Cyfry znaczące to skrót wyrażający, jak dokładnie znasz liczbę. Na przykład, jeśli liczba ma dwie cyfry znaczące, to znasz jej wartość jako z grubsza 1 $ \% $ .

Mówię z grubsza, bo to zależy od liczby. Na przykład, jeśli zgłosisz $$ L = 89 \, \ text {cm} $$ oznacza to z grubsza, że ​​wiesz, że jest to od 88,5 $ do 89,5 $ cm. Oznacza to, że znasz wartość jednej części w 89 $ , czyli z grubsza do 1 $ \% $ .

Jednak jest to tym mniej dokładne, im mniejsza jest wiodąca cyfra. Na przykład dla $$ L = 34 \, \ text {cm} $$ znasz go tylko z jednej części w 34 $ , czyli około $ 3 \% $ . A w skrajnym przypadku $$ L = 11 \, \ text {cm} $$ znasz go tylko z jednej części w 11 $ , czyli około 10 $ \% $ ! Więc jeśli wiodącą cyfrą jest 1 $ , względna niepewność ilości jest w rzeczywistości dużo większa, niż sugerowałoby naiwne liczenie cyfr znaczących. W rzeczywistości jest to mniej więcej to samo, czego można by się spodziewać, gdybyś miał o jedną znaczącą liczbę mniej. Z tego powodu 11 $ ma „jedną” znaczącą cyfrę.

Tak, ta reguła jest arbitralna i nie rozwiązuje w pełni problemu.(Teraz zamiast ostrego odcinania między $ L = 9 $ cm a $ L = 10 $ cm, masz ostre odcięcie między $ L = 19 $ cm a $ L = 20 $ cm.)Jednak znaczące liczby są narzędziem księgowym, a nie czymś, co naprawdę „istnieje”.Są zdefiniowane tylko po to, aby były przydatne do szybkich szacunków.Przynajmniej w fizyce, kiedy zaczynamy spierać się o ten poziom szczegółowości, po prostu całkowicie porzucamy cyfry znaczące i od samego początku przeprowadzamy odpowiednią analizę błędów.

To nie jest rzeczywista zasada.I jak niektórzy zwracają uwagę w komentarzach, nie ma o tym nawet wzmianki w artykule Wikipedii o znaczących cyfrach.Reguła dotyczy 0 $ , a nie 1 $ .

Prosty kontrprzykład: 10 USD .Czy autorzy twierdzą, że ta liczba nie ma znaczących cyfr?

Możesz to sprawdzić, wyszukując hasło „sig fig counter”.Każdy z nich powinien powiedzieć Ci, że liczba w Twoim pytaniu ma 4 cyfry znaczące.

Jak zauważają inni, ten warunek brzegowy jest wyraźnie arbitralny.Ale musi to być spójne w całej literaturze, w przeciwnym razie podczas pracy z innymi pojawia się zamieszanie.Więc powiedziałbym, że zignoruj regułę.

Obcinanie liczb do określonej dokładności jest całkowicie arbitralne.Nie ma powodu, aby nie czynić tego bardziej arbitralnym.

Wygląda na to, że komuś nie spodobał się krok z dokładnością między 9,99 a 10,0, więc przesunął go między 19,99 a 20,0.

W każdej dziedzinie, w której wyniki są skupione wokół potęgi 10, może to być korzystne.

To czas eksperymentu!

(Zaczynałem dostrzegać oba punkty widzenia, jeśli chodzi o rezygnację z 1, i byłem ciekawy, czy istnieje jakiś obiektywny sposób rozwiązania problemu ... więc pomyślałem, że może to być dobra okazja do eksperymentu. Nauka!)

Założenia: Cyfry znaczące są sposobem określania dokładności na liczbie - albo z niepewności pomiaru, albo jako wynik obliczeń na pomiarze. Jeśli pomnożymy dwa pomiary razem, wynik będzie miał taką samą liczbę cyfr znaczących jak niższa z dwóch wartości początkowych (więc 3,8714 x 2,14 ma łącznie trzy cyfry, a nie siedem, jak można uzyskać podłączając go do kalkulatora). / p>

Ta część „obliczeniowa” jest tym, co chciałbym wykorzystać. Ponieważ argumentowanie znaczących cyfr na liczbie w próżni to tylko semantyka. Zobaczenie, jak precyzja przenosi się do rzeczywistych operacji, daje rzeczywistą możliwą do przetestowania prognozę. (Innymi słowy, powinno to wyeliminować wszelkie problemy z „odcięciem”. Jeśli dwie liczby mają X cyfr znaczących, to ich pomnożenie powinno mieć dokładność mniej więcej X cyfr znaczących - i poprawność sposobu, w jaki określasz, co jest znaczące cyfra powinna być odpowiednio przetłumaczona.)

Experimental Layout

Wygeneruj dwa współczynniki o wysokiej precyzji, zgodne z Benfordem (nie jestem pewien, czy Benford ma znaczenie w tym eksperymencie, ale pomyślałem, że nie powinienem pomijać żadnych możliwych czynników komplikujących) - a jeśli mówimy o fizyce, nasze pomiary powinny być pasuje do prawa Benforda.) Wykonaj na nich operację taką jak mnożenie. Następnie zaokrąglij te same współczynniki w dół do 4 cyfr po przecinku i wykonaj to samo mnożenie na tych zaokrąglonych wartościach. Na koniec sprawdź, ile cyfr wspólnych mają dwie wartości.

Aka, sprawdź, jak dobrze nieprecyzyjna wersja „pomiaru” porównuje rzeczywiste, ukryte obliczenia o wysokiej precyzji.

W idealnym świecie wartość byłaby 5 pasującymi (znaczącymi) cyframi. Jednakże, ponieważ tylko oślepiamy sprawdzanie, czy cyfry się zgadzają, będziemy mieli takie dopasowanie przez zwykłe szczęście.

Eksperymentalne wyniki mnożenia

  Dopasowywanie cyfr, gdzie wynik nie zaczyna się od jednego
    ... i żadna wartość wejściowa nie zaczyna się od jedynki:
            5. cyfra odpowiada 89,7%
            6. mecze 21.4%
    ... i jedna wartość wejściowa zaczyna się od One:
            5. cyfra odpowiada 53,7%
            6. mecze 5.57%
    ... a dwie wartości wejściowe zaczynają się od One:
            5. cyfra odpowiada 85,2%
            6. mecze 11,1%
Dopasowywanie cyfr, gdzie wynik zaczyna się od jednego:
    ... i żadna wartość wejściowa nie zaczyna się od jedynki:
            5. cyfra odpowiada 99,9 +%
            6. mecze 37.8%
    ... i jedna wartość wejściowa zaczyna się od One:
            5. cyfra odpowiada 99,9 +%
            6. mecze 25,5%
    ... a dwie wartości wejściowe zaczynają się od One:
            5. cyfra odpowiada 95,0%
            6. mecze 13,9%
 

Conkluzje do mnożenia

Po pierwsze, mnożąc dwie liczby i kończąc na liczbie zaczynającej się od 1, prawdopodobnie powinieneś policzyć 1 jako cyfrę znaczącą. Innymi słowy, jeśli pomnożymy „4,245” x „3,743” i otrzymamy „15,889035”, prawdopodobnie powinniśmy zostawić „15 0,89”. Jeśli dodasz dodatkową cyfrę i nazwiesz ją „15 .889”, masz 38% szans, że ostatnia cyfra będzie poprawna ... co prawdopodobnie nie jest wystarczająco wysokie, aby można było ją uwzględnić.

Ale mnożenie w miejscu, w którym jedno z danych wejściowych zaczyna się od 1, i robi się dziwne. Mnożąc „1,2513” x „5,8353” i realistycznie rzecz biorąc, nie otrzymamy w wyniku pięciu cyfr znaczących. Zgodnie z eksperymentem masz cztery cyfry ... i 54% szans na trafienie z tą piątą wartością. Cóż, jeśli 38% szansa w poprzedniej sytuacji (mnożenie dwóch liczb i kończenie na wartości zaczynającej się od „1”) uzyskania „dodatkowej” znaczącej cyfry jest niedopuszczalna, to prawdopodobnie można powiedzieć, że 54% szansa w ta sytuacja jest prawdopodobnie zbyt niska, aby uzasadniać włączenie piątej cyfry.

Możesz więc pokusić się o powiedzenie „Nie traktuj początkowego 1 tak samo znaczącego jak dane wejściowe w obliczeniu”… z wyjątkiem mnożenia 1. ##### x 1. #### (dwie liczby zaczynające się od 1) daje 85,2% dokładności tej piątej cyfry - czyli mniej więcej ten sam poziom dokładności, przy którym żadna z trzech liczb nie zaczyna się od 1. Więc jeśli 8,83 x 8,85 powinno mieć trzy cyfry znaczące, to powinno być 1,83 x 1,85.

Końcowy wniosek: Właściwie jest to pozornie trudny problem, aby znaleźć dobrą heurystykę. Zwłaszcza, że ​​istnieje dość duża różnica między pomiarem 1,045, który jest podawany na dane wejściowe obliczenia, a wartością 1,045, która pojawia się jako wynik obliczenia. To wyjaśnia, dlaczego istnieje wiele metod obsługi wiodących jedynek. (Gdybym był zmuszony do wybrania heurystyki, byłoby to: nie licz początkowego „1” w żadnych wykonanych pomiarach , ale policz je jako wynik każdego obliczenia .)

Śledzenie „cyfr znaczących” to metoda heurystyczna służąca do wskazywania przybliżonej dokładności liczby. Nie zastępuje prawdziwej analizy niepewności, ale wystarcza dla wielu ludzi i do wielu celów. Kiedy niektórzy ludzie napotykają ograniczenia znaczących liczb, mają wystarczające doświadczenie (lub współpracowników z wystarczającym doświadczeniem), aby przejść do bardziej poważnej analizy błędów. Kiedy inne osoby napotykają te same ograniczenia, próbują „naprawić” podejście do cyfr znaczących, tworząc nowe reguły ad hoc, takie jak ta.

Załóżmy, że Ty i ja niezależnie analizujemy ten sam zestaw danych. Każdy z nas odmierzył tę samą wielkość do dwóch cyfr znaczących: Twój wynik to 0,48, a mój wynik to 0,52. Ponieważ zdrowa analiza znaczących liczb zachowuje jedną najmniej znaczącą cyfrę, której wartość jest tylko głównie godna zaufania, nie jest jasne, czy nasze pomiary są zgodne, czy nie; ten poziom rozbieżności jest interesujący i możemy skończyć z dyskusją, jak przekształcić to w eksperyment składający się z trzech znaczących cyfr, na wypadek gdybyśmy obaj poprawnie zmierzyli „prawdziwą” wartość bliższą 0,498.

Wyobraźmy sobie teraz inny wszechświat, w którym oboje przeprowadzamy ten sam eksperyment, ale gdzieś inna definicja oznacza, że ​​nasze „wyniki” różnią się liczbowo dokładnie dwudziestokrotnie. Twój pomiar w tym wszechświecie to 9,6, a mój to 10,4. Nadal istnieje interesujące napięcie między tymi liczbami. Ale jeśli policzę pierwszą 1 jako jedną z moich dwóch znaczących cyfr, powinienem podać wynik jako „10”, co sugeruje, że równie prawdopodobne jest „9” lub „11”. Jeśli zgłaszasz 9.6, a ja zgłaszam 10, napięcie między naszymi wynikami jest znacznie mniej oczywiste. Wydaje się również, że mój wynik jest dziesięć razy mniej dokładny niż twój. Nie powinienem być w stanie zmienić dokładności liczby przez jej podwojenie lub zmniejszenie o połowę.

Taka jest logika śledzenia „cyfry ochronnej”, jeśli zdarzy się, że liczba przypada w dolnej części dekady logarytmicznej. (Grupa danych cząstek zachowuje „cyfrę ochronną”, jeśli pierwsze dwie znaczące cyfry mieszczą się w przedziale od 10 do 35). Ale aby to wyjaśnić, mówiąc, że „wiodąca 1 nie jest cyfrą znaczącą”, tak jak robi to twoje źródło: to strasznie zagmatwane. Znalazłbym książkę napisaną przez kogoś innego i z pewną ostrożnością przeczytałbym autora, którego tu cytujesz.

@supercat przypomina mi w komentarzu, że istnieje zwarta konwencja przedstawiania rzeczywistych niepewności, która stała się popularna w literaturze w ciągu ostatnich kilku dziesięcioleci: niepewność wpisuje się w ostatnich kilku cyfrach w nawiasach tuż po liczbie. Na przykład można napisać 12,34 $ (56) $ jako skrót dla 12,34 $ \ pm 0,56 $ . Takie podejście jest dobre w branży pomiarów precyzyjnych, gdzie jest wiele znaczących liczb. Na przykład aktualna referencja Particle Data Group podaje masę elektronów (w jednostkach energii) jako 0,510 $ \ 998 \ 950 \ 00 (15) \, \ mathrm {MeV} / c ^ 2 $ , który jest znacznie łatwiejszy do napisania i przeanalizowania niż 0,510 $ \ 998 \ 950 \ 00 \, \ mathrm {MeV} / c ^ 2 \ pm 0.000 \ 000 \ 000 \ 15 \, \ mathrm {MeV} / c ^ 2 $ .

Nie widziałem takiego podejścia w materiałach dla początkujących uczniów i przychodzi mi do głowy kilka powodów. Większość ludzi dowiaduje się, że arytmetyka to coś, co można zrobić z liczbami, które nie są dokładne. Wielu uczniów jest intelektualnie nieprzygotowanych do tego pomysłu: są gotowi napisać 0,5 zamiast 1/2, ale nie mają pewności, czy dziesiętować 1/7 jako 0,1 czy jako 0,1428571429, ponieważ to drugie wychodzi z kalkulator. Ponadto, aby używać notacji w nawiasach, musisz już mieć pewne zrozumienie cyfr znaczących. Aby połączyć powyższe przykłady, większość ludzi, którzy nie zajmują się precyzyjnymi pomiarami (gdzie zrozumienie niepewności może być trudniejsze niż zrozumienie wartości centralnej), zamiast zachować cyfry ochronne 12,34 (56), zapisałoby 12,3 (6). Ale gdybyś pomnożył tę wartość przez dwadzieścia, otrzymałoby to 246,8 (11,2). Niezależnie od tego, czy zapisać go w ten sposób, czy jako 247 (11), czy jako 250 $ \ pm10 $ , pojawia się te same problemy dotyczące cyfr ochronnych, od których zaczęło się to pytanie. Podczas gdy niejednoznaczność jest przenoszona z centralnej wartości na niepewność, więc stawki za błędną ocenę są niższe, wyjaśnienie tego osobie, która jest nowa w idei dokładnej nieprecyzyjności, jest trudnym zadaniem.