Podoba mi się, że pytasz o związek tych dwóch podobnych zasad. Jednak zakładasz, że maksymalizację entropii możemy wyprowadzić z minimalizacji energii, a nie sądzę, że możesz: zamiast tego wyprowadziłbym zasadę minimalnej energii z maksymalizacji entropii. Moim zdaniem zasada minimalnej energii jest zasadniczo wynikiem entropii i dopóki nie zrozumiesz entropii, nie zrozumiesz zasady minimalnej energii. Więc moje wyjaśnienie płynie w przeciwnym kierunku niż Ty je rozumiesz.
Dlaczego nie tylko energia?
Mówiąc z grubsza na przykładzie, zasada minimalnej energii sugeruje, że wszystkie cząsteczki powietrza w atmosferze powinny spaść na podłogę i tam pozostać. [Uwaga 1] To jest minimum grawitacyjnej energii potencjalnej, a na pewno minęły lata. Dlaczego jeszcze ich tam nie ma? Oczywiście powinniśmy szukać zasady bardziej ogólnej niż zasada minimalnej energii, której zasada minimalnej energii jest przypadkiem szczególnym. Powietrze pozostające w atmosferze spełniałoby szerszą zasadę, ale nie wymagałoby minimalnej energii.
Mówiąc bardziej miękko z ograniczeniem, zasada minimalnej energii nie może nadawać ostatecznego sensu światu ze względu na ograniczenie, że energia jest zachowywana. Energii nie można stworzyć ani zniszczyć, a jedynie rozprowadzić wokół różnych „stopni swobody” tam, gdzie może żyć. To już sugeruje coś ograniczającego w zakresie zasady minimalnej energii, ponieważ jeśli spojrzymy na wystarczająco duży system, całkowita energia musi być stała: i nie ma stałej minimalizującej. Co takiego jest w energii piłki do koszykówki odbijającej się po boisku, która chce energii, aby ją opuścić? I dlaczego energia do niego nie wraca? Można wskazać, że tarcie działa negatywnie, ale pojawia się problem, że ta energia musi gdzieś iść.
Jak entropia rozwiązuje ten problem
Zasada maksymalnej entropii mówi, że z czasem stajemy się bardziej niepewni co do stanu całego świata. Jeśli nie znamy dokładnie jakiejś liczby, a ta liczba wpływa na inne liczby w dynamicznej ewolucji systemu, to wkrótce nie znamy dokładnie tych innych liczb: więc nasze niepewności mają tendencję do mnożenia się w całym systemie. Dwie cząstki o niepewnym pędzie zderzają się, a ich pęd później jest jeszcze mniej pewny. Nasze wyobrażenie o tym, gdzie znajduje się energia w systemie, staje się coraz mniej dokładne. Ostatecznie energia jest po prostu losowo przepuszczana przez wszystkie stopnie swobody i średnio jest z grubsza równomiernie rozłożona we wszystkich możliwych miejscach (w określonych przypadkach możemy zobaczyć jej trochę więcej tutaj, mniej tam, ale niezbyt strasznie).
Nazywamy ten stan równowagą termiczną. Możemy zmierzyć coś, co nazywa się temperaturą, przez tę średnią energię na każdym stopniu swobody. Cała ta energia we wszystkich tych stopniach swobody nazywana jest zatem energią cieplną. Zwykle możemy to osiągnąć, łącząc dwa systemy o różnych temperaturach i przechwytując część energii przepływającej z cieplejszego do zimniejszego.
Zasada minimalnej energii jest zatem przypadkiem szczególnym. Jest to szczególny przypadek „systemu” kilku dobrze zdefiniowanych stopni swobody, który posiada dużo więcej energii niż temperatura „środowiska” o wielu innych stopniach swobody, z którymi system może dzielić energię. W takim przypadku, gdy stajemy się bardziej niepewni co do lokalizacji energii na świecie, coraz więcej jej powinno znajdować się w środowisku, a mniej w systemie, aż system znajdzie się w równowadze termicznej ze swoim otoczeniem i energia cieplna tego stopnia swobody. Ta temperatura wzrośnie, gdy ta energia zostanie pochłonięta, ale jeśli w środowisku jest dużo stopni swobody, nie musi ona znacznie wzrosnąć. To zależy tylko od sytuacji. W przypadku dużego obiektu, takiego jak piłka nożna tocząca się ze wzgórza, te drgania termiczne mogą łatwo przejść pod obserwacją.
Więc jeśli mamy $ E $ bryłek energii [Note 2] , które możemy rozłożyć na $ N $ stopni swobody, możemy opisać losowy rozkład jako ciąg bitów z $ E $ zerami reprezentującymi jednostki energii i $ N-1 $ te reprezentujące partycje między stopniami swobody, więc 001000100110 oznacza 2 bryły w pierwszym polu, 3 w drugim, 2 w trzeci, 0 w czwartym, 1 w piątym. Liczba sposobów uporządkowania systemu jest następnie podawana przez kombinatorykę jako $$ W = \ frac {(E + N-1)!} {E! (N-1)!} . $$
A więc wyobraź sobie teraz swoją sytuację: masz kilka stopni swobody, które możesz zobaczyć bezpośrednio: powiedzmy, kinetyczną i potencjalną energię odbijającej się piłki do koszykówki. Mają trochę energii, którą po prostu nazywam $ U $ . A potem masz stopnie swobody, których nie możesz zobaczyć bezpośrednio, wszystkie tryby wibracji podłogi i dźwięk w powietrzu, które opisuję powyższym systemem i jego energią $ E $ . Mamy też oszczędność energii: $ U + E $ jest stała. Więc gdy energia opuszcza system $ U $ i tym samym pozostawia naszą pewność i wpływa do tego środowiska, zwiększa to $ E $ .
Teraz, jeśli porównamy $ W (E) $ i $ W (E-1) $ okaże się, że ostatnia bryła energii przepływająca z $ U $ do $ E $ miała efekt pomnożenia $ W $ przez $ W (E) = W (E-1) \ cdot (E + N- 1) /E.$ Możemy to oszacować w przybliżeniu dla zwykłych systemów [Uwaga 3] jako $ \ około 1 + N / E $ span> i my
zmierzyć entropię za pomocą logarytmu $ W $ , więc dodano do $ s = \ ln W $ an ilość $ \ ln (1 + N / E) \ ok. N / E $ , przy założeniu, że typowy stopień swobody ma średnio wiele brył energii.
Powiedzieliśmy, że $ T = E / N $ jest naszą miarą średniej energii na dowolnym stopniu swobody, a teraz widzimy to jako energię $ \ delta E $ opuszcza naszą odbijającą się piłkę, powoduje to wzrost entropii o około $ \ delta s = \ delta E / T $ span>.Zatem zasada minimalnej energii jest szczególnym przypadkiem zasady maksymalnej entropii.Limit obowiązuje, gdy energia w systemie jest znacznie większa niż temperatura dużego zbiornika, z którym może on dzielić energię, $ U \ gg E / N $ , ale tonie zmienia temperatury za bardzo, ponieważ system uwalnia swoją energię, $ U \ ll E. $
Uwagi
Uwaga 1: przybliżoną wysokość atmosfery można oszacować zakładając, że wszystko ma taką samą gęstość $ \ rho $ , jak na ziemi, w której przypadek, gdy kolumna powietrza o tej gęstości wywiera ciśnienie $ P = \ rho ~ g ~ h $ , tak że $ h = P / (\ rho ~ g) $ , co na podstawie gęstości azotu na powierzchni Ziemi daje h ≈ 8 km, co jest z grubsza poprawne; troposfera kończy się na niebie może 9-17 km, a ogromna większość powietrza znajduje się w troposferze - więc jesteśmy oddaleni tylko o współczynnik 2. Gdyby zamiast tego wykonać obliczenia zakładając, że azot stał się ciekłym azotem , okaże się, że liczba ta jest tylko h ≈ 13 m, znacznie cieńsza, zanim zaczną przejmować atrakcje niskotemperaturowe. Intuicyjnie, ten efekt zwany temperaturą jest dużą różnicą między ciekłym i gazowym azotem. Ale jest inny sposób obliczenia tej liczby ~ 8 km, który naprawdę przypieczętowuje sprawę: pamiętaj, że temperatura ma być średnią energią na każdym stopniu swobody? Cóż, energia $ k_ \ text BT $ dla temperatury pokojowej wynosi zwykle około $ k_ \ text BT \ approx25 ~ \ text {meV} $ , milielektronowolty, gdzie elektronowolt to energia, którą elektron zyskuje, jeśli porusza się przez różnicę potencjałów w próżni wynoszącą 1 wolt. Masa atomu azotu wynosi około $ m = 28 ~ \ text {amu} $ , a zatem średnia energia w wysokości stopnia swobody powinna wynosić $ k_ \ text BT = m ~ g ~ h $ , dając rodzaj średniej wysokości ... h ≈ 9 km.
Uwaga 2: To, że teoria entropii Boltzmanna wymaga od nas rozważenia takich rzeczy, jak bryły energii, jest czymś, co spowodowało wiele trudności we wczesnym rozwoju teorii. Potem pojawiła się teoria zwana mechaniką kwantową, która głosiła, że w przypadku rzeczywistych systemów energia naprawdę występuje w postaci bryłek, oszczędzając teorię. Zanim to się stało, w 1905 roku, młody i wówczas nieznany Albert Einstein zauważył, że to naprawdę ma znaczenie, jak duże są grudki, zauważając, że jeśli jest dużo małych grudek, to ich fluktuacje mają tendencję do średnio, ale jeśli jest kilka dużych brył, to ich fluktuacje są bardziej zauważalne. W tym czasie dostarczył również pierwszego przypuszczenia o naprawdę potężnym wyniku w tej statystycznej fizyce zwanej twierdzeniem o fluktuacji-rozpraszaniu, które zasadniczo mówi, że możemy powiązać szybkość, z jaką ta odbijająca się piłka traci energię do jego otoczenie (jego rozpraszanie) z ilością szumu cieplnego, który zaczyna mieć z energii powracającej losowo z otoczenia w drugą stronę (jej fluktuacja).
Uwaga 3: aby podać przybliżoną skalę tego, o czym tutaj mówimy, można sobie wyobrazić, że dla prawdziwego systemu mamy $ N \ około 10 ^ {23} $ podany w przybliżonej skali liczby Avogadro, podczas gdy $ E / N $ może być w zakresie 10 USD ^ 6 $ zakładając częstotliwość fononu w MHz, a energia w Twojej pół-kilogramowej piłce do koszykówki może wynosić $ U \ około 10 ^ {21} $ tych jednostek. Jeśli nie jest to jasne, wpływ pochłaniania całej tej energii kinetycznej koszykówki na temperaturę podłogi jest w przybliżeniu pomijalny, a wibracje termiczne piłki do koszykówki są rzędu, cokolwiek, 10 ^ {- 15} \ text {m} $ lub milionowa część nanometra fluktuacji wysokości: nigdy byś czegoś takiego nie zauważył.