W obserwowalnym wszechświecie jest około 10 ^ {23} $ gwiazd . Dzięki rozszerzaniu się Wszechświata gwiazdy te są obecnie rozrzucone po kuli o średnicy około $ d = 2,8 \ razy 10 ^ {10} $ parseków.

Oczywiście niektóre gwiazdy zginą, gdy ich światło będzie podróżować w naszym kierunku, ale inne się narodzą, więc zignoruję tę komplikację.

Jeśli wyobrazimy sobie gwiazdy równomiernie rozłożone w tej objętości $ ^ {*} $, mają one gęstość liczbową $ n = 3 \ razy 10 ^ {- 58} $ m $ ^ {- 3} $ (lub $ \ sim 10 ^ {- 8} $ pc $ ^ {- 3} $). Jeśli następnie zdefiniujemy średni promień gwiazdy $ R $, możemy zapytać, ile gwiazd znajduje się w promieniu $ R $ od płaszczyzny przelatującej przez Ziemię. Objętość zajmowana przez ten wycinek to 2 $ \ pi d ^ 2 R / 4 $, a liczba gwiazd w tym tomie to $$ N = \ pi d ^ 2 R n / 2. $$

Jeśli $ R \ sim 1 R _ {\ odot} $ (wiele gwiazd jest dużo większych, większość gwiazd jest trochę mniejszych), to $ N \ sim 2 \ times 10 ^ 5 $. Mój zaskakujący wniosek (w każdym razie dla mnie) jest taki, że wiele gwiazd zostałoby „przeciętych” przez płaszczyznę przechodzącą przez cały obserwowalny wszechświat.

$ * $ NB: Gwiazdy nie są rozmieszczone równomiernie - są skoncentrowane w galaktykach, a te galaktyki są zorganizowane w grupy, gromady i włókniste nadbudówki. Jednak w największych skalach Wszechświat jest raczej jednorodny (patrz kosmiczne mikrofalowe tło), a więc w pierwszym rzędzie niejednorodność w mniejszej skali nie wpłynie na oszacowanie średniej całkowitej liczby „pokrojonych” gwiazd w obserwowalnym Wszechświecie, ale może oznaczać, że w odpowiedzi występuje większa rozbieżność, niż sugerowałyby proste statystyki poissońskie.

Czy skupienie gwiazd mogło wpłynąć na wniosek? Mogłoby, gdyby skupienie było na tyle silne, że mediana liczby gwiazd w obrębie $ R $ od płaszczyzny stałaby się $ <1 $, ale z niezmienioną średnią liczbą. Jako przykład rozważmy skrajny model bimodalny, w którym wszystkie gwiazdy znajdują się w galaktykach N _ * $ gwiazd, gdzie średnia gęstość wynosi n $ n _ * $. "Strukturę" wszechświata można wówczas scharakteryzować za pomocą równomiernie rozmieszczonych galaktycznych "sześcianów" boku $ L = (N _ * / n _ *) ^ {1/3} $ i pustek o boku $ (n _ * / n) ^ {1/3} L = (N_g / n) ^ {1/3} $. Gęstość liczbowa galaktyk to liczba galaktyk podzielona przez objętość obserwowalnego wszechświata $ n_g = (10 ^ {23} / N _ *) / (\ pi d ^ 3/6) $

Liczba galaktyk przeciętych przez samolot będzie wynosić $$ N_g \ sim \ left (\ frac {6 \ times 10 ^ {23}} {\ pi d ^ 3 N _ *} \ right) \ left (\ frac {\ pi d ^ 2} {4} \ right) L = 1,5 \ times 10 ^ {23} \ left (\ frac {L} {N_ * d} \ right) $$ iw każdej z tych galaktyk będą $ \ sim L ^ 2 R n_ * = R N _ * / L $ przecięcia z gwiazdą.

Jeśli pozwolimy $ n _ * = 0,1 $ pc $ ^ {- 3} $ (lokalna gęstość gwiazd w naszej Galaktyce) i $ N_ * = 10 ^ {11} $ (rozmiar naszej Galaktyki), to $ L = 10 ^ 4 $ pc, $ N_g = 5 \ times 10 ^ {5} $, a liczba przecięć gwiazd na galaktykę wyniesie około 0,25. w związku z tym średnia liczba skrzyżowań będzie mniej więcej taka sama (zgodnie z projektem), ale wariancja też nie będzie się zbytnio różnić.

Myślę, że jedynym sposobem, w jaki kontrasty gęstości mogą dać znaczną szansę na brak przecięcia, jest to, że $ N_g<1 $, a zatem $ L / N_ * < 2 \ times 10 ^ {- 13} $ - tj. jeśli galaktyki / struktury zawierają dużowięcej gwiazd i są bardzo gęste, więc istnieje duża szansa, że samolot nie będzie przecinał pojedynczej „galaktyki”.Na przykład, jeśli $ N_ * = 10 ^ {21} $ i $ n_ * = 10 ^ 3 $ pc $ ^ {- 3} $, to $ L = 10 ^ 6 $ pc i $ N_g \ sim 0,05 $.W tej sytuacji (która w niczym nie przypomina naszego Wszechświata) istnieje duża szansa, że samolot nie przeciąłby jednej ze 100 dużych „galaktyk”, ale gdyby tak było, byłoby około 10 ^ 7 $gwiezdne przecięcia.

Jako przybliżone przybliżenie, które można łatwo wypróbować z dzieckiem, możesz spróbować tego:

1. Znajdź lub wydrukuj dużą mapę gwiazd lub zdjęcie nieba. Coś takiego.

2. Rzuć na niego długim, wąskim kijem. Sprawdź, czy znajdzie się nad gwiazdami.

Nie będzie to bardzo dokładne, ponieważ nie wszystkie gwiazdy są widoczne, a jasność ukrywa rzeczywiste rozmiary gwiazd. Ale powinno to całkiem jasno pokazać, że szanse przypadkowego uderzenia samolotu w gwiazdę są całkiem spore.

-

Update: Wydaje się, że jest to dość popularna odpowiedź. Zgadzam się jednak z komentarzami, że dokładność tego przykładu jest bardzo słaba i może faktycznie wprowadzać w błąd. Dlatego dobrym pomysłem byłoby kontynuowanie dyskusji na temat jego ograniczeń, która służy przede wszystkim do zilustrowania rzeczywistej złożoności w uzyskaniu dokładnej odpowiedzi na proste pytanie.

Kilka kwestii do rozważenia:

• Jak duży byłby papier, aby dokładnie przedstawić rozmiar gwiazd? Mapa całego nieba musiałaby mieć około 1000 kilometrów, aby większość widocznych gwiazd miała średnicę 1 milimetra. Bardziej odległe gwiazdy byłyby coraz mniejsze w projekcji perspektywicznej.

• Ile gwiazd jest niewidocznych? Możesz zobaczyć około 5 000 gwiazd gołym okiem, ale we wszechświecie jest 10¹⁹ gwiazd.

• Jak gruby jest kij? Nawet włos byłby szerszy niż odległa gwiazda, więc idealnie byłoby, gdybyś potrzebował nieskończenie cienkiej krawędzi, aby uzyskać dokładne wyniki.

A potem największa niepewność, o której była już mowa w pytaniu:

• Jak duży jest naprawdę wszechświat? Ograniczenie się do obserwowalnego wszechświata jest jedną z możliwości, ale prawdopodobnie nie tak zostało pierwotnie sformułowane pytanie.

To jest Ultragłębokie Pole Hubble'a, fotografia z długim czasem naświetlania wykonana przez Teleskop Kosmiczny Hubble'a.

• Zawiera szacunkowo 10 000 galaktyk.Każda z nich zawiera średnio 100 miliardów gwiazd.
• Pokazuje bardzo małą część ($ \ frac {1} {13 \ 000 \ 000}) $ całego nieba.Przekątna to jedna dziesiąta średnicy księżyca w pełni.
• Został wybrany, ponieważ ma małą gęstość jasnych gwiazd w bliskim polu.Gołym okiem lub w zwykłych teleskopach wygląda na całkowicie czarną.
• Wygląda bardzo podobnie do innych części nieba, a galaktyki są bardzo daleko.Dystrybucja wyglądałaby tak samo wszędzie we wszechświecie.

Nie udało mi się znaleźć ani jednej linii omijającej galaktyki.Zgodnie ze świetną odpowiedzią @RobJeffriesa, linia tylko na tym zdjęciu przecina średnio 100 galaktyk i przecina około 25 gwiazd.

To pytanie jest tylko dwuwymiarową wersją paradoksu Olbera.W nieskończonym, jednorodnym wszechświecie każda linia wzroku kończy się na powierzchni gwiazdy.Dlatego w takim wszechświecie każda linia na danej płaszczyźnie przechodzi przez gwiazdę.W konsekwencji każda płaszczyzna w takim wszechświecie przecina wiele gwiazd.

Przede wszystkim zwróć uwagę, że jeśli coś ma szansę wystąpienia 1 do X w każdej „próbie” i jest Y „prób”, wzór exp (-Y / X) daje przybliżone oszacowanie prawdopodobieństwa wystąpienia to się nie dzieje. Na przykład, jeśli rzucisz kostką sześć razy, prawdopodobieństwo (z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku), że nie dostaniesz żadnej, wynosi 33,49%, podczas gdy przybliżenie, które podałem powyżej, daje 36,78%. Wraz ze wzrostem X i Y przybliżenie to staje się lepsze. Jeśli Y jest znacznie większe niż X, to prawdopodobieństwo jest prawie zerowe. Ile jest więc „prób” i jakie jest prawdopodobieństwo każdej „próby”?

Załóżmy, że mamy układ jednostek, w którym promień gwiazd wynosi 1. (Zwróć uwagę, że moje obliczenia są przybliżonymi szacunkami, więc nie będę się martwić o zmienność takich wielkości, jak promienie gwiazd, i w przeciwieństwie do @Rob Jeffries, Nie będę śledził takich „małych” stałych, takich jak $ \ pi $. W poniższych obliczeniach prawdopodobnie istnieje wiele punktów, w których osoba o matematycznych poglądach może stwierdzić, że mija się z takim czynnikiem, ale to nie powinno nie zmieniaj ostatecznej odpowiedzi.)

Teraz powiedzmy, że odległość między gwiazdami to D, a promień Wszechświata to U (znowu, są one mierzone w jednostkach promienia gwiazd). Wtedy każdy samolot ma U ² „prób” zdobycia gwiazdy, więc nasz Y to U ² , a nasz X to D ³ . Zatem nasze prawdopodobieństwo wynosi exp (-U ² / D ³ ). Promień Wszechświata wynosi około 10 ¹¹ lat świetlnych, więc jeśli promień gwiazdy wynosi około 10 ^-4 lat świetlnych, to U = 10 ^{15 sup >. Jeśli odległość między gwiazdami wynosi, powiedzmy, 10 1 lat świetlnych, to D = 10 5 . To daje (10 15 ) 2 / (10 5 ) 3 = 10 30 sup> / 10 15 = 10 15 . exp (10 -15 ) jest praktycznie zerowe ze względów praktycznych; to dosłownie astronomicznie mała liczba.}