Zasadniczo pytasz o pochodną materiału, gdy omawiasz pochodną całkowitą w odniesieniu do czasu.
Powiedzmy, że patrzysz na prędkość powietrza w swoim pokoju. Wszędzie występuje inna prędkość i zmienia się ona w czasie, więc
$$ v = v (x, y, z, t) $$
Gdy weźmiesz pochodną, taką jak
$$ \ frac {\ Partial v} {\ Part t} $$
Mówisz: „Będę dalej próbkować prędkość wiatru dokładnie w tym samym punkcie mojego pokoju, i sprawdź, jak szybko ta prędkość się zmienia. ”
Jeśli z drugiej strony bierzesz
$$ \ frac {\ textrm {d} v} {\ textrm {d} t} $$
Teraz mówisz: „podążaj za jednym określonym kawałkiem powietrza i zobacz, jak szybko zmienia się jego prędkość (tj. znajdź jego przyspieszenie)”.
(uwaga : Marek dobrze wyjaśnił różnicę między tymi dwoma zastosowaniami $ t $ w komentarzach do tej odpowiedzi).
Są one powiązane regułą łańcucha
$$ \ frac {\ textrm {d} v} {\ textrm {d} t} = \ frac {\ częściowy v} {\ częściowy t} + \ frac {\ częściowy v} {\ częściowy x} \ frac {\ textrm {d } x} {\ textrm {d} t} + \ frac {\ częściowy v} {\ częściowy y} \ frac {\ textrm {d} y} {\ textrm {d} t} + \ frac {\ częściowy v} {\ parts z} \ frac {\ textrm {d} z} {\ textrm {d} t} $$
To mówi t Jeśli spojrzeć na jedną konkretną małą cząstkę powietrza, jej prędkość zmienia się częściowo, ponieważ zmienia się całe pole prędkości. Ale nawet gdyby całe pole prędkości się nie zmieniało, prędkość cząstki nadal by się zmieniała, ponieważ przemieszcza się w nowe miejsce, a prędkość jest inna również w tym miejscu.
Jako inny przykład, powiedzmy tam to mrówka pełzająca po wzgórzu. Ma wysokość będącą funkcją dwuwymiarowej pozycji
$$ h = h (x, y) $$
Jeśli spojrzymy na $ \ częściowe h / \ częściowe x $, patrzymy na nachylenie w kierunku x. Znajdziesz to, przesuwając się trochę w kierunku x, zachowując y taką samą, znajdując zmianę w z i dzieląc przez to, jak daleko się przesunąłeś.
Z drugiej strony, ponieważ śledzimy mrówkę, możemy chcieć wiedzieć, jak bardzo zmienia się jej wysokość, gdy porusza się trochę w kierunku x. Ale mrówka porusza się po swojej własnej zagmatwanej ścieżce, a kiedy porusza się w kierunku x, zmienia również swoją współrzędną y.
Całkowita zmiana wysokości mrówki to zmiana w jego wysokość wynikająca z ruchu w kierunku x plus zmiana wynikająca z ruchu w kierunku y. Odległość, na jaką mrówka porusza się po kolei w kierunku y, zależy od ruchu w kierunku x. Mamy więc teraz
$$ \ frac {\ textrm {d} h} {\ textrm {d} x} = \ frac {\ częściowe h} {\ częściowe x} + \ frac {\ częściowe h} {\ częściowe y} \ frac {\ textrm {d} y} {\ textrm {d} x} $$
Po prawej stronie tego równania, pierwszy wyraz odpowiada zmianie w wysokości ze względu na ruch w kierunku x. Drugi termin to zmiana wysokości spowodowana ruchem w kierunku y. Pierwsza część, $ \ części h / \ częściowa y $, to zmiana wysokości spowodowana zmianą y, podczas gdy druga część, $ \ textrm {d} y / \ textrm {d} x $, opisuje, ile y w rzeczywistości zmienia się wraz ze zmianą x i zależy od szczegółów ruchu mrówki.
Edytuj Teraz widzę, że jesteś szczególnie zainteresowany równaniem mechaniki kwantowej.
$$ \ frac {\ textrm {d}} {\ textrm {d} t} \ langle A \ rangle = - \ frac {\ imath} {\ hbar} \ langle [A, H] \ rangle + \ langle \ częściowe A / \ częściowe t \ rangle $$
Tutaj $ \ langle \ częściowe A / \ częściowe t \ rangle $ jest wartością oczekiwaną częściowej pochodnej operatora $ A $ względem do czasu. Na przykład, jeśli $ A $ jest hamiltonianem dla cząstki w polu elektrycznym zależnym od czasu, ten operator wyraźnie zawierałby czas. Zaczynamy od formalnego zróżnicowania samego operatora, a następnie przyjmujemy wartość oczekiwaną.
Z drugiej strony $ \ langle A \ rangle $ jest po prostu funkcją czasu o wartościach rzeczywistych (jeśli $ A $ jest hermitowskie) , więc $ \ textrm {d} \ langle A \ rangle / \ textrm {d} t $ jest zwykłą pochodną funkcji rzeczywistej pojedynczej zmiennej.