To świetne pytanie. Produkty kropkowe i krzyżowe wydają się bardzo tajemnicze, gdy po raz pierwszy są przedstawiane nowemu uczniowi. Na przykład, dlaczego iloczyn skalarny (kropkowy) ma cosinus, a iloczyn wektorowy (krzyżowy) ma sinus, a nie odwrotnie? I dlaczego te same dwa bardzo nieoczywiste sposoby „mnożenia” wektorów razem pojawiają się w tak wielu różnych kontekstach?

Podstawową odpowiedzią (która niestety może nie być zbyt przystępna, jeśli jesteś nowym studentem) jest to, że istnieją tylko dwa algebraicznie niezależne tensory, które są niezmienne przy dowolnych obrotach w $ n $ wymiary (mówimy, że są one „ $ \ mathrm {SO} (n) $ niezmienne"). Są to delta Kroneckera $ \ delta_ {ij} $ i symbol Levi-Civita $ \ epsilon_ {ijk \ cdots} $ . Złożenie dwóch wektorów z tymi symbolami daje, odpowiednio, iloczyn skalarny i krzyżowy (ten ostatni działa tylko w trzech wymiarach). Ponieważ prawa fizyki wydają się być izotropowe (tj. Niezmienne obrotowo), ma sens, aby każda fizycznie użyteczna metoda łączenia wielkości fizycznych, takich jak wektory, również była izotropowa. Iloczyn skalarny i krzyżowy okazują się jedynymi możliwymi opcjami wieloliniowymi.

(Dlaczego mapy wieloliniowe są tak przydatne w fizyce, jest jeszcze głębszym i bardziej fundamentalnym pytaniem, ale to, które odpowiedzi na to pytanie są satysfakcjonujące, jest prawdopodobnie z natury rzeczy kwestią opinii.)

Produkt krzyżowy jest silnie powiązany z inną koncepcją, produktem zewnętrznym (lub produktem klinowym). Produkt zewnętrzny to bardzo naturalny produkt występujący w algebrze. Iloczynem zewnętrznym dwóch wektorów jest dwuwektor, którego kierunki są bardzo naturalne (podczas gdy moment obrotowy jako wektor jest prostopadły do ​​siły i ramienia dźwigni, w produkcie zewnętrznym jest to po prostu dwuwektor zdefiniowany przez dwa kierunki - siłę i ramię).

Niestety, wczesne nauczanie produktów zewnętrznych jest trudne. Biorą dużo matematyki. Produkty krzyżowe są znacznie łatwiejsze do wyjaśnienia. Okazuje się, że w 3 wymiarach produkty krzyżowe i produkty zewnętrzne są izometryczne. Zmieniają się w ten sam sposób. Jeśli wykonasz obliczenia matematyczne na iloczynach krzyżowych, otrzymasz taką samą odpowiedź, jak w przypadku obliczeń z iloczynami zewnętrznymi. To nie działa we wszystkich wymiarach (iloczyn krzyżowy jest rzeczą trójwymiarową, podczas gdy produkty zewnętrzne można wykonać w dowolnej liczbie wymiarów), ale działa w 3, a wiele fizyki jest wykonywanych w trzech wymiarach!

Skupiam się na geometrii iloczynów krzyżowych

Produkty krzyżowe są używane, gdy interesuje nas ramię chwili ilości. To jest minimalna odległość punktu od linii w przestrzeni.

1. Distance do promienia z Origin. Promień wzdłuż wektora jednostkowego $ \ boldsymbol {e} $ przechodzi przez punkt $ \ boldsymbol {r} $ span> w przestrzeni.

   $$ d = \ | \ boldsymbol {r} \ times \ boldsymbol {e} || \ tag {1} $$

   $ d $ to odległość prostopadła do promienia (nazywana również ramieniem momentu linii).

2. Ramię siły moment (wektor momentu obrotowego) . Siła $ \ boldsymbol {F} $ wzdłuż $ \ boldsymbol {e} $ powoduje następujący moment obrotowy około pochodzenie

   $$ \ boldsymbol {\ tau} = \ boldsymbol {r} \ times \ boldsymbol {F} \; \; \ rightarrow \ | \ boldsymbol {\ tau} \ | = d \, \ | \ boldsymbol {F} \ | \ tag {2} $$

3. moment ramię rotacji (wektor prędkości) . Obrót $ \ boldsymbol {\ omega} $ wokół osi $ \ boldsymbol {e} $ powoduje ciało do przeniesienia w miejscu początkowym przez

   $$ \ boldsymbol {v} = \ boldsymbol {r} \ times \ boldsymbol {\ omega} \; \; \ rightarrow \ | \ boldsymbol {v} \ | = d \, \ | \ boldsymbol {\ omega} || \ tag {3} $$

4. Ramię moment produktu Momentum (Moment kątowy) . Klasyczna cząstka z pędem $ \ boldsymbol {p} $ wzdłuż $ \ boldsymbol {e} $ ma kąt rozmach o pochodzeniu

   $$ \ boldsymbol {L} = \ boldsymbol {r} \ times \ boldsymbol {p} \; \;\ rightarrow \ |\ boldsymbol {L} \ |= d \, \ |\ boldsymbol {p} \ |\ tag {4} $$

Jest to o wiele prostsze, niż wynikały z innych odpowiedzi.Używamy iloczynów krzyżowych i kropkowych (i całej innej matematyki), ponieważ pozwalają nam one tworzyć dość proste modele matematyczne (czyli prawa fizyki), które dokładnie przedstawiają to, co faktycznie robi wszechświat.

Iloczyn krzyżowy jest często używany z pseudowektorami (inaczej wektorami osiowymi). Mniej z wektorami (inaczej wektorami polarnymi). Pomaga w tym zrozumienie różnicy między wektorami osiowymi i biegunowymi.

Matematycy uznaliby za wektor zarówno wektory osiowe, jak i biegunowe. Oba są zbiorem 3 współrzędnych. Często są rysowane jako strzałki. Można je dodawać i mnożyć przez liczby, takie jak strzałki.

Fizycy potrzebują czegoś więcej, aby uznać wielkość za wektor. Muszą reprezentować wielkość fizyczną, która zmienia się we właściwy sposób, gdy zmieniasz podstawę.

Wektory biegunowe reprezentują wielkości takie jak odległość, prędkość, przyspieszenie i siła. Mogą one opisywać ruch cząstki punktowej o wielkości i kierunku.

Wektory osiowe reprezentują inny zestaw wielkości, takich jak prędkość kątowa i moment pędu. Opisują takie rzeczy, jak ruch obrotowy w płaszczyźnie. Są wielkością i orientacją samolotu. Jest to równoważne z ruchem wokół osi. Często są reprezentowane przez strzałkę, gdzie strzałka jest równoległa do osi i prostopadła do płaszczyzny. Orientacja płaszczyzny obejmuje koncepcję zgodnej z ruchem wskazówek zegara i przeciwnej do ruchu wskazówek zegara. Jest to reprezentowane przez umieszczenie strzałki po jednej lub drugiej stronie samolotu, zgodnie z regułą prawej ręki.

Wektory osiowe często powstają jako iloczyn dwóch prostopadłych wektorów biegunowych. $ \ vec \ omega = (\ vec r \ times \ vec v) / r ^ 2 $ .

W przypadku sztywnego obiektu przymocowanego do osi, każdy punkt może poruszać się tylko z $ v $ prostopadle do $ r $ . Ale wolna cząstka może poruszać się w dowolnym kierunku. W tym przypadku iloczyn krzyżowy wybiera składnik $ v $ , który jest prostopadły do ​​ $ r $ , komponent, który przyczynia się do obrotu wokół osi. Wynikiem jest wektor prostopadły do ​​ $ v $ i $ r $ zgodnie z regułą prawej ręki.

Pole magnetyczne jest wektorem osiowym. Zobacz Dlaczego pole B jest wektorem osiowym?, aby uzyskać więcej informacji. Oznacza to, że prąd generuje wokół siebie pole $ B $ , opisane liniami pola magnetycznego. Dla prądu prostoliniowego linie pola są płaskie i okrągłe. W przypadku bardziej złożonych prądów są to zawsze krzywe zamknięte. W dowolnym miejscu linia pola jest „osią” prostopadłą do płaszczyzny pola magnetycznego.

Siła magnetyczna jest generowana, gdy ładunek porusza się w płaszczyźnie $ B $ . To znaczy, gdy ładunek porusza się prostopadle do „osi” B. Jest to rejestrowane przez $ \ vec F = q \ vec v \ times \ vec B $ .

Iloczyny krzyżowe są z natury przydatne przy opisywaniu rotacji . Najpierw przyjrzyjmy się dwóm różnym sposobom opisywania obrotów w $ \ mathbb {R} ^ {3} $ .

Pierwszym sposobem jest podanie osi obrotu, którą określa linia w $ \ mathbb {R} ^ {3} $ i wielkość (reprezentującą kąt), która jest podana przez liczbę w $ \ mathbb {R} $ span >. Łącząc te dwie rzeczy, otrzymuję wektor, powiedzmy $ x \ in \ mathbb {R} ^ {3} $ .

Innym dobrym sposobem na zrobienie tego jest podanie płaszczyzny , w której się obracam, którą mogę przedstawić za pomocą dwóch prostopadłych linii w $ \ mathbb {R} ^ {3} $ i wielkość (reprezentującą kąt), która jest znowu liczbą w $ \ mathbb {R } $ . Koduję te rzeczy, wybierając dwa wektory $ v, w \ in \ mathbb {R} ^ {3} $ i mówię, że wielkość jest zakodowana przez iloczyn długości $ \ | v \ | \ | w \ | $ . Oznacza to, że wiele różnych par $ v, w \ in \ mathbb {R} ^ {3} $ daje taką samą rotację, ale to jest w porządku. (Mogę nawet dopuścić więcej różnych par, nie zakładając, że $ v $ i $ w $ są prostopadłe , ale potem muszę zastąpić ich iloczyn polem obejmowanych przez nie równoległoboków.)

Teraz iloczyn krzyżowy daje nam możliwość tłumaczenia między różnymi sposobami kodowania obrotów. Mówiąc ściślej, jeśli $ x \ in \ mathbb {R} ^ {3} $ i para $ v, w \ in \ mathbb {R} ^ {3} $ opisz tę samą rotację, a następnie $ x = v \ times w $ .

(Fakt, że wiele różnych par $ v, w \ in \ mathbb {R} ^ {3} $ opisuje tę samą rotację oznacza, że ​​ $ x $ można zapisać jako iloczyn krzyżowy na wiele różnych sposobów, tj. istnieje wiele $ v ', w' \ w \ mathbb {R} ^ {3} $ takie, że $ v '\ times w' = v \ times w = x $ .)

Teraz, dlaczego pojawia się to w fizyce, nie ma tak jasnej odpowiedzi, z wyjątkiem tego, że oba te dwa różne sposoby przedstawiania obrotów mają swoje zastosowania. Na przykład, w twoim przykładzie, mówiąc o ładunku poruszającym się w polu elektrycznym, powiedziałbym, że jest to po prostu fakt natury, który został ustalony eksperymentalnie.

Ciekawostką na marginesie jest to, że rotacje można komponować, tj. mając dwie rotacje, mogę najpierw wykonać jedną, a potem drugą, aby uzyskać trzeci obrót. Może być interesujące, aby spróbować dowiedzieć się, jak to działa na którymkolwiek z powyższych ilustracji.

Iloczyn poprzeczny jest reprezentacją algebry so (3) Lie.Oznacza to, że nieskończenie mała rotacja jest reprezentowana przez iloczyn poprzeczny.

Nie jestem pewien, jak zaawansowany jesteś matematycznie, więc ciężko jest wiedzieć, ile dodać ustnie.Poza tym piszę z tabletu, więc pisanie jest uciążliwe.

Nie ma jednej odpowiedzi, ale iloczyn poprzeczny obejmuje pewien rodzaj obrotu wokół osi.To, czy jest to rotacja fizyczna, czy matematyczne przemieszczenie, zależy od okoliczności.

Jednym z miejsc, w których iloczyn poprzeczny jest dość łatwy do zrozumienia, jest związek między momentem pędu, obrotową energią kinetyczną i momentem obrotowym.

Daj mi znać, czy potrafisz postępować zgodnie z obliczeniami opartymi na diagramie.Mówię o dervations w pudełkach.Poniższe informacje są niekompletne.