Po części mechanika Newtona jest opisywana w terminach rachunku różniczkowego.

Kiedy rozważamy ruchy wibracyjne, mówimy o jakiejś cząstce, która zwykle nie jest przemieszczana z jakiejś pozycji równowagi. Oznacza to, że siła działająca na cząstkę przy przemieszczeniu $ x $, $ F (x) $, jest równa pewnej funkcji przemieszczenia $ x $, $ g (x) $.

Rachunek różniczkowy można tu zaangażować na dwa sposoby. Po pierwsze, $ F = ma $, a $ a $, przyspieszenie, jest „szybkością zmian”, a zatem pojęciem rachunku różniczkowego. Mamy więc $ ma (x) = g (x) $.

Teraz radzenie sobie z ogólną funkcją $ g $ jest zbyt trudne - nic z tym nie osiągniemy. Jak więc możemy postępować w najbardziej ogólny sposób? Jedną z owocnych metod jest ekspansja Taylora. $ g (x) = g (0) + g '(0) x + \ frac {1} {2} g' '(0) x ^ 2 + \ frac {1} {3!} g ^ {(3) } (0) x ^ 3 + \ cdots $, gdzie to jest $ g ^ {(n)} (x) $ jest n-tą pochodną g w punkcie x.

Jeśli chcemy $ x = 0 $ aby być pozycją równowagi, musimy mieć $ g (0) = 0 $ - nie ma siły działającej na cząstkę w stanie równowagi. Jeśli chcemy, aby była to stabilna równowaga, która będzie miała tendencję do powrotu do swojej pierwotnej pozycji, musimy mieć $ g '(0) <0 $. Wszystkie inne instrumenty pochodne są uczciwą grą. Pisanie $ -k = g '(0) $:

$$ ma (x) = - k x + \ frac {1} {2} g' '(0) x ^ 2 + \ frac { 1} {3!} G ^ {(3)} (0) x ^ 3 + \ cdots $$, co jest tak przydatne w fizyce, teraz zakładamy, że $ x $ jest małe, więc $ x ^ 2 $ jest bardzo small, a $ x ^ 3 $ jest jeszcze mniejsze. Oznacza to, że ignorujemy wszystkie potęgi x $ większe niż jeden. Skończymy z: $$ m a (x) = - k x $$ Prawo Hooke'a. Rozwiązanie tego równania jest zawsze sinusoidalne. (to znaczy, można go zapisać w postaci $ x = a \ cos (\ omega t- \ varphi) $)

Jest więc nieuniknione, że przy tych definicjach „stabilnej równowagi” wynikowy wzór drgań przy małych amplitudach będzie sinusoidalny. Zawsze. To właśnie sprawia, że ​​$ \ cos $ i $ \ sin $ są wyjątkowe z fizycznego punktu widzenia.

(oczywiście również milcząco założyliśmy, że $ g $ to fajna funkcja, która jest ładna, płynna i różniczkowalna, ale generalnie robi się to podczas pracy nad problemami w stylu Newtona)

Jednym z głównych powodów, które nie zostały omówione powyżej, jest teoria Fouriera - każdą funkcję $ f (x) $ można wyrazić w postaci $ f (x) = \ int dk \, A (k) e ^ {ikx} $, co zasadniczo oznacza, że ​​każda funkcja może zostać rozłożona na nieskończoną sumę sinusów i cosinusów. Ponieważ tak jest i zajmowanie się sinusem i cosinusem jest matematycznie prostsze niż ogólny przypadek funkcji okresowych, po co martwić się o to drugie, skoro zawsze można ponownie wyrazić dowolną funkcję jako sumę sinusów i consines, a rozwiązanie w tej postaci całkowicie izomorficzne z przypadkiem ogólnym, zakładając, że twoje równanie podstawowe jest liniowe?

Ponieważ cykle i oscylacje oraz rzeczy z okresowością są ściśle związane z kołem. A $ sin $ i $ cos $ są zdefiniowane na podstawie okręgu.

Dosłowna odpowiedź na pytanie tytułowe brzmiałaby po prostu „ponieważ w świecie fizycznym oscylacje zachowują się w sposób zgodny z parametrami $ \ sin $ i $ \ cos $”. Oczywiście można się wtedy zastanawiać, dlaczego te funkcje są tak wszechobecne.

W zależności od poziomu zaawansowania fizycznego możesz być zaznajomiony z oscylatorem harmonicznym - to znaczy systemem dla gdzie istnieje siła przywracająca proporcjonalna do przemieszczenia. Na przykład, ruch sprężyny jest prostą harmoniczną (ponieważ zgodnie z prawem Hooke'a siła przywracająca jest proporcjonalna do wielkości naciągnięcia struny), a ruch wahadła dla małych amplitud kątowych jest prostą harmoniczną. W rzeczywistości każdy obiekt w stabilnej równowadze będzie poruszał się harmonicznie przy małych zaburzeniach.

Ilościowo mówiąc, mamy na myśli, że dla prostego ruchu harmonicznego $ F = - kx $ dla pewnego przemieszczenia $ x $ . Co więcej, $ F = ma = m \ frac {d ^ 2x} {dt ^ 2} $, więc łącząc te dwa równania, okazuje się, że

$$ \ frac {d ^ 2x} {dt ^ 2} = - \ frac {k} {m} x $$

To jest równanie różniczkowe, które należy rozwiązać, aby znaleźć $ x (t) $. Okazuje się, że rozwiązaniem tego równania jest wyrażenie w postaci $ A \ sin (\ omega t - \ phi) $ dla stałych $ A $, $ \ omega $ i $ \ phi $ - aby to sprawdzić samodzielnie, podłącz funkcję taką jak $ x (t) = 2 sin \ left (\ sqrt {\ frac {k} {m}} t - \ frac {\ pi} {2} \ right) $.

Ponieważ prosty ruch harmoniczny jest najpowszechniejszą formą oscylacji, a prosty ruch harmoniczny jest opisywany za pomocą $ \ sin $ i $ \ cos $, większość oscylacji w fizyce jest zgodna z tymi funkcjami trygonometrycznymi.

Cykloida nie pojawia się tak bardzo jak $ \ sin $ i $ \ cos $ tylko dlatego, że nie ma powodu, aby tak się działo. Nie ma wielu zjawisk fizycznych, które podążają ścieżkami cykloidów, ponieważ cykloida jest tak złożonym kształtem w porównaniu do dość prostego $ \ sin (\ theta) = \ operatorname {Im} ({e ^ {i \ theta}}) $ i $ \ cos (\ theta) = \ operatorname {Re} ({e ^ {i \ theta}}) $.

To pytanie przypomina mi kilka uwag na stronach 14-16 mechaniki kwantowej i teorii reprezentacji Petera Woita uwagi

Zasadniczo wyobraź sobie, że patrzysz na wszystkie funkcje okresowe z rzeczywiste do liczb zespolonych. Jest to równoważne spojrzeniu na wszystkie funkcje od koła jednostkowego do liczb zespolonych. Dodajmy własność, że chcemy, aby nasza funkcja $ f $ była taka, że ​​$ f (\ theta_1 + \ theta_2) = f (\ theta_1) f (\ theta_2) $ (w tym momencie jest to wprawdzie arbitralne, ale w przynajmniej jest to elegancka własność :)).

W takim razie jest faktem, że nasza funkcja musi mieć postać $ \ theta \ rightarrow e ^ {ik \ theta} = \ cos (k \ theta ) + i \ sin (k \ theta) $, dla liczby całkowitej $ k $. To wyjaśnia, dlaczego ktoś miałby przejmować się w szczególności opcjami trygonometrycznymi, a nie innymi sposobami opisywania oscylacji.

Jeśli spojrzymy na to, co się dzieje w dowodzie, sprowadza się to w zasadzie do faktu, że funkcje trygonometryczne mają fajne właściwości pod względem zróżnicowania i stosunku do siebie np $$ \ sin (\ theta_1 + \ theta_2) = \ sin (\ theta_1) \ cos (\ theta_2) + \ sin (\ theta_2) \ cos (\ theta_1) $$

Tak, są alternatywy. Ale duża część polegania na sinusach i cosinusach jest historyczna. Analiza oscylacyjnych układów mechanicznych w naturalny sposób skupiała się na sinusach, ponieważ w ten sposób rzeczy wibrują. Po wprowadzeniu tych ram okazało się, że reagują również systemy elektryczne i magnetyczne. Dodatkowo (a może możesz powiedzieć alternatywnie) ruch kołowy łatwo rozkłada się na sinusy i cosinusy. A lista jest długa.

Jeśli chodzi o alternatywy, dobrze zachowane, ograniczone, okresowe przebiegi można rozłożyć na sinusy i cosinusy za pomocą transformaty Fouriera, a FT można z dużą mocą rozszerzyć do transformaty Laplace'a. Cykloidy są interesujące, ale źle się zachowują - wymagają nieskończonej liczby dy / dx. A to z kolei sprawia, że ​​nie nadają się do zastosowania do problemów, które NIE mają nieskończonej liczby dy / dx - czyli prawie wszystkiego.

Nie oznacza to, że NIE ma alternatywy dla niektórych zastosowań - zobacz teorię falkową.

Innym powodem jest to, że postrzegamy czas jako zawsze postępujący i widzimy wiele przykładów obrotu przy stałych obrotach, więc naturalne jest, że wyrażamy oscylacje w kategoriach czasu do kąta plus promień i od tego położenia x, y.

Sin i cosinus z definicji dają nam współrzędne x, y dla kąta i promienia 1, więc wygodnie jest ich używać.

Mówiąc najprościej, nasz wszechświat ma tendencję do działania w sposób, w którym obecność czegoś zmienia szybkość jakiejś powiązanej zmiennej. Można powiedzieć, że wszechświat konsekwentnie działa w oparciu o zainteresowanie każdym działaniem, w którym każda natychmiastowa zmiana wpływa na przyszłość systemu. Okazuje się, że matematycznie jest to prawdziwy światowy przykład wykładniczego wzrostu. Można powiedzieć, że w zasadzie większość właściwości rzeczy, które obserwujemy we wszechświecie, występuje wykładniczo. Kanoniczny wykładniczy, o którym myślimy, to e ^ x.

Założę się, że zastanawiasz się, dlaczego w pytaniu o sinusy i cosinusy stawiam wykładniki. Powodem jest to, że sinusy i cosinusy są w rzeczywistości funkcjami wykładniczymi, gdy wykładnik naszego zainteresowania obejmuje liczby urojone. Dokładnie tak, jak tempo wzrostu czegoś w klasycznym wzroście wykładniczym wzrasta wraz ze wzrostem zmiennej niezależnej, kiedy mamy do czynienia z sinusami i cosinusami, dokładna ilość obecnego materiału tworzy system, który reaguje zwiększając w pewnych odstępach czasu i zmniejszając w innych.

W skrócie, możesz o tym myśleć w ten sposób, że jest to specjalna forma wzrostu wykładniczego, w której cała twoja poprzednia wartość poza bieżącą długością fali, którą badasz, nie ma znaczenia, a właściwie jest to tylko nadmiar twojej zmiennej pewnej wielokrotności twojego materiału, który ma wpływ na właściwości masowe.

Aby pomyśleć o tym obrazowo, narysuj wykres z rzeczywistą i urojoną osią. Narysuj punkt na osi liczbowej, a następnie pomnóż tę liczbę przez liczbę rzeczywistą, a następnie liczbę urojoną i powtórz to. Zauważysz, że liczba rzeczywista skaluje wartość, podczas gdy liczba urojona obraca strzałkę. Odwzorowanie tego zachowania na wykładnicze tworzy wykładniki, gdzie wzrost „skaluje się” (klasyczny e ^ x, o którym myślimy) lub wzrost „obraca się” (sinusy i cosinusy).