Brzmi to tak, jakbyś szukał po omacku Bekestein Bound (patrz strona Wiki o tej nazwie) z dziedziny termodynamiki czarnych dziur. To ograniczenie zakłada, że całkowita maksymalna pojemność przechowywania informacji (w bitach) dla obszaru kulistego w przestrzeni $ R $ zawierającego całkowitą energię $ E $ wynosi:
$$ I \ leq \ frac {2 \, \ pi \, R \, E} {\ hbar \, c \, \ log 2} \ tag {1} $$
gdzie $ I $ to liczba bitów zawartych w stanach kwantowych tego regionu przestrzeni. Jeśli spróbujesz wepchnąć zbyt dużo energii w obszar przestrzeni, uformuje się horyzont Schwarzschilda i czarna dziura, do granicy Bekensteina oznacza maksymalną pojemność przechowywania informacji dla obszaru przestrzeni niezależnego od $ E $; limit zostanie osiągnięty, gdy $ E $ będzie tak wysokie, że $ R $ stanie się promieniem Schwarzschilda (promieniem horyzontu zdarzeń) tej czarnej dziury; z tego pojęcia otrzymujemy:
$$ E \ leq \ frac {R \, c ^ 4} {2 \, G} \ tag {2} $$
aby zapobiec formuje się czarna dziura, której równość utrzymuje się na progu tworzenia horyzontu. Z (1) i (2) znajdujemy:
$$ I \ leq \ frac {\ pi \, R ^ 2 \, c ^ 3} {\ hbar \, G \, \ log \ , 2} \ tag {3} $$
co jest rzeczywiście entropią czarnej dziury w bitach: to jest słynna formuła Hawkinga $ I = A / (4 \, \ log 2) $ bits, gdzie $ A $ to powierzchnia horyzontu czarnej dziury Schwartzschilda (ale wyrażona w jednostkach Plancka). Bekenstein wyprowadził te granice przez (1) postulując, że druga zasada termodynamiki pozostaje prawdziwa dla układów zawierających czarne dziury, a następnie pokazując, że (2) drugie prawo można uczynić „bezpiecznymi” tylko wtedy, gdy te granice się utrzymają. W przeciwnym razie można sobie wyobrazić eksperymenty myślowe, które naruszałyby drugie prawo, wrzucając przedmioty do czarnych dziur. Więcej na temat uziemienia granic można znaleźć na stronie Scholarpedia dla granicy Bekenstein.
Dla tych formuł uzyskuje się naprawdę kolosalne możliwości przechowywania. Dla obszaru o promieniu 5 centymetrów (wielkości piłki tenisowej) otrzymujemy 4,3 $ \ times10 ^ {67} $ bitów z (3). Należy to porównać z szacunkową całkowitą pamięcią masową systemów komputerowych Ziemi wynoszącą około 10 ^ {23} bitów w 2013 r. (Patrz Wikipedia Zettabyte Page). Półtora kilograma ludzkiego mózgu może pomieścić około 3 \ razy 10 ^ {42} $ bitów, a masa Ziemi z grubsza 10 ^ {75} $ bitów. Te dwa ostatnie są bardziej wskazujące na „normalną” materię, ponieważ przykład piłki tenisowej zakłada, że zgromadziliśmy tyle energii, że zaraz uformuje się czarna dziura. Zatem piłka tenisowa byłaby wykonana z ultrakompresowanej materii, takiej jak materiał gwiazdy neutronowej.
Na przykładzie ludzkiego mózgu załóżmy, że mamy atomów $ (1500/12) \ razy 10 ^ {24} $. (w przybliżeniu liczba Avagadro razy liczba moli węgla w tej masie). Treść informacyjna opracowana powyżej wyniosłaby więcej niż 10 ^ {16} $ bitów na atom.
Żadne z tych ograniczeń nie mówi o faktycznej realizacji przechowywania danych. Jednak teoretycznie byłoby trywialne przechowywanie więcej niż jednego bitu na atom przez wybranie pierwiastka z, powiedzmy, trzema lub czterema stabilnymi izotopami i ustawienie atomów w kratkę. Kodujesz swoje dane, umieszczając odpowiedni izotop w każdej podanej pozycji w sieci i odzyskujesz swoje bity, odczytując, który izotop jest obecny w każdej pozycji sieci. Na przykład Krzem ma trzy stabilne izotopy: kodujesz wiadomość w kratce krzemu w ten sposób, a twoja pamięć wynosi $ \ log_2 3 \ około 1,58 $ bitów na atom.
Edytuj w odpowiedź na pytanie OP:
" ponieważ jest to, o ile wiem, fizyka relatywistyczna / w makroskali, czy jest miejsce na znaczącą zmianę, gdy fizyka kwantowa jest (tj. czy to prawdopodobnie pozostanie niezmienione lub zmieni się, gdy odkryta zostanie teoria jednocząca? A może jest całkowicie niezależne od problemu teorii unifikującej?) "
Tak, to fizyka w makroskali, ale nie poprawi się, gdy zostaną uwzględnione efekty kwantowe, JEŚLI druga zasada termodynamiki dotyczy systemów czarnych dziur i wydaje mi się, że wielu fizyków badających grawitację kwantową uważa, że tak. Makroskopowe zespoły układów kwantowych nadal uwzględniają drugie prawo, gdy mierzymy entropię stanów mieszanych za pomocą entropii von Neumanna: jest to kwantowe rozszerzenie entropii Gibbsa. A jeśli mówisz o drugiej zasadzie, to zawsze mówisz o zachowaniu zespołu / dużego systemu: entropia waha się w górę i w dół: pomijalnie dla systemów makr, ale znacząco dla układy małej liczby cząstek kwantowych. Jeśli jednak się nad tym zastanowisz, prawdopodobnie najbardziej interesuje Cię zachowanie makr, ponieważ chcesz wiedzieć, ile informacji jest przechowywanych średnio na cząstkę kwantową. Jak rozumiem, znaczna część teorii grawitacji kwantowej opiera się na założeniu, że systemy czarnych dziur rzeczywiście są zgodne z drugim prawem. Na przykład w teorii mnogości przyczynowych zakładane „atomy” czasoprzestrzeni wpływają na siebie przyczynowo i oczywiście mamy pary tych atomów, które są splątane (przyczynowo wpływają na siebie), ale leżą po obu stronach horyzontu Schwarzschilda: para znajduje się wewnątrz czarnej dziury i dlatego nie można jej zbadać z zewnątrz, podczas gdy drugi członek pary znajduje się w naszym wszechświecie. Jest splątany, a zatem przyczynowo połączony z elementem pary wewnątrz czarnej dziury, której nie możemy zobaczyć. Element pary poza horyzontem obserwowany w naszym wszechświecie ma zatem „ukryte” zmienne stanu, tj. zakodowane w stanie elementu pary wewnątrz horyzontu, które dodają się do jego entropii von Neumanna, tak jak byśmy to postrzegali poza horyzontem. Dlatego teoria mnogości przyczynowych przepowiada entropię proporcjonalną do obszaru horyzontu (słynne równanie Hawkinga $ S = k \, A / 4 $), ponieważ jest to obszar proporcjonalny do liczby takich par okrążających horyzont.
Linki z odpowiedzią Jerry'ego Schirmera po dyskusjach z użytkownikami Charles i user27542; zobacz także pytanie Charlesa „Jak duży jest wzbudzony atom wodoru?”
Jerry Schirmer poprawnie (IMO) stwierdza, że teoretycznie można zakodować nieskończoną liczbę bitów w stanach własnych wzbudzony atom wodoru; dzieje się tak oczywiście, jeśli możemy nieskończenie precyzyjnie mierzyć energię i rozróżniać stany; ponieważ odstępy między sąsiednimi poziomami energii zmieniają się i wynoszą 1 $ / n ^ 3 $, gdzie $ n $ jest główną liczbą quantun, musielibyśmy chcieć czekać coraz dłużej, aby odczytać nasz kod, gdy próbujemy wkuwać coraz więcej danych do naszego atomu wodoru. Nawet jeśli jesteśmy gotowi to zrobić, schemat kodowania nie jest nawet bliski naruszenia granicy Bekensteina, ponieważ rozmiar orbitali o wyższym stanie energii rośnie, teoretycznie bez ograniczeń, wraz z główną liczbą kwantową. Obliczam średni promień $ \ bar {r} $ orbitalu o głównej liczbie kwantowej $ n $ w mojej odpowiedzi tutaj, a odpowiedź to $ \ bar {r} \ ok. N \, (n + \ frac {3} {2}) \, a \ sim n ^ 2 $. Ponadto liczby kwantowe pędu są ograniczone przez $ \ ell \ in1, \, 2, \, \ cdots, \, n-1 $ i $ m \ in- \ ell, \, - \ ell + 1, \, \ cdots, \, \ ell-1, \, \ ell $, zatem całkowita liczba stanów własnych o głównej liczbie kwantowej $ n $ wynosi 1 $ + 3 + 5 + \ cdots 2n-1 = n ^ 2 $, a więc suma liczba $ N (n) $ stanów własnych energii o głównej liczbie kwantowej $ n $ lub mniejszej to $ N (n) = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + \ cdots + n ^ 2 \ ok n ^ 3/3 $. Więc $ \ bar {r} \ propto n ^ 2 $ i $ N \ propto n ^ 3 $ więc $ N \ propto \ sqrt {\ bar {r} ^ 3} $ i $ I = \ log N \ ok. A + \ frac {3} {2} \, \ log_2 \, \ bar {r} $ gdzie $ I $ jest kodowaną zawartością informacji w bitach, a $ A $ jest stałą.