Pytanie:
Dlaczego „zły smak” ma wielkość wymiarową w argumencie funkcji logarytmicznej lub wykładniczej?
sangstar
2017-10-24 21:15:43 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Powiedziano mi, że w fizyce nigdy tego nie widać, a „zły gust” ma to w przypadkach, gdy jest argumentem funkcji logarytmicznej lub funkcji podniesionej do $ e $.Nie rozumiem dlaczego, chociaż przypuszczam, że byłoby dziwnie podnieść bezwymiarową liczbę do potęgi czegoś z wymiarem.

Powiązane: https://physics.stackexchange.com/q/13060/2451, https://physics.stackexchange.com/q/7668/2451, https://physics.stackexchange.com/q/48019/2451,https://physics.stackexchange.com/q/109995/2451 i linki tam zawarte.
Pozwól nam [kontynuować tę dyskusję na czacie] (http://chat.stackexchange.com/rooms/67731/discussion-between-user121330-and-mathreadler).
Komentarze nie służą do rozszerzonej dyskusji;dodatkowa rozmowa została [przeniesiona do czatu] (http://chat.stackexchange.com/rooms/67900/discussion-on-question-by-sangstar-why-is-it-bad-taste-to-have-a-dimensional-q) i proszę wszystkich o powstrzymanie się od publikowania jakichkolwiek komentarzy, które nie mają na celu ulepszenia pytania (w tym prosząc o wyjaśnienia).
Sześć odpowiedzi:
#1
+182
Emilio Pisanty
2017-10-24 21:27:26 UTC
view on stackexchange narkive permalink

To nie jest „zły gust”, jest nieobliczalny do tego stopnia, że ​​nie ma sensu.

Cały sens analizy wymiarowej polega na tym, że istnieją wielkości, które nie są ze sobą porównywalne: nie możesz zdecydować, czy jeden metr jest większy, czy mniejszy niż dziesięć amperów, a próba dodania pięciu woltów do dziesięciu kelwinów będzie tylko dają nieoperacyjne bzdury. (Aby uzyskać szczegółowe informacje na temat przyczyn, zobacz Co uzasadnia analizę wymiarową? i jej wiele połączonych duplikatów na pasku bocznym po prawej stronie).

To jest dokładnie to, co dzieje się z, powiedzmy, funkcją wykładniczą: jeśli chcesz, aby wykładniczył jeden metr, to musiałbyś być w stanie zrozumieć $$ \ exp (1 \: \ rm m) = 1 + (1 \: \ rm m) + \ frac12 (1 \: \ rm m) ^ 2 + \ frac {1} {3!} (1 \: \ rm m) ^ 3 + \ cdots, $$ a to wymaga możliwości dodawania i porównywania długości z obszarami, objętościami i innymi uprawnieniami pozycji. Możesz spróbować po prostu wyciąć jednostki i sobie z tym poradzić, ale pamiętaj, że musi pasować, dokładnie , odpowiednik $$ \ exp (100 \: \ rm cm) = 1 + (100 \: \ rm cm) + \ frac12 (100 \: \ rm cm) ^ 2 + \ frac {1} {3!} (100 \: \ rm cm) ^ 3 + \ cdots, $$ i nie ma na to niezmiennego sposobu.

Żeby było jasne, problem jest znacznie głębszy: prawdziwy problem z $ \ exp (1 \: \ rm m) $ polega na tym, że po prostu nie ma sensownego sposobu zdefiniowania go w sposób, który (i) być niezależne od systemu jednostek i (ii) zachować zbiór właściwości, które naprawdę przyniosą mu miano wykładniczej. Jeśli to, czego się chce, to prosty, wyraźny sposób, aby to zobaczyć, dobrym kątem jest zauważenie, że gdyby ktoś miał zdefiniować $ \ exp (x) $ dla $ x $ z nietrywialnym wymiarem, to między innymi zapytałbyś przestrzegać własności $$ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} \ exp (x) = \ exp (x), $$ który jest niespójny wymiarowo, jeśli $ x $ (a zatem $ \ mathrm d / \ mathrm dx $) nie jest bezwymiarowy.

W komentarzach, a nawet w opublikowanym artykule zauważono również, że rzeczywiście można mieć szereg Taylora na wielkościach wymiarowych, ustawiając po prostu $ f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {1} {n!} \ Frac {\ mathrm d ^ nf} {\ mathrm dx ^ n} (0) x ^ n $, i to wystarczy. Jednak dla funkcji transcendentalnych nie chcemy żadnego starego szeregu Taylora, chcemy funkcji kanonicznych: często są one definicją funkcji na początku, a jeśli ktoś miałby zaproponować definicję, powiedzmy $ \ sin ( x) $ dla wymiarowych $ x $, więc jeśli nie może łączyć się z kanoniczną serią Taylora, po prostu nie jest warta nazwy. I, jak wyjaśniono powyżej, kanoniczne szeregi Taylora mają fundamentalne problemy ze skalowaniem, które czynią je martwymi w wodzie.


To powiedziawszy, w przypadku logarytmów możesz w pewnych, bardzo szczególnych przypadkach mówić o logarytmie wielkości wymiarowej $ q $, ale w istocie bierzesz reprezentatywny $ q_0 $ i obliczasz $$ \ log (q / q_0) = \ log (q) - \ log (q_0), $$ gdzie, aby nadać sens temu drugiemu, wymagasz , aby dwie wartości liczbowe były w tych samych jednostkach ─ w takim przypadku ostateczna odpowiedź jest niezależna od samej jednostki. Jeśli sytuacja pozwala również na porzucenie stałych addytywnych lub włączenie ich do czegoś innego (na przykład podczas rozwiązywania ODE, z reprezentatywnym przypadkiem potencjał elektrostatyczny nieskończonego ładunku linii, lub gdy robiąc wykresy w skali logarytmicznej), możesz pozbyć się $ \ log (q_0) $, rozumiejąc, że wyjdzie z prania, gdy wrócisz, aby kropkować i.

Jednak tylko dlatego, że można to zrobić w konkretnym przypadku logarytmu, który jest wyjątkowy w przekształcaniu stałych multiplikatywnych w addytywne, nie oznacza, że ​​można go używać w innych kontekstach ─, a nie.

Ta dyskusja powinna [kontynuować na czacie] (http://chat.stackexchange.com/rooms/67634/discussion-between-emilio-pisanty-and-nat), a nie w tym wątku komentarzy.
Jako dodatek, podczas gdy wszystkie wyrazy $ 1 $, $ (1 \ \ mathrm {m}) $, $ (1 \ \ mathrm {m} ^ 2) $, $ \ ldots $ zasadniczo żyją w różnych przestrzeniach wektorowych,czasami istnieje powód, aby traktować wszystkie te przestrzenie razem (np. jako ich iloczyn lub jako uzupełnienie algebry tensorowej), a wtedy $ \ exp (1 \ \ mathrm {m}) $ staje się znaczącym elementem.Jednak widziałem tylko tego rodzaju rzeczy używane owocnie w czystych kontekstach matematycznych.
Potrafię zrozumieć „1+ (1m)…”, to znaczy, że masz jeden punkt, długość 1m, powierzchnię ½m², objętość ⅙m³ i kilka hiperobjętości.Dwie kwestie polegają na tym, że nie jest jasne, co mierzysz, jeśli odpowiedzią jest dodanie różnych jednostek, i ogólnie nie można uprościć sumy różnych jednostek.Zapewne w przypadku metrów można by zaokrąglić wszystkie wyrazy inne niż najwyższy wymiar, ale w tym przypadku nie ma najwyższego wymiaru.
@gmatht Jasne, to jest oficjalna seria mocy w odpowiedzi AFT.Jest wystarczająco spójna jako definicja, ale tak naprawdę nie naginasz wykładnika, aby dopasować go do analizy wymiarowej - całkowicie pozbywasz się analizy wymiarowej.
#2
+46
user154997
2017-10-24 21:26:28 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Prawosławny pogląd

Trochę formalnego podejścia: $ \ exp x $ można wyrazić jako serię:

$$ \ exp x = 1 + x + \ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 3} {3!} + \ cdots + \ frac {x ^ n} {n! } + \ cdots $$

Więc jeśli $ x $ ma jednostkę $ X $, to warunki tej serii mają odpowiednie jednostki

$$ \ text {Brak}, X, X ^ 2, X ^ 3, \ cdots X ^ n, \ cdots $$

co nie jest spójne wymiarowo. Ten sam argument dla $ \ ln $ lub dla dowolnej funkcji analitycznej (tj. Funkcji, którą można rozwinąć w takiej serii). Odnosi się to również do czegoś tak prostego jak

$$ \ frac {1} {1-x} = 1 + x + x ^ 2 + \ cdots. $$

Właściwie nie potrzeba nawet całej serii. Tylko dwa człon rozwinięcia Taylora wystarczą, aby zmienna była bezwymiarowa. Na przykład, jeśli funkcja $ f (x) $ działa tak, jak

$$ f (x) = x - x ^ 2 + O (x ^ 3), $$

ponieważ $ x $ idzie do 0, np. $ x $ nie może mieć wymiaru $ X $, w przeciwnym razie dodałoby się $ X $ i $ X ^ 2 $. Dotyczy to oczywiście również szeregów asymptotycznych, takich jak

$$ f (x) = \ frac {1} {x ^ 2} + \ frac {2} {x ^ 3} + O \ left (\ frac {1} {x ^ 4} \ right), $$

jako $ x \ do + \ infty $.

Gry wokół ortodoksji

A co z następującym argumentem. Podam bardzo prosty przykład, który nie obejmuje żadnych serii

$$ f (x) = x + x ^ 2. $$

Argument ortodoksyjny powyżej sugeruje, że $ x $ powinno być bezwymiarowe. Ale zamierzam argumentować, że współczynniki 1 z $ x $ i $ x ^ 2 $ faktycznie mają wymiar $ X ^ {- 1} Y $ i $ X ^ {- 2} Y $, gdzie $ X $ to jednostka $ x $, a $ Y $ stałaby się wówczas jednostką $ f (x) $. To sprawia, że ​​wszystko jest spójne, prawda? Tak, ale jest to parodia, ponieważ oznacza, że ​​zamiast $ f (x) $ mamy do czynienia z

$$ f_ \ text {pseudo} (x) = a \ left (\ frac {x} {x_0} + \ left (\ frac {x} {x_0} \ right) ^ 2 \ right), $$

gdzie $ x_0 $ ma jednostkę $ X $, a $ a $ ma jednostkę $ Y $, to znaczy

$$ f_ \ text {pseudo} (x) = af \ left (\ frac {x} {x_0} \ right). $$

I oto jest: argument $ f $ jest rzeczywiście bezwymiarowy! Argument uogólnia się do dowolnej serii. Spójrzmy na wykładniczy jako ilustrację:

$$ \ exp x = \ sum_ {i = 0} ^ n \ frac {1} {n!} x ^ n. $$

Zatem argument byłby taki, że $ 1 / n! $ faktycznie ma jednostkę $ X ^ {- n} $. W porządku, ale zamiast $ \ exp $ oznacza to, że mamy do czynienia z

$$ \ exp_ \ text {pseudo} (x) = a \ sum_ {i = 0} ^ n \ frac {1} {n!} \ left (\ frac {x} {x_0} \ right) ^ n, $$

gdzie $ x_0 $ ma wymiar $ X $, a teraz $ 1 / n! $ jest bezwymiarowe, a jak powyżej $ a $ ma wymiar $ Y $. To znaczy, że

$$ \ exp_ \ text {pseudo} (x) = a \ exp \ frac {x} {x_0}. $$

W rezultacie argument $ \ exp $ jest bezwymiarowy.

Moja szczera opinia na temat tej małej gry: no cóż! Wszystko po to, naprawdę? Co więcej, jak zauważył w komentarzach Emilio Pisanty, wymaga to wyciągnięcia z nieba skali $ x_0 $ (i jeszcze innej skali $ a $ potencjalnie): cały punkt analizy wymiarowej polega na tym, że wzięliśmy pod uwagę wszystkie możliwe wcześniej zwymiarowane ilości. Tutaj przedstawiamy kolejny po fakcie i nie ma to sensu ani dla Emilio, ani dla mnie.

Komentarze nie służą do rozszerzonej dyskusji;ta rozmowa została [przeniesiona do czatu] (http://chat.stackexchange.com/rooms/67760/discussion-on-answer-by-luc-j-bourhis-why-is-it-bad-taste-to-mieć wymiar).
#3
+32
knzhou
2017-10-24 21:36:57 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Twój instruktor nazwał to „złym smakiem”, a nie po prostu błędem, ponieważ ludzie będą to robić cały czas z logarytmem.Logarytm jest wyjątkowy, ponieważ pozwala podzielić mnożniki na addytywne, więc ludzie będą pisać coś w rodzaju $$ \ log (r / r_0) = \ log (r) - \ log (r_0) = \ log (r) + C. $$ Najczęstszym sposobem zrobienia tego przypadkowo jest użycie całki, $$ \ int \ frac {\ mathrm dr} {r} "=" \ log r + C. $$ Jest to technicznie błędne, ale prawie każdy pisze to w ten sposób.Pod koniec dnia zawsze możesz połączyć stałe z powrotem w logarytm, aby argumenty miały właściwe wymiary.

#4
+7
Sean E. Lake
2017-10-25 02:50:16 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Pozostałe odpowiedzi są poprawne, jeśli myślisz o tym w kategoriach analizy jednostek, nie możesz dodawać do siebie ilości, które mają różne jednostki.Mimo to formalnie zawsze możesz zrobić coś takiego $$ f \ left (\ frac {x} {1 \ operatorname {m}} \ right) $$ uzyskać coś, co działa matematycznie.

Kiedy staje się złym gustem / złą praktyką, jest to, że sam wprowadziłeś ten mianownik ręcznie.W przypadku każdego problemu fizycznego, który wymaga oszacowania jakiejś skomplikowanej funkcji, takiej jak $ \ sin $, $ \ ln $ lub $ \ exp $, zawsze będzie jakaś fizycznie istotna wielkość z tymi samymi jednostkami, które pozwolą ci utworzyć bezjednostkowąIlość.Na przykład, pracując z prostym oscylatorem harmonicznym, możemy połączyć stałą sprężyny $ k $ i masę $ m $, aby otrzymać wielkość z jednostkami odwrotności czasu, $ \ omega \ equiv \ sqrt {k /m.} $.Chodzi o to, że $ \ omega $ pozwala nam rozsądnie napisać $ x = A \ sin (\ omega t) $, aby opisać ruch oscylatora.

Dodatkowym czynnikiem dla funkcji trygonometrycznych i obrotowych jest problem wymiaru „Kąta”.Jak wiesz, matematycy zawsze muszą mówić „Oczywiście kąty są w radianach”, ale rzeczywisty kąt prosty to pi / 2 rads.Pseudo wymiar „Kąta” jest wskaźnikiem, że dwa niezależne wymiary długości (tj. W przestrzeni 2d / 3d) zostały wyeliminowane, podczas gdy, gdyby były innymi wymiarami, (prawdopodobnie) nie powinny.Na przykład.Moment obrotowy jest wyrażony w N.m / rad, a wymiarowo Praca / Kąt.Szkoda, że SI stracił fabułę dotyczącą jednostek uzupełniających.
Podobnie jak radiany i kąty z funkcjami trygonometrycznymi, sensowne może być stosowanie funkcji wykładniczych do pomiarów rzeczy w belach lub decybelach, ponieważ są one powiązane z logarytmami stosunków.
@Henry, jest OK, chyba że jest to dBm i tym podobne, które również (niejawnie) zawierają dziennik jednostki.Ponadto nadal potrzebujesz korekty skalowania (czy to 10 log, czy 20 log?), A nawet wtedy jest to log vs ln, w stosunku do prostego wprowadzenia liczby do wykładniczej.Neper może być kompromisem dla jednostki bazowej SI ...
Jest też problem radianów i steradianów.Są to przypuszczalnie bezwymiarowe stałe, ale steradyany nie są równe radianom * radianom niezależnie od kątów rozpatrywanego obiektu dwuwymiarowego.W grę wchodzi również bezwymiarowa funkcja (sin (theta) lub cos (theta) w zależności od reprezentacji).
#5
  0
Joshua
2017-10-29 05:44:35 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Celowo ustawiłem coś, co brzmi tak:

f lbs = bridge mV / 2 x log 2 mV / lbs

Tak, to działa.2 jest oczywiście bezwymiarową stałą *, więc jednostka naprawdę musi znaleźć się na x.

To trochę zła forma, ponieważ naprawdę małe zmiany w x odpowiadają naprawdę dużym zmianom w wyniku lub w inny sposób trudno jest wyczuć, co zrobią liczby.

* Gdy formuła jest prezentowana w swojej natywnej formie, 2 nie istnieje;pojawia się tylko przy przepisywaniu go w standardowej formie.

Ta strona używa [notacji LaTeX] (https://math.meta.stackexchange.com/questions/5020/mathjax-basic-tutorial-and-quick-reference) do matematyki, która, jeśli byłaby właściwie zaimplementowana, sprawiłaby, że ta odpowiedź byłaby przynajmniej marginalnaczytelny.
#6
  0
Peter Green
2017-10-31 18:28:04 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Patrzę na to, że większość jednostek zachowuje się jak multiplikatywne niewiadome. Oznacza to, że możemy sobie wyobrazić, że istnieje (prawdopodobnie nieznana) naturalna jednostka dla ilości, a jednostka jest (prawdopodobnie nieznanym) współczynnikiem skali, który przekształca naszą jednostkę ludzką w jednostkę naturalną. Aby stworzyć spójną formułę, chcemy, aby wszystkie te niewiadome zostały usunięte. Physisits uważa jednostki, które nie działają jak multiplikatywne niewiadome (na przykład stopnie Celsjusza i Fahrenheita), za zły gust.

Powstaje zatem pytanie, co różne funkcje robią z multiplikatywną niewiadomą. Rozważmy prostą funkcję podniesienia liczby do potęgi.

$ F (x) = x ^ n -> F (xu) = F (x) F (u) $

Świetnie, weszliśmy do działu dobrego smaku i wyszła jednostka dobrego smaku.

Spójrzmy teraz na logarytm.

$ F (x) = log_n (x) -> F (xu) = F (x) + F (u) $

Ten wynik nie jest „jednostką dobrego smaku”, ponieważ jest to nieznany dodatek, a nie mnożnik nieznany, ale praca z nim nie jest straszna. W wielu przypadkach możemy anulować F (u) i dojść do spójnego forum. Rzeczywiście, inżynierowie często używają logarytmu w ten sposób.

Spójrzmy teraz na wykładniczy.

$ F (x) = n ^ x -> F (xu) = (F (x)) ^ u $

hm, wydaje mi się, że w niektórych przypadkach możliwe jest wyłączenie zasilania, ale radzenie sobie z tym jest dość okropne.



To pytanie i odpowiedź zostało automatycznie przetłumaczone z języka angielskiego.Oryginalna treść jest dostępna na stackexchange, za co dziękujemy za licencję cc by-sa 3.0, w ramach której jest rozpowszechniana.
Loading...