TL; DR: Ta odpowiedź prowadzi do mniej więcej tego samego wniosku, co odpowiedź Kyle Kanosa, tj. oprócz rozważań na temat ładunku, trudność polega na wypchaniu małej rakiety o masie paliwa przekraczającej masę samej rakiety. Ta odpowiedź jest jednak bardziej rygorystyczna w sposobie traktowania budżetu $ \ Delta v $.
Równanie rakiety:
Rozważmy Równanie rakiety Ciołkowskiego, które opisuje ruch pojazdów, które napędzają się, wyrzucając część swojej masy z określoną prędkością. Uproszczona wersja uwzględniająca tylko (stałą) grawitację i siłę ciągu jest podana poniżej:
$$ \ Delta v (t) = v_e \ cdot \ ln \ frac {m_0} {m (t)} - g \ left (\ frac {m_f} {\ dot m} \ right) $$ gdzie $ v_e $ to efektywna prędkość spalin, $ m_f $ to masa paliwa na pokładzie, $ \ dot m $ to masa szybkość spalania (stała w stosunku do czasu), $ m_0 $ to początkowa masa rakiety, a $ m (t) $ to aktualna masa rakiety.
Zauważ, że jest to w zasadzie pęd równanie wymiany: masz skończoną ilość pędu dostępną z wydalenia paliwa, którą musisz wydać na zwiększenie prędkości rakiety + pozostały układ paliwowy, jak również przezwyciężenie grawitacji (tj. ciągnięcie planety kiedykolwiek tak lekko). Postać równania Ciołkowskiego, która nie bierze tego pod uwagę (tak jak w drugiej odpowiedzi), da wyniki niefizyczne.
Zmienne ograniczone:
Teraz, czym możemy się bawić w tym równaniu? Zakładając, że $ t_ {escape} $ to czas, w którym rakieta ucieka przed ziemską grawitacją:
- $ \ Delta v (t_ {escape}) $ to po prostu nasza pożądana prędkość ucieczki (zakładając, że rakieta wystartuje od reszty), co jest podyktowane tym, gdzie próbujemy wysłać rakietę
- $ m (t_ {escape}) $ będzie optymalnie masą rakiety bez paliwa
- Efektywna prędkość spalin $ v_e $ i natężenie przepływu masowego $ \ dot m $ są funkcją typu dostępnego silnika / paliwa
Oznacza to, że żadna z tych wielkości nie jest do negocjacji; jesteśmy ograniczeni wymaganiami misji i dostępną technologią.
Rozwijanie relacji między rakietą a masą paliwa:
Wszyscy jesteśmy do zabawy pozostały początkowe masy paliwa rakietowego $ m_f $ i korpusu rakiety $ m_r $. Podstawmy wartości $ v $ i $ m $ w momencie, gdy rakieta ucieka przed grawitacją, zauważając, że $ m_0 = m_f + m_r $:
$$ \ begin {align} v_ {escape } & = v_e \ cdot \ ln \ frac {m_f + m_r} {m_r} - g \ left (\ frac {m_f} {\ dot m} \ right) \\ & = v_e \ cdot \ ln \ left (1 + \ frac {m_f} {m_r} \ right) - g \ left (\ frac {m_f} {\ dot m} \ right) \ end {align} $$
Przestawiając, mamy:
$$ m_r = m_f \ cdot \ left (\ exp \ left (\ frac {v_ {esc} + g \ left (\ frac {m_f} {\ dot m} \ right)} {v_e} \ right) -1 \ right) ^ {- 1} $$
Zauważ, że to efektywnie zapewnia $ m_r $ jako funkcję $ m_f $, ponieważ wszystkie inne parametry są ustalane przez ograniczenia funkcji misja i wyposażenie oraz stałe środowiskowe. Ponieważ związek nie jest od razu oczywisty, oto wykres $ m_r $ względem $ m_f $ dla wybranych wartości stałych:
Na czerwono mamy wykres masy rakiety w funkcji początkowej masy paliwa, podczas gdy na niebiesko mamy wykres stosunku początkowej masy paliwa do masy całkowitej. Zauważ, że oś niebieskiego wykresu zaczyna się od 0,9 !! Oznacza to, że niezależnie od wybranej masy rakietowej, początkowa masa netto pojazdu musiałaby prawie w całości składać się z paliwa.
Więc co to oznacza?
Napełnianie pojazdu masą paliwa przekraczającą jego własną jest coraz trudniejsze w przypadku małych rakiet, ale nie jest tak trudne w przypadku znacznie większych rakiet (pomyśl o tym, jak objętość pustego korpusu zmienia się w porównaniu z masą). Dlatego wytwarzanie coraz mniejszych rakiet staje się coraz trudniejsze.
Ponadto minimalny limit masy rakiety, jaki możemy wybrać, jest narzucony przez ciężar ładunku, który musi przenosić, który może być dowolny, od satelita do jednej osoby.
Górna granica ładunku:
Bardzo ciekawa rzecz dzieje się w pobliżu punktu przegięcia masy rakiety - krzywej masy paliwa . Przed punktem przegięcia dodanie większej ilości paliwa pozwoliło nam podnieść większy ładunek do żądanej prędkości.
Jednak gdzieś około 4 $ \ cdot 10 ^ 6 $ kg masy paliwa (dla wybranych przez nas wartości parametrów) odkrywamy, że dodanie większej ilości paliwa zaczyna zmniejszać ładowność, która może być wciągnięty! To, co się tutaj dzieje, polega na tym, że koszt dodatkowego paliwa, który musi walczyć z grawitacją, zaczyna wygrywać z korzyścią wynikającą z wysokiego stosunku masy paliwa do masy ładunku.
To pokazuje, że istnieje teoretyczny górny limit ładunku, który można podnieść na Ziemi przy użyciu dostępnej technologii paliwa. Nie jest możliwe po prostu dalsze zwiększanie masy użytecznej i paliwa w równych proporcjach, aby podnosić dowolnie duże ładunki, jak sugerowałoby to równaniem Ciołkowskiego bez dodatkowych warunków grawitacji.