W tym pytaniu jest sporo matematyki tła, więc minie trochę czasu przed puentą.
W mechanice kwantowej nie pracujemy z liczbami, które reprezentują stan system. Zamiast tego używamy wektorów. Na potrzeby prostego wprowadzenia możesz pomyśleć o wektorze jako o liście kilku liczb. Dlatego sama liczba jest wektorem, jeśli pozwolimy, aby długość listy wynosiła jeden. Jeśli długość listy wynosi dwa, to $ (. 6, .8) $ jest wektorem przykładowym.
Operatory to nie rzeczy takie jak plus, minus, mnożenie, dzielenie . Zamiast tego są funkcjami; pobierają jeden wektor i wystawiają inny wektor. Mnożenie nie jest operatorem, ale mnożenie przez dwa tak. Operator działa na wektorze. Na przykład, jeśli operator „pomnóż przez dwa” działa na wektorze $ (. 6, .8) $, otrzymamy $ (1,2, 1,6) $.
Przemienność jest własnością dwóch rozważanych operatorów razem. Nie możemy powiedzieć, że „operator $ A $ jest nieprzemienny”, ponieważ nie porównujemy go z niczym. Zamiast tego możemy powiedzieć „operator $ A $ i operator $ B $ nie dojeżdżają”. Oznacza to, że kolejność, w jakiej je zastosujesz, ma znaczenie.
Na przykład, niech operator $ A $ „zamieni dwie liczby na liście”, a operator $ B $ „odejmie pierwszą od drugiej” . Aby sprawdzić, czy operatorzy dojeżdżają do pracy, bierzemy ogólny wektor $ (a, b) $ i stosujemy operatory w różnych kolejności.
Jako przykład notacji, jeśli zastosujemy operator $ A $ do $ (a, b) $, otrzymamy $ (b, a) $. Można to zapisać $ A (a, b) = (b, a) $.
$$ BA (a, b) = (b, ab) $$
$ $ AB (a, b) = (ba, a) $$
Kiedy zastosujemy operatory w różnych rzędach, otrzymamy inny wynik. Dlatego nie dojeżdżają do pracy. Komutator operatorów jest zdefiniowany przez
$$ \ textrm {commutator} (A, B) = [A, B] = AB - BA $$
To jest nowy operator. Jego wyjście dla danego wektora wejściowego jest definiowane przez wzięcie wektora wejściowego, działanie na nim za pomocą $ B $, następnie działanie na wynik za pomocą $ A $, następnie powrót do pierwotnego wektora i zrobienie tego samego w odwrotnej kolejności, a następnie odjęcie drugi wynik z pierwszego. Jeśli zastosujemy ten operator złożony (to wit: komutator) do $ (a, b) $, otrzymamy (odejmując dwa wcześniejsze wyniki)
$$ (AB - BA) (a, b) = (-a, b) $$
Zatem komutator $ A $ i $ B $ jest operatorem, który mnoży pierwszy wpis przez minus jeden.
Wektor własny operatora to wektor, który pozostaje niezmieniony, gdy działa na niego ten operator, z wyjątkiem tego, że wektor można pomnożyć przez stałą. Wszystko jest wektorem własnym operatora „pomnóż przez dwa”. Wektory własne operatora przełączającego $ A $ to $ \ alpha (1,1) $ i $ \ beta (1, -1) $, przy czym $ \ alpha $ i $ \ beta $ to dowolne liczby. Dla $ (1,1) $ przełączanie wpisów nic nie robi, więc wektor pozostaje niezmieniony. Dla $ (1, -1) $, przełączanie wpisów mnoży się przez minus jeden. Z drugiej strony, jeśli zmienimy wpisy w $ (. 6, .8) $, aby uzyskać $ (. 8, .6) $, nowy wektor i stary nie są wielokrotnościami siebie, więc nie jest to wektor własny. Liczba, przez którą wektor własny jest mnożony przez operatora, nazywana jest jego wartością własną. Wartość własna $ (1, -1) $ wynosi -1 $, przynajmniej jeśli mówimy o operatorze przełączającym.
W mechanice kwantowej nie ma pewności co do stanu, który nie jest wektorem własnym, a co do stanu, który jest wektorem własnym. Wartość własna jest wynikiem fizycznego pomiaru operatora. Na przykład, jeśli operator energii oddziałuje na stan (wektor) bez niepewności co do energii, musimy stwierdzić, że ten stan jest wektorem własnym, a jego wartością własną jest energia stanu. Z drugiej strony, jeśli dokonamy pomiaru energii, gdy układ nie jest w stanie wektora własnego, moglibyśmy otrzymać różne możliwe wyniki i nie można przewidzieć, który to będzie. Otrzymamy wartość własną, ale jest to wartość własna innego stanu, ponieważ nasz stan nie jest wektorem własnym i nawet nie ma wartości własnej. To, która wartość własna otrzymujemy, zależy od przypadku, chociaż prawdopodobieństwa można obliczyć.
Zasada nieoznaczoności stwierdza z grubsza, że operatory nieprzemijające nie mogą jednocześnie mieć zerowej niepewności, ponieważ nie może istnieć wektor, który jest wektor własny obu operatorów. (Właściwie to zobaczymy za chwilę, która nie jest do końca poprawna, ale dociera do sedna sprawy. W rzeczywistości operatory, których komutatory mają zerowymiarową przestrzeń zerową, nie mogą mieć jednoczesnego wektora własnego).
Jedynym wektorem własnym operatora odejmowania $ B $ jest $ \ gamma (0,1) $. Tymczasem jedynymi wektorami własnymi operatora przełączającego $ A $ są $ \ alpha (1,1) $ i $ \ beta (1, -1) $. Nie ma wektorów, które byłyby wektorami własnymi zarówno $ A $, jak i $ B $ w tym samym czasie (z wyjątkiem trywialnego $ (0,0) $), więc gdyby $ A $ i $ B $ reprezentowały fizyczne obserwowalne, nie moglibyśmy być niektóre z nich zarówno $ A $, jak i $ B $ w tym samym czasie. ($ A $ i $ B $ nie są w rzeczywistości fizycznymi obserwowalnymi w QM, wybrałem je tylko jako proste przykłady.)
Chcielibyśmy zobaczyć, że to działa ogólnie - za każdym razem, gdy dwóch operatorów nie dojeżdża do pracy (z pewnymi ograniczeniami), nie mają żadnych jednoczesnych wektorów własnych. Możemy to udowodnić przez zaprzeczenie.
Załóżmy, że $ (a, b) $ jest wektorem własnym $ A $ i $ B $. Następnie $ A (a, b) = \ lambda_a (a, b) $, gdzie $ \ lambda_a $ jest wartością własną. Podobne równanie dotyczy $ B $.
$$ AB (a, b) = \ lambda_a \ lambda_b (a, b) $$
$$ BA (a, b) ) = \ lambda_b \ lambda_a (a, b) $$
Ponieważ $ \ lambda_a $ i $ \ lambda_b $ są po prostu mnożonymi liczbami, dojeżdżają do pracy i te dwie wartości są takie same. Zatem
$$ (AB-BA) (a, b) = (0,0) $$
Więc komutator $ A $ i $ B $ daje zero, gdy działa na ich równoczesny wektor własny. Jednak wiele komutatorów nie może dać zera, gdy działają na niezerowym wektorze. (To właśnie oznacza zerowymiarową przestrzeń zerową, o której wspomniano wcześniej). Na przykład, nasze operatory przełączania i odejmowania miały komutator, który po prostu pomnożył pierwszą liczbę przez minus jeden. Taki komutator nie może dać zera, gdy działa na cokolwiek, co nie jest już zerem, więc nasz przykład $ A $ i $ B $ nie może mieć jednoczesnego wektora własnego, więc nie mogą być jednocześnie pewne, więc istnieje dla nich „zasada nieoznaczoności”.
Jeśli komutator byłby operatorem zerowym, który zamienia wszystko na zero, to nie ma problemu. $ (a, b) $ może być czymkolwiek zechce i nadal spełniać powyższe równanie. Gdyby komutator był czymś, co zamienia niektóre wektory w wektor zerowy, wektory te byłyby kandydatami do stanów zerowej niepewności, ale nie mogę wymyślić żadnych przykładów takiej sytuacji w prawdziwej fizyce.
W mechanice kwantowej najsłynniejszym przykładem zasady nieoznaczoności są operatory położenia i pędu. Ich komutatorem jest tożsamość - operator, który nic nie robi ze stanami. (Właściwie to razy tożsamości $ i \ hbar $.) To oczywiście nie może zmienić niczego na zero, więc pozycja i pęd nie mogą być jednocześnie pewne. Jednakże, ponieważ ich komutator mnoży się przez $ \ hbar $, bardzo małą liczbę w porównaniu do rzeczy codziennych, można uznać, że komutator jest prawie zerowy dla dużych, energicznych obiektów. Dlatego pozycja i pęd mogą być prawie pewne w codziennych sprawach.
Z drugiej strony, operatorzy pędu i energii dojeżdżają do pracy, więc oba te elementy mogą być pewne.
Najbardziej dostępnymi matematycznie operatorami nieprzemieszczającymi się są operatory spinowe, reprezentowane przez macierze spinowe Pauliego. Te dotyczą wektorów z tylko dwoma wpisami. Są nieco bardziej skomplikowane niż operatory $ A $ i $ B $, które opisałem, ale nie wymagają pełnego kursu z matematyki mechaniki kwantowej do zbadania.
W rzeczywistości zasada nieoznaczoności mówi więcej niż napisałem tutaj - zostawiłem części dla uproszczenia. Niepewność stanu można określić ilościowo poprzez odchylenie standardowe rozkładu prawdopodobieństwa dla różnych wartości własnych. Zwykle podaje się pełną zasadę niepewności.
$$ \ Delta A \ Delta B \ geq \ frac {1} {2} \ mid \ langle [A, B] \ rangle \ mid $$
gdzie $ \ Delta A $ jest niepewnością wyniku pomiaru w obserwowalnej związanej z operatorem $ A $, a nawiasy wskazują znalezienie wartości oczekiwanej. Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej na ten temat, jakiś czas temu napisałem notatki, do których masz dostęp tutaj.