W kolejności:

1. Ponieważ termin „symetria mierników” poprzedza QFT. Został wymyślony przez Weyla, próbując rozszerzyć ogólną teorię względności. Tworząc GR, można by zacząć od pomysłu, że nie można porównywać wektorów stycznych w różnych punktach czasoprzestrzeni bez określenia równoległego transportu / połączenia; Weyl próbował rozszerzyć to o rozmiar, stąd nazwa „miernik”. We współczesnym języku stworzył klasyczną teorię pola z $ \ mathbb {R} $ - teorią cechowania. Ponieważ $ \ mathbb {R} $ jest lokalnie tym samym, co $ U (1) $, dało to poprawne klasyczne równania ruchu dla elektrodynamiki (tj. Równania Maxwella). Jak omówimy poniżej, na poziomie klasycznym nie ma różnicy między symetrią cechowania a symetriami „rzeczywistymi”.

2. Tak. W rzeczywistości często używaną sztuczką jest wprowadzenie takiej symetrii, aby radzić sobie z ograniczeniami. Szczególnie w przedmiotach takich jak teoria materii skondensowanej, gdzie nic nie jest tak wyjątkowe, by uważać się za fundamentalne, często wprowadza się więcej stopni swobody, a następnie „skleja” je razem z polami cechowania. W szczególności, w teorii silnego sprzężenia / modelu Hubbarda nadprzewodników o wysokim T_c $ jednym ze sposobów radzenia sobie z ograniczeniem, że nie ma więcej niż jednego elektronu na miejsce (bez względu na spin), jest wprowadzenie spinonów (fermionów) i holony (bozony) oraz nieabelowe pole cechowania, tak że w rzeczywistości dynamika niskiej energii jest ograniczona - w ten sposób odtwarzają fizyczny elektron; ale wtedy można pójść i poszukać zdekonfinowanych faz i zapytać, czy są one pomocne. To jest zupełnie inny artykuł przeglądowy sam w sobie. (Warunki Google: „teoria patrick lee gauge high tc”).

3. Musisz rozróżnić siły i pola / stopnie swobody. Siły i tak są w najlepszym razie iluzją. Stopnie swobody naprawdę mają jednak znaczenie. W mechanice kwantowej można bardzo precyzyjnie określić różnicę. Dwa stany $ \ left | a \ right \ rangle $ i $ \ left | b \ right \ rangle $ są „symetryczne”, jeśli istnieje operator unitarny $ U $ s.t. $$ U \ left | a \ right \ rangle = \ left | b \ right \ rangle $$ i $$ \ left \ langle a | A | a \ right \ rangle = \ left \ langle b | A | b \ right \ rangle $$ gdzie $ A $ jest fizycznie obserwowalne. Symetrie "miernika" to te, w przypadku których zdecydowaliśmy się oznaczyć ten sam stan $ \ left | \ psi \ right \ rangle $ jako $ a $ i $ b $. W mechanice klasycznej obie są reprezentowane w taki sam sposób, jak symetrie (dyskretne lub inne) rozmaitości symplektycznej. Tak więc w mechanice klasycznej nie są one oddzielne, ponieważ zarówno symetria rzeczywista, jak i skrajni prowadzą do tych samych równań ruchu; Innymi słowy, w formalizmie integracyjnym ścieżki zauważasz różnicę tylko w przypadku „dużych” transformacji, a lokalnie akcja jest taka sama. Dobrym tego przykładem jest paradoks Gibbsa polegający na obliczaniu entropii mieszania identycznych cząstek - trzeba ręcznie wprowadzić współczynnik $ N! $, Aby uniknąć nadmiernego zliczania - dzieje się tak, ponieważ na poziomie kwantowym zamiana dwóch cząstek jest symetrią miernika. Ta symetria nie ma znaczenia dla struktury lokalnej (mówiąc o geometrii różniczkowej), więc nie można jej obserwować klasycznie.

Ogólna sprawa - kiedy ludzie mówią „teoria cechowania”, często mają na myśli znacznie bardziej ograniczoną wersję tego, o czym była cała ta dyskusja. W przeważającej części oznaczają teorię, w której zmienna konfiguracyjna zawiera połączenie z jakąś rozmaitością. Jest to bardzo ograniczona wersja, ale obejmuje rodzaj, z którym ludzie mają tendencję do pracy, i stąd pochodzą terminy takie jak „lokalna symetria”. Mówiąc jako fizyk materii skondensowanej, zwykle myślę o nich jako o teoriach zamkniętych pętli (ponieważ holonomia wokół pętli jest „niezmienna grubości”) lub, jeśli w grę wchodzą fermiony, o otwartych pętlach. Różne fazy są następnie kondensacją tych pętli itp. (Aby uzyskać odniesienia, spójrz na „kondensację łańcuchów i sieci” w Google).

Wreszcie dyskusja byłaby błędna bez kilku słów o „łamaniu” symetrii wskaźników . Podobnie jak w przypadku prawdziwego łamania symetrii, jest to grzeczna, ale użyteczna fikcja i tak naprawdę odnosi się do faktu, że stan podstawowy nie jest naiwną próżnią. Kluczem jest dojazd do limitów --- jeśli (poprawnie) przyjmuje jako ostatni duży limit systemu (zarówno IR, jak i UV), nie może wystąpić żadne złamanie żadnej symetrii. Jednak warto odręcznie uwzględnić fakt, że różne rzeczywiste symetryczne stany podstawowe znajdują się oddzielnie w różnych sektorach superselekcji, a więc działają ze zredukowaną przestrzenią Hilberta tylko jednego z nich; dla symetrii mierników można ponownie zrobić to samo (ostrożnie) dojeżdżając do pracy nad wyborem z mocowaniem miernika.

(Duża) różnica między teorią cechowania a teorią o jedynie sztywnej symetrii jest precyzyjnie wyrażona przez twierdzenia Noether pierwsze i drugie:

O ile w przypadku sztywnej symetrii prądy odpowiadające generatorom grup są zachowywane tylko w wyniku równań ruchu, to nazywa się to zachowaniem „na powłoce”. W przypadku ciągłej symetrii skrajni prawa zachowania stają się ważne „poza powłoką”, czyli niezależnie od równań ruchu. To implikuje na przykład zachowanie ładunku elektrycznego niezależnie od równania ruchu.

Teraz równania prawa zachowania można w zasadzie zastosować do zmniejszenia liczby pól.

Procedura wygląda następująco:

1. Pracuj nad podprzestrzenią konfiguracji pól spełniających prawa zachowania. Jednak w tej podprzestrzeni nadal będą istnieć szczątkowe symetrie cechowania. Aby się ich pozbyć:

2. Wybierz warunek mocowania miernika dla każdego prawa ochrony.

Zmniejszy to "liczba składowych pola" o dwa dla każdej symetrii miernika. Realizacja tej procedury jest jednak bardzo trudna, ponieważ w rzeczywistości wymaga rozwiązania praw zachowania, a ponadto zmniejszenie przestrzeni konfiguracji pola jest bardzo skomplikowane. powód, dla którego ta procedura jest rzadko wdrażana i używane są inne techniki, takie jak BRST.

1) Dlaczego nazywa się to symetrią, jeśli nie jest symetrią? a co z twierdzeniem Noether w tym przypadku? oraz grupy cechowania U (1) ... itd.?

Symetria cechowania jest lokalną symetrią w KLASYCZNEJ teorii pola. Może to oznaczać, że ludzie nazywają symetrię mierników symetrią lokalną. Wiemy jednak, że nasz świat jest kwantowy. W systemach kwantowych symetria cechowania nie jest symetrią, w tym sensie, że transformacja cechowania nie zmienia żadnego stanu kwantowego i jest transformacją bez efektu. Twierdzenie Noether jest pojęciem teorii klasycznej. Teoria cechowania kwantowego (opisana przez fizyczną przestrzeń Hilberta i Hamiltona) nie ma twierdzenia Noether.

Ponieważ symetria cechowania nie jest symetrią, grupa cechowania nie znaczy zbyt wiele, w tym sensie, że dwie różne grupy cechowania mogą czasami opisać tę samą teorię fizyczną. Na przykład teoria cechowania $ Z_2 $ jest odpowiednikiem następującej teorii cechowania $ U (1) \ times U (1) $ Cherna-Simonsa:

$$ \ frac {K_ {IJ}} {4 \ pi} a_ {I, \ mu} \ części_ \ nu a_ {J, \ lambda} \ epsilon ^ {\ mu \ nu \ lambda} $$ z $$ K = \ left (\ begin {array} [cc] \\ 0& 2 \\ 2& 0 \\ \ end {array} \ right) $$ in (2 + 1) D.

Ponieważ transformacja cechowania jest transformacją typu „nic nie rób”, a grupa cechowania jest niefizyczna, lepiej jest opisać teorię cechowania bez używania grupy cechowania i związanej z nią transformacji cechowania. Udało się to osiągnąć dzięki teorii sieci strun. Chociaż teoria sieci strun jest rozwijana w celu opisania porządku topologicznego, może być również postrzegana jako opis teorii cechowania bez stosowania grupy cechowania.

Badanie porządku topologicznego (lub splątania dalekiego zasięgu) pokazuje, że jeśli model bozonowy ma splątany stan podstawowy o dużym zasięgu, więc teoria efektywnej energii niskiej musi być jakąś teorią cechowania. Zatem teoria niskiego wskaźnika efektywności energetycznej jest w rzeczywistości odzwierciedleniem splątań dalekiego zasięgu w stanie podstawowym.

Tak więc w fizyce materii skondensowanej teoria cechowania nie jest związana z geometrią ani krzywizną. Teoria cechowania jest bezpośrednio związana i jest konsekwencją splątania dalekiego zasięgu w stanie podstawowym. Może więc teoria cechowania w naszej próżni jest również bezpośrednim odzwierciedleniem splątań dalekiego zasięgu w próżni.

2) Czy to w zasadzie oznacza, że można ocenić każdą teorię (po prostu wprowadzając odpowiednie fałszywe stopnie swobody)?

Tak, każdą teorię można przepisać na teorię cechowania dowolnej grupy cechowania. Jednak taka teoria cechowania znajduje się zwykle w fazie zamkniętej, a efektywna teoria przy niskiej energii nie jest teorią cechowania.

Zobacz także powiązaną dyskusję: Zrozumieć twierdzenie Elitzura z prostego argumentu Polyakova?

Mówiąc o symetrii, należy zawsze wskazać: symetrię czego?

Jeśli mierzę długość kija w calach, a następnie w centymetrach, czyli w różnych grubościach, to otrzymam dwie różne odpowiedzi , chociaż kij jest taki sam w obu przypadkach. Podobnie, gdy mierzę fazę fali sinusoidalnej za pomocą dwóch zegarów, które mają różne fazy, otrzymuję dwie różne fazy i przesunięcia fazowe z grupy U (1). W pierwszym przykładzie drążek jest niezmienny przy zmianie grubości z centymetrów na cale, ale nie ma to nic wspólnego z fizyczną symetrią drążka. Twierdzenie Noether dotyczy symetrii Lagrangianu. Na przykład. jeśli Lagrangian ma symetrię sferyczną, to zachowany zostaje całkowity moment pędu. Twierdzenie Noether oczywiście odnosi się również do układów kwantowych. Zmiana miernika nie jest fizyczną transformacją, to wszystko. W kwantowej teorii pola zaczyna się od prostego Lagrangianu (np. Diraca Lagrangianu), a następnie zmienia się go tak, aby stał się niezmienniczy przy lokalnych zmianach cechowania, tj. Następnie zmienia się pochodną równania Diraca na D, które ma „pole cechowania” w tym: aby brzmiało to zagadkowo, mówi się, że „lokalna niezmienność wskaźników wygenerowała pole miernika”, chociaż nie jest to prawdą. Narzucenie niezmienniczości lokalnej miernika po prostu nakłada ograniczenie na to, jakiego rodzaju lagranżjan można zapisać. Jest to podobne do wymagania, aby funkcja F (z) była analityczna na płaszczyźnie zespolonej, ale ma to również poważne konsekwencje.

Symetria cechowania narzuca lokalne prawa zachowania, które w QED i tożsamościach Slavnova-Taylora nazywane są Tożsamościami Warda dla teorii cechowania nieabelowego. Tożsamości te odnoszą się do amplitud lub je ograniczają.

Przykładem tych ograniczeń narzuconych przez symetrię cechowania jest poprzeczność polaryzacji próżni. Mówiąc dokładniej, symetria cechowania nie pozwala na określenie masy dla fotonu na lagranżianie. Jednak może to się rozwinąć w wyniku fluktuacji kwantowych. Nie dzieje się tak z powodu tożsamości Warda, która narzuca poprzeczność polaryzacji próżni fotonów. Innym przykładem jest relacja między propagatorem fermionów a podstawowym wierzchołkiem w QED. Gwarantuje brak podłużnych fotonów.

Idea jest taka, że ​​symetria cechowania narzuca swego rodzaju twierdzenie Noether, ale w znacznie bardziej wyrafinowany sposób. Pojawia się na poziomie poprawek kwantowych i ogranicza je. Ponadto relacje te mają charakter lokalny. Stają się rodzajem lokalnej wersji twierdzenia Noether.