązane z punktami na powierzchni dwuwymiarowej, możesz zainteresować się ich historią.W XVIII wieku opracowano wiele ważnych twierdzeń dotyczących liczb zespolonych, w tym formułę de Moivre'a i formułę Eulera.Wszystkie z nich oparto na definicji algebraicznej $ i ^ 2 = -1 $, bez żadnej geometrycznej identyfikacji / wizualizacji liczb zespolonych jako punktów na płaszczyźnie zespolonej.Dopiero w XIX wieku samolot skomplikowany narodził się jako koncepcja.

To, co zacytowałeś, to definicja „skalara” w jakimś fizycznym / matematycznym kontekście.

Termin „skalar” pochodzi od łacińskiego słowa scala oznaczającego drabinę;a pomnożenie ilości wektora przez wartość skalarną skutkuje skalowaniem jej wielkości bez wpływu na jej orientację.Stąd nazwa „skalar”.Jednak z biegiem lat matematycy stopniowo potępiali „skalar”, by nawet odnosić się do wielkości złożonych, „skalując” jakąś inną abstrakcyjną wielkość matematyczną poprzez mnożenie.Pomimo faktu, że pierwotnie mnożenie wektora przez złożoną wielkość miało wpływ zarówno na skalowanie, jak i obracanie wektora!

Tak więc liczba zespolona może być dzisiaj skalarem, gdy jest używana do „skalowania” innej matematycznej abstrakcyjnej wielkości za pomocą jednoargumentowej operacji, którą nazywamy mnożeniem.Ale w sposób, który nie był pierwotnie zamierzony przez definicję „skalara”.