Rygorystyczne argumenty są bardzo podobne do programowania komputerowego - musisz napisać dowód, który ostatecznie można (w zasadzie) przeprowadzić w systemie formalnym. Nie jest to łatwe i wymaga zdefiniowania wielu struktur danych (definicji) i napisania wielu podprogramów (lematów), których używasz wielokrotnie. Następnie udowadniasz po drodze wiele wyników, z których tylko niektóre są ogólnie przydatne.

Ta aktywność jest niezwykle pouczająca, ale jest czasochłonna i żmudna oraz wymaga dużo czasu i uwagi. Rygorystyczne argumenty wprowadzają również wiele pedantycznych rozróżnień, które są niezwykle ważne dla matematyki , ale nie są tak ważne w przypadkach, z którymi mamy do czynienia w fizyce.

W fizyce nigdy nie wystarczająco dużo czasu i zawsze musimy mieć tylko dostatecznie dokładne zrozumienie matematyki, które może zostać maksymalnie szybko przekazane następnemu pokoleniu. Często oznacza to, że rezygnujesz z pełnego rygoru i wprowadzasz notacyjne skróty i nieprecyzyjną terminologię, co utrudnia rygorystyczne traktowanie argumentu.

Jednak niektóre argumenty w fizyce są czystą magią. Dla mnie sztuczka z repliką jest najlepszym przykładem. Jeśli kiedykolwiek otrzymam rygorystyczną wersję, będę oszołomiony.

1) Jakie są najważniejsze i najstarsze spostrzeżenia (pojęcia, wyniki) z fizyki, którym wciąż brakuje rygorystycznych matematycznych sformułowań / dowodów .

Oto stare problemy, które mogłyby skorzystać na rygorystycznej analizie:

• Relacje podwójnej dyspersji Mandelstama: Amplitudę rozpraszania dla rozpraszania 2 cząstek na 2 cząstki można analitycznie rozszerzyć jako całkę po wyimaginowanej nieciągłości $ \ rho (s) $ w parametrze s, a następnie tę nieciągłość $ \ rho ( s) $ można zapisać jako całkę po parametrze t, dając podwójną nieciągłość $ \ rho (s, t) $ Jeśli pójdziesz w drugą stronę, rozszerz nieciągłość najpierw w t, a następnie w s, otrzymasz tę samą funkcję . Dlaczego? Argumentował to na podstawie teorii perturbacji Mandelstama i było trochę pracy w latach 60. i wczesnych 70., ale nigdy nie został rozwiązany, o ile wiem.
• Najstarszy, pochodzący sprzed wieków: Is the (Newtonian , bez komety i asteroidy) stabilny układ słoneczny przez cały czas? To jest słynne. Pomogą w tym rygorystyczne ograniczenia dotyczące sytuacji, w których całkowalność zawodzi. Twierdzenie KAM może być najlepszą możliwą odpowiedzią, ale tak naprawdę nie odpowiada na pytanie, ponieważ nie wiesz, czy perturbacje planet są wystarczająco duże, aby doprowadzić do niestabilności dla 8 planet, niektórych dużych księżyców i słońca.
• mechanika statystyczna kontinuum: czym jest zespół termodynamiczny pola kontynentalnego? Jaka jest granica kontinuum rozkładu statystycznego? Jakie są tutaj ciągłe teorie pola statystycznego?
• Jakie są ogólne topologiczne rozwiązania solitoniczne klasycznych nieliniowych równań pola? Biorąc pod uwagę klasyczne równanie, jak znaleźć możliwe topologiczne solitony? Czy wszystkie mogą być generowane w sposób ciągły na podstawie danych początkowych? Dla konkretnego przykładu rozważmy plazmę słoneczną - czy istnieją zlokalizowane solitony magneto-hydrodynamiczne?

Jest tu miliard problemów, ale moja wyobraźnia zawodzi.

2) Wysiłek rygorystycznych matematycznych wyjaśnień, sformułowań i dowodów dla pojęć i wyników z fizyki podejmują głównie matematycy. Jakie są przykłady, że to przedsięwzięcie było korzystne dla samej fizyki.

Jest kilka przykładów, ale myślę, że są rzadkie:

• Rygorystyczny dowód Penrose'a na istnienie osobliwości na zamkniętej, uwięzionej powierzchni jest kanonicznym przykładem: był to rygorystyczny argument, wywodzący się z riemannowskich idei geometrii i był niezwykle ważny dla wyjaśnienia, co dzieje się w czarnych dziurach.
• Quasi-periodic tilings, również związane z Penrose'em, po raz pierwszy pojawiły się w pracy Hao i Wanga w czystej logice , gdzie byli w stanie wykazać, że odpowiednie kafelkowanie ze skomplikowanymi dopasowanymi krawędziami może wykonać pełne obliczenia . Liczba płytek została zmniejszona, aż Penrose dał tylko 2, a ostatecznie fizycy odkryli kwazikryształy. Jest to spektakularne, ponieważ tutaj zaczynasz od najbardziej ezoterycznej niefizycznej części czystej matematyki, a kończysz na najbardziej praktycznych systemach eksperymentalnych.
• Algebry Kaca-Moody'ego: pojawiły się one w w połowie matematyka, w połowie wczesna teoria strun. Wyniki stały się fizyczne w latach 80-tych, kiedy ludzie zaczęli interesować się różnorodnymi modelami grup.
• Klasyfikacja ADE z teorii grup Liego (i całej teorii grup Liego) w matematyce jest niezbędna we współczesnej fizyce. Patrząc dalej, Gell-Mann uzyskał symetrię kwarków SU (3) poprzez uogólnienie izospiny w czystej matematyce.
• Teoria przeszkód była niezbędna do zrozumienia, jak sformułować topologiczne teorie pola w 3D (był to temat niedawnego bardzo ciekawe pytanie), które mają zastosowanie w ułamkowym kwantowym efekcie halla. Jest to bardzo abstrakcyjna matematyka związana z fizyką laboratoryjną, ale używane są tylko niektóre prostsze części ogólnej maszynerii matematycznej.

3) Jakie są przykłady, które kładą nacisk na rygorystyczne opóźnianie postępu w fizyce .

Niestety zdarzyło się to kilka razy.

• Mechanika statystyczna: brak rygorystycznego dowodu na ergodyczność Boltzmanna opóźnił przyjęcie idei równowagi statystycznej. Rygorystyczne argumenty były błędne - na przykład łatwo jest udowodnić, że nie ma przejść fazowych w skończonej objętości (ponieważ rozkład Boltzmanna jest analityczny), więc uznano to za uderzenie w teorię Boltzmanna, ponieważ widzimy przejścia fazowe. Możesz również udowodnić wszelkiego rodzaju bzdury dotyczące mieszania entropii (która została naprawiona przez prawidłowe rozwiązanie problemu klasycznej nierozróżnialności). Ponieważ nie było dowodów na to, że pola dojdą do równowagi termicznej, niektórzy ludzie wierzyli, że światło ciała doskonale czarnego nie jest termiczne. To opóźniło akceptację teorii Plancka i Einsteina. Mechanika statystyczna nie została w pełni zaakceptowana aż do rozwiązania modelu Isinga Onsagera w 1941 roku.
• Całki po ścieżce: to jest najbardziej znany przykład. Zostały one zaakceptowane przez niektórych fizyków natychmiast w latach pięćdziesiątych XX wieku, chociaż formalizm wcale nie był bliski ukończenia, dopóki Candlin nie sformułował zmiennych Grassmana w 1956 roku. Po tym momencie mogły one stać się standardem, ale tak się nie stało. Formalizm miał złą reputację, ponieważ dawał błędne wyniki, głównie dlatego, że ludzie czuli się nieswojo z powodu braku rygoru i nie mogli ufać metodzie. Słyszałem, jak w latach 90. wybitny fizyk narzekał, że całka ścieżki w przestrzeni fazowej (z p i q) nie może być poprawna, ponieważ p i q nie dojeżdżają, aw całce po ścieżce robią, ponieważ są to liczby klasyczne nie, w rzeczywistości nie - ich wartość we wstawieniu zależy w sposób nieciągły od ich kolejności czasowej we właściwy sposób). Dopiero we wczesnych latach siedemdziesiątych fizycy w pełni przyzwyczaili się do tej metody, a pokonanie oporu wymagało sporej sprzedaży.
• Konstrukcja kwantowej teorii pola: Rygorystyczne metody z lat sześćdziesiątych XX wieku stworzyły zestaw skomplikowanych metod dystrybucji i wznowienia serii perturbacji, co okazuje się najmniej użytecznym sposobem patrzenia na tę rzecz. Teraz są to algebry C * i rozkłady wartościowane przez operatorów. Prawidłowa ścieżka prowadzi przez integralną ścieżkę drogi Wilsona i jest to bliższe pierwotnemu punktowi widzenia Feynmana i Schwingera. Ale szkoła rygorystycznych fizyków w latach sześćdziesiątych XX wieku postawiła duże bariery dla wejścia w teorię pola, a postęp w teorii pola został zatrzymany na dziesięć lat, aż rygor został ponownie odrzucony w latach siedemdziesiątych. Jednak wciąż brakuje odpowiedniego, rygorystycznego sformułowania pól kwantowych.

Oprócz tego istnieje niezliczona liczba twierdzeń zakazu, które opóźniały odkrycie interesujących rzeczy:

• Czas nie może być operatorem (Pauli): to opóźniło pojawienie się sformułowania cząstki integralnej ścieżki ze względu na Feynmana i Schwingera. Tutaj zmienna czasowa na ścieżce cząstki jest zintegrowana ze ścieżką, tak jak wszystko inne.
• Dowód Von-Neumanna na brak ukrytych zmiennych: ma to współczesne następstwo w twierdzeniu Kochena Sprechera o splątanych zbiorach kubity. To opóźniło teorię Bohma, która początkowo napotkała ogromny opór.
• Żadnych ładunków, które przekształciłyby się nietrywialnie pod wpływem grupy Lorentza (Coleman-Mandula): to twierdzenie miało zarówno pozytywne, jak i negatywne implikacje. Zabił teorie SU (6) (dobrze), ale sprawił, że ludzie przeoczyli supersymetrię (zła).
• Porządek quasikrystaliczny jest niemożliwy: To twierdzenie "nie idź" jest standardowym dowodem na to, że porządek okresowy (ogólna definicja kryształów) jest ograniczone do standardowych grup przestrzennych. To sprawiło, że kwazikryształy stały się bujne. Założenie, które jest naruszane, to założenie ścisłej okresowości.
• Brak zwartości supergrawitacji z chiralnymi fermionami (Witten): to twierdzenie zakładało wielorakie zagęszczenia i brakujące orbifoldy 11d SUGRA, które dają początek heterotycznym strunom (także Witten, z Horavą, więc Witten rozwiązał problem).

4) Jakie są przykłady na to, że solidne matematyczne zrozumienie pewnych zagadnień z fizyki pochodzi z dalszego rozwoju samej fizyki. (W szczególności interesują mnie przypadki, w których matematyczne, ścisłe zrozumienie zagadnień mechaniki klasycznej wymagało mechaniki kwantowej, a także przypadki, w których postęp w fizyce był kluczowy dla rygorystycznych matematycznych rozwiązań zagadnień matematycznych niepochodzących z fizyki).

Oto kilka przykładów:

• Zrozumienie twierdzenia adiabatycznego w mechanice klasycznej (że działanie jest niezmiennikiem adiabatycznym) pochodzi z mechaniki kwantowej, ponieważ było jasne, że była działaniem, które należało skwantyzować, a nie miałoby to sensu bez niezmiennika adiabatycznego. Nie jestem pewien, kto udowodnił twierdzenie adiabatyczne, ale właśnie o to prosiłeś - wnikliwe klasyczne twierdzenie, które pochodzi z mechaniki kwantowej (chociaż kilka dekad przed współczesną mechaniką kwantową)
• Zrozumienie anomalie kwantowe pochodzą bezpośrednio z obserwacji fizycznej (wysoki stopień rozpadu neutralnego pionu na dwa fotony). Wyjaśnienie, jak to się dzieje za pomocą diagramów Feynmana, mimo że naiwny argument mówi, że jest to zabronione, doprowadziło do pełnego zrozumienia wszystkich anomalnych terminów pod względem topologii. To z kolei doprowadziło do rozwoju teorii Cherna-Simonsa i połączenia z wielomianami Knota, odkrytymi przez Wittena i zdobycia medalu Fieldsa.
• Teoria dystrybucji powstała w pracy Diraca, aby spróbować stworzyć dobre podstawy dla mechaniki kwantowej. W latach trzydziestych Bohr i Rosenfeld zrozumieli rozkładową naturę pól kwantowych, a teoria matematyki została zasadniczo przeniesiona z fizyki do matematyki. Dirac zdefiniował już rozkłady przy użyciu funkcji testowych, chociaż nie sądzę, aby był pedantyczny w kwestii właściwości przestrzeni funkcji testowych.

5) Rola rygoru jest intensywnie omawiana w popularnych książki i blogi. Proszę podać odniesienia (lub lepiej opatrzone adnotacjami odniesienia) do badań akademickich na temat roli ścisłości matematycznej we współczesnej fizyce.

Nie mogę tego zrobić, ponieważ żadnego nie znam. Ale bez względu na to, co jest warte, myślę, że to zły pomysł, aby próbować zbyt rygorystycznie zajmować się fizyką (lub nawet niektórymi częściami matematyki). Podstawowym powodem jest to, że rygorystyczne sformułowania muszą być całkowicie znormalizowane , aby dowody różnych autorów pasowały do ​​siebie bez szwów, a jest to możliwe tylko z bardzo długiej perspektywy, gdy najlepsze definicje stają się oczywiste . Obecnie zawsze błądzimy przez mgłę. Dlatego zawsze jest okres, w którym różni ludzie mają nieco inne definicje tego, co mają na myśli, a dowody nie do końca działają i mogą się zdarzyć błędy. To nie jest takie straszne, o ile metody są wnikliwe.

Prawdziwym problemem jest ogromna bariera wejścia, jaką stanowią rygorystyczne definicje. Rzeczywiste argumenty są zawsze znacznie mniej zniechęcające niż powierzchowne wrażenie, jakie można odnieść po przeczytaniu dowodu, ponieważ większość dowodu polega na ustawieniu maszyn, które umożliwią realizację głównej idei. Podkreślanie rygoru może położyć nadmierny nacisk na maszynerię, a nie na pomysł.

W fizyce próbujesz opisać, co robi naturalny system i nie ma czasu do stracenia na studiowanie socjologii. Więc nie możesz nauczyć się wszystkich maszyn, na których matematycy standaryzują w dowolnym momencie, po prostu uczysz się pomysłów. Pomysły są wystarczające, aby się dogadać, ale nie wystarczają, aby przekonać matematyków, że wiesz, o czym mówisz (ponieważ ciężko jest ci przestrzegać konwencji). Internet poprawia to, ponieważ bariery wejścia dramatycznie spadły, a dziś może istnieć sposób na połączenie rygorystycznego i mniej rygorystycznego myślenia w sposób, który nie był możliwy wcześniej.

Rygor oznacza przejrzystość pojęć i precyzję argumentów. Dlatego ostatecznie nie ma wątpliwości, że chcemy rygoru.

Aby się tam dostać, najpierw potrzebujemy wolności do spekulacji, ale do dobrych spekulacji potrzebujemy ...

... solidny grunt, który jest jedynym gruntem, który służy jako dobry punkt wyjścia do dalszych spekulacji.

słowami naszej recenzji, która chodzi o tę kwestię.

Czasami fizycy zachowują się, gdy rygor polega na zastąpieniu oczywistego, ale nieprecyzyjnego argumentu żmudnym i nudnym dowodem. Jednak najczęściej rygor polega na określeniu precyzyjnych i jasnych definicji, tak aby oczywisty argument stał się również niewątpliwie poprawny.

Istnieje wiele przykładów historycznych.

Na przykład proste pojęcie form różniczkowych i zewnętrznych pochodnych. W końcu nie jest to wielka sprawa, ale kiedy zostały wprowadzone do fizyki, nie tylko dostarczyły rygoru dla wielu niejasnych argumentów na temat nieskończenie małej zmienności i rozszerzonej ilości. Co ważniejsze, wyjaśnili strukturę. Maxwell wciąż wypełniał dwie strony równaniami elektromagnetyzmu w czasie, gdy nawet pojęcia algebry liniowej były tajemną tajemnicą. Dziś mówimy po prostu $ d \ star d A = j_ {el} $ i patrzymy dużo dalej, na przykład wyprowadzamy prawo kwantyzacji ładunków rygorystycznie z dziecięcą łatwością. Jest to dla nas jasne i precyzyjne.

I chociaż prawdopodobnie inżynierowie mogliby (a może robią?) pracę z oryginalnymi koncepcjami Maxwella, teoretycy utknęliby w miejscu. Nie można na przykład dostrzec subtelności teorii samo-podwójnego wyższego miernika bez rygorystycznej koncepcji teorii de Rham.

Takich przykładów jest znacznie więcej. Oto kolejny: racjonalny CFT został „w pełni zrozumiany” i uznany za rozwiązany na nieostrożnym poziomie przez długi czas. Kiedy ustalono rygorystyczną klasyfikację FRS pełnego racjonalnego CFT, nie tylko okazało się, że niektóre z rzekomych racjonalnych konstrukcji CFT w literaturze w rzeczywistości nie istnieją, podczas gdy inne istniały, które zostały pominięte, więcej ważne było: nagle stało się jasne, dlaczego i które z tych przykładów istnieją. Opierając się na solidnych podstawach tego nowego rygoru, teraz znacznie łatwiej jest oprzeć nowe nieregularne argumenty, które idą znacznie dalej niż można było to zrobić wcześniej. Na przykład o zachowaniu racjonalnego CFT w holografii.

Rygor oznacza jasność i precyzję, które są potrzebne do dalszego widzenia. Jak powiedział Ellis Cooper w innym miejscu:

Rigor czyści okno, przez które świeci intuicja.

Nadal uważam, że to nie jest odpowiednie miejsce na tego typu pytania. Niemniej sam temat jest ciekawy i też będę miał do niego szansę. Ponieważ nie jestem ani filozofem nauki, ani historykiem (a takich osób na tej stronie jest prawdopodobnie bardzo mało, jeden z powodów, dla których to pytanie może nie być odpowiednie), skupię się na mojej własnej ograniczonej dziedzinie , fizyka statystyczna .

1) Jest ich wiele. Na przykład zadowalające, rygorystyczne wyprowadzenie równania Boltzmanna, którego najlepszym wynikiem do dnia dzisiejszego pozostaje słynne twierdzenie Lanforda, udowodniono pod koniec lat siedemdziesiątych. W mechanice statystycznej równowagi jednym z głównych otwartych problemów jest dowód na to, że dwuwymiarowe modele $ O (N) $ mają korelacje o rozkładzie wykładniczym we wszystkich temperaturach, gdy $ N>2 $ (przypuszczalnie istnieje ścisły związek między takimi modelami a cztero- wymiarowe modele mierników, a ten problem może rzucić światło na kwestię asymptotycznej swobody w QCD, patrz ten artykuł w celu krytycznej dyskusji na ten temat). Oczywiście istnieje wiele innych, takich jak próba zrozumienia, dlaczego naiwna renormalizacja w przestrzeni rzeczywistej (powiedzmy dziesiątkowanie) systemów spinów sieci zapewnia dość dokładne wyniki (nawet jeśli wiadomo, że takie transformacje są ogólnie chore -zdefiniowane matematycznie); ale wydaje mi się, że jest to mało prawdopodobne, co nie oznacza, że ​​filozofia grupy renormalizacji nie może znaleźć zastosowania w fizyce matematycznej (doprowadziła już do kilku głębokich wyników).

2) Cóż, jednym z głównych przykładów było rygorystyczne obliczenie energii swobodnej przez Onsagera w modelu 2d Isinga, które wykazało, że wszystkie schematy przybliżeń stosowane w tamtym czasie przez fizyków dawały całkowicie błędne przewidywania. Rygorystyczne wyniki mogą również prowadzić do (i) nowego podejścia do starych problemów (tak jest ostatnio w przypadku SLE), (ii) nowych wyników, które nie były znane fizykom (dotyczy to np. Wyników Johanssona i innych na modelach wzrostu), (iii) znacznie lepsze zrozumienie niektórych skomplikowanych zjawisk (np. równowagowe właściwości modeli Isinga z magnesowaniem stałym), (iv) rozstrzyganie kontrowersji w literaturze fizyki (znanym przykładem był problem określenia niższego krytycznego wymiar losowego modelu Isinga, który był przedmiotem gorącej debaty w latach 80. i został rygorystycznie ustalony przez Bricmonta i Kupiainena).

3) Żadne, o których nie wiem. Chociaż można by powiedzieć, że „paradoksy” podniesione przeciwko teorii Boltzmanna przez Zermelo i Loschmidta miały zarówno charakter matematyczny (i tym samym skrytykowali pozorny brak rygoru podejścia Boltzmanna) i opóźniły akceptację jego idei.

4) Nie jestem pewien co do tego punktu. Z pewnością liczne przypuszczenia wywodzące się z fizyki, w szczególności uderzające przewidywania, dostarczają matematykom zarówno motywacji, jak i pewnego stopnia wglądu ... Ale nie jestem pewien, o co pan prosi.

5 ) Istnieje wiele artykułów omawiających takie zagadnienia, np .:

• „Teoretyczna matematyka”: Ku kulturowej syntezie matematyki i fizyki teoretycznej autorstwa Arthura Jaffe i Franka Quinna , Bull.Am.Math.Soc. 29 (1993) 1-13.
• Is Mathematical Rigor Niezbędne w Fizyki?, autor: Kevin Davey, The British Journal for the Philosophy of Science (2003), tom: 54, wydanie: 3, strony: 439-463.

i zawarte tam odniesienia.

W żadnym wypadku nie mogę twierdzić, że udzieliłem pełnej odpowiedzi na to pytanie, ale być może częściowa odpowiedź jest lepsza niż brak odpowiedzi.

Jeśli chodzi o (1), być może najbardziej znanym przykładem jest Równanie Naviera-Stokesa. Wiemy, że daje bardzo dobre wyniki w modelowaniu przepływu płynów, ale nie możemy nawet wykazać, że zawsze istnieje rozwiązanie. Rzeczywiście, istnieje nagroda Claya za udowodnienie istnienia płynnych rozwiązań na $ \ mathbb {R} ^ 3 $ (opis problemu tutaj).

Przykład (2 ) jest taki, że badanie topologicznej kwantowej teorii pola było motywowane przynajmniej częściowo matematyką.

Jeśli chodzi o (3), nie sądzę, żeby to się kiedykolwiek zdarzyło. Nie mam jednak na myśli tego, że wymaganie rygoru nie przeszkodziło ani nie spowolniło postępu w fizyce, ale raczej, że niezwykle trudno jest znaleźć przykład przypadku, w którym stosunkowo duża społeczność po prostu nie zignorowała żadnego takiego żądania. Z pewnością prawdą jest, że matematycznie rygorystyczne sformułowania często są daleko w tyle za obecnym stanem wiedzy w fizyce, ale nie ma w tym nic nieoczekiwanego.

Obecnie nie mam żadnych dobrych odpowiedzi, jeśli chodzi o pozostałą część twojego pytanie.

W Mathematics: Frontiers and Perspectives jest stosunkowo ciekawy esej na ten temat (C. Vafa - O przyszłości interakcji matematyki / fizyki), w którym również wspomniano o TQFT przykład.