Załóżmy, że rzucasz piłką w górę z pewną prędkością $ v $. Wtedy czas spędzony w powietrzu to po prostu:

$$ t _ {\ text {air}} = 2 \ frac {v} {g} $$

gdzie $ g $ to przyspieszenie ziemskie. Kiedy łapiesz piłkę, trzymasz ją w dłoni przez jakiś czas $ t _ {\ text {hand}} $ i w tym czasie musisz przyśpieszyć ją na tyle, aby zwolnić piłkę z jej prędkości opadania $ v $ w dół i wyrzuć go z powrotem z prędkością $ v $ w górę:

$$ t _ {\ text {hand}} = 2 \ frac {v} {a - g} $$

Zwróć uwagę, że zapisałem przyspieszenie jako $ a - g $, ponieważ musisz zastosować przyspieszenie co najmniej $ g $, aby zatrzymać przyspieszanie kuli w dół. Przyspieszenie $ a $, które musisz zastosować, to $ g $ plus dodatkowe przyspieszenie, aby przyspieszyć piłkę w górę.

Chcesz, aby czas w rozdaniu był jak najdłuższy, abyś mógł użyć jak najmniejszego przyspieszenia jak to możliwe. Jednak $ t _ {\ text {hand}} $ nie może być większe niż $ t _ {\ text {air}} $, w przeciwnym razie byłby jakiś czas, w którym trzymałeś obie piłki. Jeśli chcesz mieć pewność, że trzymasz tylko jedną piłkę na raz, najlepszym, co możesz zrobić, jest $ t _ {\ text {hand}} $ = $ t _ {\ text {air}} $. Jeśli podstawimy wyrażenia za $ t _ {\ text {hand}} $ i $ t _ {\ text {air}} $ z góry i ustawimy je na równe, otrzymamy:

$$ 2 \ frac {v } {g} = 2 \ frac {v} {a - g} $$

co upraszcza do:

$$ a = 2g $$

Tak więc trzymając jedną kulę o wadze 3 kg, przykładasz do niej przyspieszenie o wartości 2 USD, a zatem siła, którą przykładasz do piłki, wynosi 2 USD \ razy 3 = 6 USD kg.

W innych słowa siła działająca na mostek, kiedy żonglujesz dwiema piłkami (z minimalną możliwą siłą), jest dokładnie taka sama, jak gdybyś przeszedł przez most trzymając dwie piłki i prawdopodobnie zmokłeś!

Uwielbiam tę klasę problemów jako fantastyczny fizyczny przykład twierdzenia o wartości średniej. Pozwólcie, że opiszę konkretny przypadek, który pasuje do następujących warunków:

• Mężczyzna plus piłki mają łączną wagę $ m $
• Cały system (człowiek + piłki ) zaczyna się w spoczynku i kończy w spoczynku

Na podstawie tych stosunkowo prostych założeń stwierdzę, że średnia siła normalna (siła wywierana przez grunt w górę) jest równa ciężarowi układu . Innymi słowy, dla danego okresu długości $ T $ mamy to:

$$ mg = \ frac {1} {T} \ int_0 ^ T \ vec {F} (t) \ cdot \ vec {n} dt $$

Właściwie jest to spektakularne stwierdzenie. Aby uprościć zapis, weź pod uwagę, że $ \ vec {F} (t) \ cdot \ vec {n} $ jest równe wadze, którą odczytałaby waga (nie jest to złe założenie, w zależności od skali). Wyobraź sobie, że mężczyzna żongluje, stojąc na wadze, a skala odczytuje wartość zależną od czasu, $ w (t) $. Średnia wartość odczytywana przez skalę będzie równa grawitacji pomnożonej przez jego masę, w tym wszystko, co trzyma lub ma na sobie.

W historii mężczyzny idącego przez most żonglującego piłkami, całkowita waga wynosi 201 $ funtów. Na każdą sekundę waży 200 funtów $, spędza jedną sekundę ważąc 202 funty $ lub coś podobnego. Chodzi o to, że średnia wartość jest taka sama .

Odłóż jedną piłkę. Przejdź przez drugą stronę. Wróć, weź drugą piłkę.

Albo przeturlaj dwie piłki w poprzek, a następnie biegnij za nimi.

Lub żongler zdejmuje buty i idzie boso.

Ten problem rozwiązuje się jako „nieliniowe myślenie”, a nie „żonglowanie jest antygrawitacją”. System Ball-Man należy przyspieszać w dół ze średnią 1 funtową siłą lub most pęknie. W przeciwnym razie mógłbyś zbudować perpetuum mobile z dwóch żonglerów na huśtawce, którzy na zmianę żonglują.

(Ponadto bieganie jest jak żonglowanie, ponieważ ciężar przez większość czasu unosi się w powietrzu ... gdyby to zadziałało, możesz po prostu trzymać piłki i biegać.)

Wyobraź sobie dla uproszczenia, że ​​żongler w pewnym momencie się powtarza, tj. żongler i kule (o masie odpowiednio $ M $ i 2 mln $) znajdują się dokładnie w tym samym stanie kinematycznym w momentach $ t_1 $ i $ t_2 $ .

Traktuj człowieka + 2 piłki jako system, a most itp. jako środowisko.

Niech $ p (t) $ będzie (składową pionową) całkowitym pędem systemu.

Drugie prawo Newtona zastosowane do systemu daje:

$$ \ tag {1} \ dot {p} (t) ~ = ~ F_n (t) - F_g, $$

gdzie

$$ \ tag {2} F_g ~ = ~ (M + 2m) g, $$

i gdzie $ F_n (t) $ to normalna siła z mostu, która może zmieniać się w czasie $ t $, gdy żongler wykonuje swoją procedurę. $ ^ 1 $

Ze względu na nasze upraszczające założenie powtarzających się stanów, mamy

$$ \ tag {3} 0 ~ = ~ p (t_2) -p (t_1) ~ = ~ \ int_ {t_1} ^ {t_2} F_n (t) dt - (t_2-t_1) F_g, $$

lub

$$ \ tag {4} F_g ~ = ~ \ frac {1} {t_2-t_1} \ int_ {t_1} ^ {t_2} F_n (t) dt ~ = ~ \ langle F_n \ rangle. $$

Ale jeśli średnia $ \ langle F_n \ rangle $ wynosi $ F_g $, to oczywiście przynajmniej jedna instancja $ t_3 \ w [t_1, t_2] $, musi mieć $ ^ 2 $

$$ \ tag {5} F_n (t_3) \ geq F_g. $$

Innymi słowy, most się zawali.

$ ^ 1 $ Żongler może wykonać każdy ruch, który według niego przyniesie korzyści jego sprawie. To od niego zależy, czy chce skoczyć obiema stopami z mostu, obniżyć środek ciężkości czy spaść. Fizycznie rozsądne wydaje się założenie, że siła normalna $ F_n (t) $ jest odcinkowo ciągłą funkcją czasu $ t \ w [t_1, t_2] $, z tylko skończoną liczbą punktów nieciągłości. W takim przypadku całka $ \ int_ {t_1} ^ {t_2} F_n (t) dt $ może być zdefiniowana za pomocą całki Riemanna bez angażowania bardziej skomplikowanych technicznie Całka Lebesgue'a. (Należy również zauważyć, że twierdzenie o wartości średniej nie ma zastosowania do funkcji nieciągłych, a z matematycznego purystycznego punktu widzenia twierdzenie o wartości średniej nie jest potrzebne, tj. kluczowy ineq. (5) można ustalić z jeszcze bardziej elementarnymi względami).

$ ^ 2 $ Pośredni dowód równania (5): Załóżmy

$$ \ tag {6} \ forall t \ in [t_1, t_2]: ~ F_n (t) ~ < ~ F_g. $$

Następnie

$$ \ tag {7} \ int_ {t_1} ^ {t_2} F_n (t) dt ~ < ~ (t_2-t_1) F_g, $$

jeśli założymy ciągłość odcinkami $ t \ mapsto F_n (t) $. Ale równanie (7) jest niezgodne z równaniem (3). QED.

To zależy od tego, jak długie są jego ramiona !! (i jak długi jest most). Jeśli zacznie na pierwszej pozycji z rękami podniesionymi wysoko i podczas skrzyżowania poda -0,17 G piłkom, to zrobi to. Ups. Zrobiłem źle matematykę w swoim komentarzu.

Poza tym może on zrobić sztuczkę żonglera i! Stopniowo obniżać swój środek ciężkości! gdy przechodzi przez most. Żonglowanie jest opcjonalne i odwraca uwagę od tego, co naprawdę robią. Musi tylko przyspieszyć na G * (1/201), aby most wytrzymał, a nie 201 funtów (195 + 6), ale 200 funtów. Jeśli uda mu się przykucnąć na wysokości 2 stóp, mam 5 sekund na przejście przez most.

  1/2 (0,16 ft / s ^ 2) t ^ 2 = 2 ftt = sqrt [4ft / (0,16 stopy) s ^ 2]  

Uważa, że ​​rozsądne jest założenie: „Cały system (człowiek + piłki) zaczyna się w spoczynku i kończy w spoczynku”. Wtedy możemy całkowicie uniknąć całek i zajmowania się czasem. Na razie weźmy pod uwagę prędkość piłek i udawajmy, że jego ramiona mają nieograniczoną długość. Możemy zapewnić tylko 5 funtów siły na sekundę => przyspieszenie 5/3 g , chociaż można to podzielić na dwie kulki. Piłki są przyspieszane w dół o g każda lub ogólnie 2g . Dlatego całkowite przyspieszenie w dół (prawdopodobnie podzielone między dwie kulki) wynosi g / 3 i nie możemy skończyć z obiema w spoczynku. Jedynym sposobem, w jaki moglibyśmy skończyć z obojgiem w stanie spoczynku, jest pozwolenie nam 6 funtów zamiast 5 funtów (tj. To samo co noszenie).

Myślę, że byłoby to możliwe, gdyby mężczyzna najpierw wyrzucił jedną z piłek w powietrze, zanim wszedł na most. W takim przypadku mężczyzna może początkowo przyłożyć 4 funty siły w górę na jedną piłkę, a następnie stanąć na moście. W tym momencie most utrzymywałby 198 funtów. Mężczyzna może wtedy przyspieszyć drugą piłkę w górę z siłą 4 funtów, zanim druga piłka wyląduje. Oznaczałoby to, że w tym momencie most utrzymywałby 199 funtów. Gdy obie piłki są w powietrzu, most utrzymywałby 195 funtów. Wtedy pierwsza kula wylądowałaby w dłoni mężczyzny, a mężczyzna musiałby przyłożyć 4 funty siły, aby ją spowolnić. Podczas zwalniania most utrzymywałby 199 funtów. Po zwolnieniu most utrzymywałby 198 funtów. Następnie mężczyzna może powtórzyć przyspieszanie piłki w górę z siłą 4 funtów, gdy przechodzi przez most.

Może to być również możliwe, jeśli piłki miały dużą objętość i policzyłeś opór powietrza, w którym gdyby powietrze pomogło wyhamować spadające piłki, ale mężczyzna musiałby wyrzucić jedną z nich w powietrze, zanim wszedł na most.