Zróbmy to pytanie bardziej operacyjnie, pytając, czy możesz zmienić stan Plutona, wybierając coś tutaj. Jak wspomniano w innych odpowiedziach, Pluton odczuwałby tę samą siłę z powodu twojej masy, nawet gdybyś nie istniał, ponieważ materia, z której się składasz, i tak byłaby obecna na Ziemi. Jednak nadal możesz zdecydować się na określony sposób poruszania się i rozważyć wpływ takiego wyboru na Plutona.
Jeśli się poruszasz, odległość między tobą a Plutonem zmienia się, jeśli odległość zmienia się z $ d $ na $ d + u $, siła ulegnie zmianie. Jeśli $ F (r) $ jest wielkością siły wywieranej przez ciebie na Plutona, to mamy:
$$ \ begin {split} F (d + u) - F (d) & = G M _ {\ text {Pluto}} M _ {\ text {Antonio}} \ left [\ frac {1} {(d + u) ^ 2} - \ frac {1} {d ^ 2} \ right] \\ & \ approx G M _ {\ text {Pluto}} M _ {\ text {Antonio}} \ left (-2 \ frac {u} {d ^ 3} +3 \ frac {u ^ 2} {d ^ 4} \ right) \ end {split} $$
Jak wskazali w komentarzach Dana i SchighSchagha, musimy również wziąć pod uwagę, że Ziemia porusza się w przeciwnym kierunku (w rzeczywistości jest to tylko część Ziemi ponieważ nie można go traktować jako sztywnego obiektu, ale to nie ma znaczenia), środek masy nie zmienia się, podczas gdy zmiana siły wywieranej na Plutona w wyniku wszystkich zmian spowodowanych przez skok jest pierwszego rzędu w $ u $ ze względu na zmianę środka masy. Tak więc, jak zauważył SchighSchagh, nie ma wkładu netto pierwszego rzędu.
Wiodący wpływ na Plutona wynika zatem z członu drugiego rzędu. Udział wynikający z odrzutu Ziemi można następnie zignorować, ponieważ przemieszczenie podniesione do kwadratu pomnożone przez masę Ziemi jest teraz stłumione przez stosunek mas Antonio i Ziemi w stosunku do wkładu Antonio. Mamy więc:
$$ F (d + u) - F (d) \ ok. 3G M _ {\ text {Pluto}} M _ {\ text {Antonio}} \ frac {u ^ 2} {d ^ 4} $$
Aby być precyzyjnym, musimy wziąć pod uwagę, że zmiana siły doświadczanej teraz przez Plutona wynika z wartości $ u $ około 4,5 godziny temu, więc musimy użyć tak zwanej „opóźnionej” wartości zmienna. Załóżmy więc, że Pluton znajdzie się nad głową za 4,5 godziny od teraz i skoczysz na wysokość $ h $. Zmienna $ u $ jako funkcja czasu będzie wówczas dana wzorem:
$$ u (t) = - \ sqrt {2 gh} t + \ frac {1} {2} gt ^ 2 $$
dla $ 0 \ leq t \ leq \ frac {2 \ sqrt {2 gh}} {g} $
Składnik pędu Plutona w kierunku od Ziemi będzie w ten sposób wzrasta w wyniku skoku o:
$$ \ Delta P _ {\ text {Pluto}} = \ frac {3G M _ {\ text {Pluto}} M _ {\ text {Antonio} }} {d ^ 4} \ int_ {0} ^ {\ frac {2 \ sqrt {2 gh}} {g}} \ left (\ sqrt {2 gh} t - \ frac {1} {2} gt ^ 2 \ right) ^ 2dt = \ frac {4G M _ {\ text {Pluto}} M _ {\ text {Antonio}}} {15 \ sqrt {g} d ^ 4} (2h) ^ {\ frac {5} { 2}} $$
Wprowadzenie liczb tutaj daje:
$$ \ Delta P _ {\ text {Pluto}} = 7,9 \ times10 ^ {- 39} \ frac { M _ {\ text {Antonio}}} {60 \ text {kg}} \ left (\ frac {h} {\ text {meter}} \ right) ^ {\ frac {5} {2}} \ text {Ns } $$
Wygląda więc na to, że na Plutona występuje bardzo mały, ale rzeczywisty fizyczny wpływ. Jednak w przypadku przeniesienia bardzo małej ilości pędu stan fizyczny systemu może w rzeczywistości wcale się nie zmienić. Wynika to z faktu, że pęd układu nie ma dokładnej wartości ze względu na mechanikę kwantową. Dobrym przykładem, w którym można zobaczyć ten efekt w działaniu, są pewne warianty eksperymentu z podwójną szczeliną, w którym fotony przechodzące przez szczeliny będą odbijane od luster, zanim uderzą w ekran. Gdyby nadanie pędu zwierciadłom zmieniło fizyczny stan lustra lub reszty wszechświata, to wzór interferencji zniknąłby, ponieważ informacja o ścieżce, którą pokonał foton, w zasadzie będzie istnieć. Ale w takich eksperymentach wzór interferencji pozostaje widoczny, co jest eksperymentalnym dowodem na to, że stan fizyczny reszty Wszechświata w rzeczywistości nie zmienia się pomimo transferu pędu.
Aby sprawdzić, czy ten efekt jest istotny, należy aby dać przybliżony kwantowy opis środka ruchu masy Plutona. Oczywiście, gdyby Pluton znajdował się w stanie własnym pędu, niewielka zmiana pędu spowodowałaby zmianę jego stanu fizycznego, ale oczywiście Pluton nie jest w takim stanie. Dobre przybliżenie uzyskuje się w następujący sposób. Pluton nie jest izolowanym obiektem, pobiera energię ze Słońca, jego powierzchnia ma około 30 K.Możemy więc go zamodelować, zakładając, że wszystkie stopnie swobody Plutona znajdują się w kąpieli termicznej o temperaturze 30 K, a jeden z te stopnie swobody są jego środkiem ciężkości. Dzieje się tak, że z powodu interakcji z kąpielą termiczną, kwantowo-mechaniczna niepewność pędu środka masy jest ograniczona do około:
$$ \ Delta P_ \ text {QM} \ ok \ sqrt {M _ {\ text {Pluto}} k T} = 2.3 \ text {Ns} $$
Tak więc środek masy można przedstawić jako opisywany przez nieznaną funkcję falową, która w przestrzeni pędu ma typową szerokość kilku niutonosekund. Ponieważ jest to znacznie większe niż przeniesiony pęd, stan, w jakim byłby, gdybyś nie wykonał skoku, a stan, w którym się znajduje z powodu skoku, ma nakładanie się prawie identyczne z 1. Aby stan zmienił się jednoznacznie, nakładanie się między dwoma stanami powinno wynosić zero. Jeśli chodzi o prawdopodobieństwo, można powiedzieć, że Pluton nie wykryje, czy skoczyłeś, z prawdopodobieństwem prawie 1.