Pytanie:
Czy moglibyśmy bezpiecznie wysłać człowieka na Księżyc w rakiecie bez znajomości ogólnej teorii względności?
Dargscisyhp
2015-03-18 05:26:12 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Zastanawiam się, czy możliwe jest wysłanie człowieka na Księżyc przy użyciu równań zgodnych z grawitacją Newtona i bez skomplikowanych narzędzi grawitacji Einsteina. Czy przewidywania grawitacji Newtona są wystarczająco precyzyjne, aby zaplanować udaną podróż? Jeśli nie, to gdzie zawiodłyby równania Newtona i jak grawitacja Einsteina koryguje te deficyty?

Komentarze nie służą do rozszerzonej dyskusji;ta rozmowa została [przeniesiona do czatu] (http://chat.stackexchange.com/rooms/22289/discussion-on-question-by-dargscisyhp-could-we-send-a-man-safely-to-the-Moon-in).
Sześć odpowiedzi:
#1
+96
John Rennie
2015-03-18 15:27:49 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Kłopot z mechaniką orbitalną polega na tym, że szybko staje się ona niezwykle skomplikowana i trudna do zrozumienia intuicyjnie. Uważam jednak, że istnieje dość prosty sposób pokazania, jak niewielki wpływ ma GR na orbitę transferową Ziemia-Księżyc. Ale to wymaga trochę przygotowań, więc proszę o cierpliwość, a ja daję krótkie wprowadzenie.

Mam nadzieję, że każdy, kto czyta tę stronę, będzie wiedział, że energia potencjalna grawitacji jest określona przez prawo Newtona:

$$ V (r) = - \ frac {GMm} {r} $$

Grawitacyjna energia potencjalna jest spowodowana przyciągającą siłą grawitacji, ale dla obiektu na orbicie istnieje również (fikcyjna) siła odśrodkowa siła wypychająca go na zewnątrz. Jeśli obliczymy energię potencjalną związaną z siłą odśrodkową i dodamy ją do grawitacyjnej energii potencjalnej, otrzymamy efektywną energię potencjalną:

$$ V_ {eff} (r) = - \ frac {GMm} { r} + \ frac {L ^ 2} {2mr ^ 2} \ tag {1} $$

gdzie $ L $ jest momentem pędu, który jest stałą dla obiektu na orbicie (ponieważ moment pędu jest zachowany w polu centralnym). Jeśli obliczymy $ V_ {eff} $ dla obiektu na orbicie transferowej Ziemia-Księżyc, otrzymamy następujący wykres:

Effective potential

Stabilna orbita kołowa znajduje się na minimum potencjału, tj. na około 384 400 km, co jest uspokajające, ponieważ jest to odległość Ziemia-Księżyc. Jak dotąd dobrze.

Ale kiedy uwzględnimy efekty Ogólnej Teorii Względności, okazuje się, że modyfikuje ona równanie na efektywny potencjał. Szczegóły podano w artykule Wikipedii na temat geodezji Schwarzschilda, ale pomińmy szczegóły i podajmy po prostu równanie na $ V_ {eff} $, w tym efekty relatywistyczne:

$$ V_ {eff} (r) = - \ frac {GMm} {r} + \ frac {L ^ 2} {2mr ^ 2} - \ frac {GML ^ 2} {c ^ 2mr ^ 3} \ tag {2} $ $

Zatem uwzględnienie efektów relatywistycznych po prostu dodaje trzeci człon do $ r ^ {- 3} $.

Teraz obliczamy pozycję stabilnej orbity, znajdując minimum $ V_ {eff} $, tj. obliczamy $ dV / dr $, ustawiamy na zero i rozwiązujemy otrzymane równanie na $ r $. Robiąc to dla potencjału Newtona (1) otrzymujemy:

$$ r = \ frac {L ^ 2} {GMm ^ 2} \ tag {3} $$

Znalezienie minimum relatywistycznego wyrażenia (2) jest trochę bardziej skomplikowane, ponieważ otrzymujemy kwadrat do rozwiązania, ale trochę zabawy kończy się:

$$ r = \ frac {L ^ 2} {2GMm ^ 2} \ left (1 + \ sqrt {1 - \ frac {12G ^ 2M ^ 2m ^ 2} {L ^ 2c ^ 2}} \ right) $$

i możemy oszacować pierwiastek kwadratowy używając twierdzenia dwumianowego, aby uzyskać:

$$ \ begin {align} r & \ approx \ frac {L ^ 2} {2GMm ^ 2} \ left (1 + 1 - \ frac { 6G ^ 2M ^ 2m ^ 2} {L ^ 2c ^ 2} \ right) \\ & \ approx \ frac {L ^ 2} {GMm ^ 2} - \ frac {3GM} {c ^ 2} \ tag {4 } \ end {align} $$

Porównując nasze obliczone odległości Newtona (3) i relatywistyczne (4), okazuje się, że różnica między nimi jest następująca:

$$ \ Delta r \ około \ frac {3GM} {c ^ 2} \ około 1.3 \ text {cm} $$

Więc to jest różnica, uwzględniając ogólną teorię względności, na obliczonej orbicie transferowej Ziemia-Księżyc - około 1,3 cm!

Czy obliczenia kończą się niepowodzeniem na 5 cm?NIGDY!Stawką jest duma inżynierów!
Nie mogę znaleźć żadnej dokumentacji NASA, ale Frank Borman wyraźnie mówi, że przypomina sobie, że błąd ostatniej pozycji Apollo 8 po wstawieniu na orbitę księżycową był „około półtorej mili od miejsca, w którym powinniśmy być” - cytuje to w wywiadach z Apollo 8oraz materiał filmowy z filmu „When We Left Earth”.To ładnie uzupełnia twoją odpowiedź: rzeczywiste błędy pozycji były o 4 do 5 rzędów wielkości większe niż efekt GR.
@WetSavannaAnimalakaRodVance - Ten błąd, o którym wspomniałeś, bardzo zaniepokoił NASA.Utworzyli wiele zespołów tygrysów, aby to zbadać.Okazało się, że ten błąd ~ 2 km był głównie wynikiem pięciu dużych masconów (koncentracji mas) po bliskiej stronie Księżyca.Po poprawieniu tych maskonów Apollo 12 wylądował w odległości ~ 160 metrów od zamierzonego celu.
Jeśli chodzi o te maskony, [artykuł „Bizarre Lunar Orbits” na nasa.gov] (http://science.nasa.gov/science-news/science-at-nasa/2006/06nov_loworbit/) stanowi ciekawą lekturę.
@DavidHammen To ciekawa lektura - nie miałem pojęcia, że Księżyc jest tak nierówny.Z artykułu „Astronauta w pełnym skafandrze kosmicznym i sprzęcie podtrzymującym życie, którego księżycowa waga wynosiła dokładnie 50 funtów na krawędzi maski, ważyłby 50 funtów i 4 uncje, stojąc w środku maski”
Przypuszczam, że _specjalna teoria względności_ zrównoważyłaby część różnicy, przypuszczam, że będzie to około 10-20%, biorąc pod uwagę prędkość TLI powyżej 10 km / s.
@DavidHammen - czy mogą istnieć [zakopane monlity] (https://en.wikipedia.org/wiki/Monolith_ (Space_Odyssey))?
@DavidHammen Czy masz jakieś odniesienia opisujące reakcję NASA na błąd 2 km na orbicie Apollo 8?Byłoby ciekawie przeczytać więcej na ten temat!
#2
+60
David Hammen
2015-03-19 00:32:33 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Laboratorium Napędów Odrzutowych włączało ogólne efekty relatywistyczne do numerycznej integracji planet od połowy do późnych lat sześćdziesiątych XX wieku. Na przykład efemeryda JPL DE19, wydana w 1967 roku, zawierała efekty relatywistyczne w swoim modelowaniu Układu Słonecznego.

To niewiele pomogło. Gdyby zignorowali efekty relatywistyczne, efekt byłby niewielki. Błędy w tych starszych efemerydach JPL narosły szybko, degradując się do bezużyteczności w ciągu zaledwie kilku lat. Większość tych błędów wynikała z wyjątkowo kiepskich możliwości obliczeniowych (twój laptop / komputer domowy jest znacznie mocniejszy niż największy superkomputer z 1960 r.) I raczej kiepskich pomiarów (JPL Deep Space Network była jeszcze w powijakach).

Inne części NASA, w tym inne części JPL, nie włączyły efektów relatywistycznych do propagacji swojego statku kosmicznego. Nie było sensu. W latach sześćdziesiątych NASA model pola grawitacyjnego Ziemi był modelem harmonicznych sferycznych 4x4, a Księżyca prostym modelem sferycznej grawitacji. (Porównaj to z modelem grawitacji Ziemi 2159x2159 EGM2008 i modelem grawitacji księżycowej 900x900 GRGM900C). Błędy wywołane przez te znane ograniczenia przyćmiewają błąd, nie modelując tych niewielkich efektów relatywistycznych.

W 1968 roku NASA była dość wstrząśnięci 2-kilometrowymi błędami, które widzieli w swoich sondach księżycowych i podczas lotu Apollo 8 w 1968 roku. To było coś, czego NASA ścigała. Okazuje się, że bliższa strona Księżyca ma pięć dużych stężeń mas, które kpią z tego prostego sferycznego modelu grawitacji. Warto było rozwiązać ten problem.

Nie modelujesz efektów relatywistycznych? W wielu przypadkach nadal nie warto tego poprawiać. Do niedawna byłem głównym architektem większości oprogramowania do mechaniki orbitalnej używanego w NASA Johnson Space Center. Każdego roku prosiłem o możliwość dodawania efektów relatywistycznych do naszych obliczeń grawitacyjnych. Prośba ta była co roku odrzucana. Zapytałem, ponieważ chciałem go umieścić, a nie dlatego, że jest to ważne dla modelowania zachowania statku kosmicznego.

Ogólna teoria względności ma niewielki, niewielki wpływ na statek kosmiczny. Nie są wystarczająco długo, aby zobaczyć błędy wynikające z ignorowania tych efektów, aby rosnąć. Ignorowanie efektów relatywistycznych wywołuje niewielki, malutki błąd w stanie propagacji, który jest całkowicie zalany innymi błędami. Na przykład w przypadku pojazdu poruszającego się po niskiej orbicie okołoziemskiej niepewności w górnych warstwach atmosfery Ziemi są ogromne. Wystarczy niewielki rozbłysk słoneczny, aby górna atmosfera Ziemi puchła jak balon. Nie ma sensu modelować efektów relatywistycznych, gdy opór jest o kilka rzędów wielkości wyższy i kiedy masz szczęście znać opór do dwóch miejsc dokładności.

W przypadku pojazdu lecącego na Księżyc lub w inny planecie, błędy w systemach naprowadzania, nawigacji i kontroli po raz kolejny przytłaczają skutki ignorowania teorii względności. Błędy te, wraz z innymi, muszą zostać poprawione, aby statek kosmiczny nie minął celu. Każdy statek kosmiczny lecący do jakiegoś innego ciała Układu Słonecznego musi po drodze dokonać co najmniej jednej korekty kursu środkowego. W najgorszym przypadku ignorowanie efektów relatywistycznych oznacza po prostu konieczność wniesienia odrobiny dodatkowego paliwa dla tych korekt w środku kursu.

Wydaje się, że PO zbyt pochopnie zaakceptował pierwszy post.
Wow, co za ciekawa perspektywa.Dziękuję za Twoją odpowiedź.
Czy stężenia mas na Księżycu rzeczywiście wpłynęły na trajektorię Apollo?Zgodnie z wcześniejszymi komentarzami, efekt masy był około ~ 0,1% różnicy masy w różnych częściach ** powierzchni Księżyca **.Nie widzę, jak wpłynęłoby to na trajektorię obiektu zbliżającego się z 300 000 km w przestrzeni.
@ropata - Tak, zrobili.Oprogramowanie nawigacyjne na pokładzie dowolnego statku kosmicznego wykorzystuje akcelerometry do wykrywania przyspieszenia.Akcelerometry nie wyczuwają grawitacji.Żaden czujnik nie może.Zamiast tego pokładowe oprogramowanie nawigacyjne oblicza przyspieszenie spowodowane grawitacją przy użyciu modeli ciał grawitacyjnych.Nazywa się to dead reckoning (skrót od deduced reckoning, ale także martwy, ponieważ poleganie tylko na dead reckoning oznacza, że statek kosmiczny wkrótce będzie martwy) i powoduje błędy nawigacji, jeśli model jest nieprawidłowy.Model jest zawsze zły.W przypadku przyjęcia sferycznego Księżyca model był bardzo błędny.
„Dead reckoning” było używane przez co najmniej dwieście lat, zanim doszło do wyjaśnienia, że jest ono skrótem od „deduct”.Bardziej prawdopodobne jest to, w przeciwieństwie do ciągłych „żywych” danych, które mamy w używaniu nawigacji gwiezdnej (jest to sytuacja, w której ludzie nawigują raczej przez ciała niebieskie niż przez nie), ponieważ zliczanie martwe było używane, gdy było to niedostępne.Pierwsze potwierdzone użycie wskazuje na kontrast;„Trzymając się prawdziwego, a nie martwego rachunku swojego kursu.” - Mark Ridley, * A short tratise of magnetic all body and movement *, 1613.
@JonHanna Między około 1400 a 1600 rokiem mamy przykłady słowa „martwy” oznaczającego „całkowicie” lub „absolutnie” lub „całkowicie”, więc twoje użycie 1613 może oznaczać po prostu „całkowicie przez obliczenia” (liczenie), w przeciwieństwie do pobierania nowych danychdeska.Inna możliwość to „martwa” odnosi się do stojącej wody lub stałego obiektu: martwe rachunki nie uwzględniają strumieni i przypływów w wodzie.Wydawało mi się, że widziałem „dede rekenyng” w Chaucerze, ale mogę się mylić z „trewe rekenyng” (co on mówi wielokrotnie).Nie pojawia się w Google.
Na marginesie: kilka miesięcy temu urzędnik odpowiedzialny za pakiet dynamiki orbitalnej, o którym wspomniałem w mojej odpowiedzi, powiedział: „Hammen, nie musisz składać corocznej głupiej prośby, aby tym razem poprawić relatywistycznie JEOD.
#3
+27
orion
2015-03-18 16:31:24 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Kilka testów poczytalności bez obliczania czegokolwiek:

Po pierwsze, błąd spowodowany zaniedbaniem ogólnej teorii względności jest tak mały, że nie wpłynął na przewidywanie zaćmień Księżyca i nie został zauważony nigdzie poza Orbita Merkurego (przynajmniej nie wcześniej, dopóki nie stworzyli specjalnych eksperymentów w celu wykrycia drobnych rozbieżności). Wiem, że to nie daje w pełni satysfakcjonującej odpowiedzi, ale księżyc i nasze rakiety podlegają tym samym prawom fizycznym i jeśli mechanika Keplera jest wystarczająco dobra dla księżyca, to jest wystarczająco dobra dla rakiety.

Po drugie, precyzja siły ciągu i czasu trwania rakiety, zwłaszcza pół wieku temu, była ograniczona. Precyzja w inżynierii maszyn brutalnych (do której zdecydowanie kwalifikuje się rakieta spalająca paliwo stałe) jest optymistycznie około trzech miejsc po przecinku, co jest znacznie gorsze niż precyzja, z jaką dynamika Newtona została zweryfikowana eksperymentalnie. / p>

Po trzecie, podczas lotu dokonywane są korekty kursu, aby skorygować trajektorię i dotrzeć do właściwego miejsca docelowego. Nie polegamy więc na niezwykle precyzyjnym uruchomieniu, aby wyeliminować nagromadzenie błędów.

Krótko mówiąc, ogólne efekty teorii względności są całkowicie przyćmione przez niedoskonałości maszyn z twardego metalu, źle odmierzone ilości paliwa, zanieczyszczenia paliwa, spalanie nieregularności, turbulencje i ogólna aerodynamika atmosfery podczas startu, niedokładnie określona masa ładunku, kupka ptaków na przedniej szybie i tak dalej. Biorąc pod uwagę, że przybyliśmy na Księżyc z technologią steampunk, ogólną teorię względności można bezpiecznie zignorować podczas podróży kosmicznych, przynajmniej jeśli jesteś wystarczająco daleko od gwiazdy.

To oczywiście nie oznacza, że ​​ogólna teoria względności nie jest zauważalna gdzie indziej. Z pewnością ma to wpływ na GPS, a nasze pomiary czasu są również wystarczająco dokładne, aby wykryć różnicę w czasie, jeśli wspinasz się na górę i wracasz w dół.

Nie wydaje mi się, żeby para.1 kumuluje się.Starożytni mogli przewidywać zaćmienia, a wszystko, co robili (i Newtonowie), to wstawianie korektora, który nie jest bez znaczenia.
Chodzi o to, że w mechanice Newtona składnik korygujący * nie był potrzebny *, co pokazuje, że w tej skali prędkości i odległości wszystko dobrze się układa.W każdym razie był to tylko argument oparty na zdrowym rozsądku - obliczenia zostały wykonane w innych odpowiedziach.
@RobJeffries: To znaczy, możemy trzymać się czynnika empirycznego bez znajomości ogólnej teorii względności.To samo w sobie odpowiada na pierwotne pytanie - tak, mogliśmy mieć.
@MSalters Przewidywanie cyklicznego zjawiska z dowolnymi poprawkami to nie ten sam problem, co wysłanie rakiety na Księżyc.Ale wydaje się, że wszyscy zgadzamy się, że pracę można wykonać bez GR.
+1 Zgadzam się z Robem, że twój pierwszy punkt nie jest * w zasadzie * rozsądnym argumentem;błędy obserwacyjne były znacznie większe niż ludzkie skale.Jednak Twoje drugie i trzecie punkty są naprawdę ważne i stanowią wspaniały dodatek do rozmowy.Dobrze jest mieć solidne pojęcie o teorii fundamentalnej, ale gdy pytanie dotyczy tego, co jest możliwe, ważniejsza jest wiedza praktyczna.Nawet gdyby GR były znacznie silniejsze i całkowicie nieznane, pętla sterowania mogłaby łatwo wyjaśnić jej skutki.
O trzecim akapicie (tym zaczynającym się od „Drugiego”), gdzie podczas misji Apollo używali paliw stałych?Wydaje mi się, że poza możliwym * uruchomieniem * silników pierwszego stopnia, o których gdzieś przeczytałem, wykonano mały ładunek wybuchowy, wszystkie silniki wykorzystywały różnego rodzaju paliwa ciekłe.Dopalacze na paliwo stałe mają tę paskudną właściwość, że są nieco temperamentne, jeśli spróbujesz je wyłączyć, zanim całe paliwo zostanie zużyte ... (Uwaga: zgadzam się z sentymentem stwierdzenia, ale ten szczegół mnie dezorientuje).
#4
+26
Rob Jeffries
2015-03-18 13:00:02 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Zacznę od tego. Moja wiedza GR prawdopodobnie nie jest wystarczająco dobra, aby uczynić tę odpowiedź naprawdę satysfakcjonującą ...

Przyspieszenie grawitacyjne obiektu poruszającego się promieniście z prędkościami nierelatywistycznymi w metryki Schwarzschilda jest modyfikowane przez współczynnik $ (1 - r_s / r) (3 [1-r_s / r] -2) $, gdzie $ r_s = 2GM / c ^ 2 = 0,00885 m $ dla Ziemi.

Jeśli weźmiemy niską Ziemię orbicie kilkuset kilometrów współczynnik wynosi 0,999999995 $. Gdzieś pomiędzy Ziemią a Księżycem jest to 0,9999999998 $.

Więc jeśli zrobisz coś głupiego, na przykład używając jednolitego równania przyspieszenia przez 3 dni, to wynikająca (radialna) niedokładność pozycji pochodzi z pola grawitacyjnego razy $ t ^ 2 $ pomnożone przez powyższe współczynniki. Myślę, że drugi czynnik jest bardziej realistyczny, ponieważ większość czasu spędzono między Ziemią a Księżycem. Pole grawitacyjne jest tutaj rzędu 0,02 m / s $ ^ 2 $, co daje błąd pozycji rzędu wielkości po 3 dniach lotu na 0,3 metra lub nieco większy, jeśli więcej czasu spędza się w silniejszym polu grawitacyjnym.

Wydaje mi się, że stycznie możemy obliczyć rząd wielkości, używając metrycznej dylatacji czasu Schwarzschilda dla Ziemi na orbicie Księżyca. W pierwszej kolejności zegar na Księżycu działa szybciej niż zegar na powierzchni Ziemi w tempie $ (1- r_s / r) ^ {- 1/2} $, gdzie $ r \ sim 6,400 \ km $. Pomnożenie tego przez 3 dni prowadzi do czasowego błędu wynoszącego 0,2 milisekundy, w którym to czasie Księżyc przesunął się (względem Ziemi) o około 0,2 metra.

Więc te niezwykle przybliżone obliczenia wydają się wskazywać, że GR nie ma się czym martwić. Ale jestem pewien, że ktoś może wykonać dokładniejszą pracę. W każdym razie nie sądzę, aby przesłanka tego pytania była słuszna, ponieważ korekty lotu w tranzycie i na orbicie mogły i zostały wykonane (kilka razy) podczas lotów Apollo.

Nie mogę znaleźć żadnej dokumentacji NASA, ale Frank Borman wyraźnie mówi, że przypomina sobie, że błąd ostatniej pozycji Apollo 8 po wstawieniu na orbitę księżycową był „około półtorej mili od miejsca, w którym powinniśmy być” - cytuje to w wywiadach z Apollo 8oraz materiał filmowy z filmu „When We Left Earth”.To ładnie uzupełnia twoją odpowiedź: rzeczywiste błędy pozycji były o 4 rzędy wielkości większe niż efekt GR.
#5
+5
Russell Borogove
2015-03-19 01:20:13 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Weź pod uwagę, że nie byłoby szczególnie trudne lądowanie typu Apollo, gdyby każdy z twoich pomiarów prędkości względnej, zasięgu i kąta był odchylony o +/- 5%.

Możesz po prostu zrobić małe iteracyjne poprawki po drodze, aż wartości bezwzględne były na tyle małe, że względne błędy stały się nieistotne. W najgorszym przypadku musiałbyś mieć nieco większy margines bezpieczeństwa w paliwie.

W rzeczy samej.Gdyby obliczenia były błędne i nie miałeś * pojęcia * dlaczego, to byś zrobił.NASA stanęła przed tym problemem w 1968 roku (patrz odpowiedź Davida Hammen'a), więc ...
#6
  0
William Lara
2015-03-19 10:39:04 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Absolutnie moglibyśmy, i faktycznie mocno podejrzewam, że Ogólna Teoria Względności nigdy nie była używana w programie Apollo. po pierwsze, pokładowe komputery nawigacyjne nie były wystarczająco mocne, aby wykonać jakiekolwiek użyteczne obliczenia z GR.

z drugiej strony możliwe jest zmierzenie pozycji księżyca z dokładnością do kilku centymetrów (znacznie dokładniejsze niż jest to konieczne, aby bezpiecznie dotrzeć tam statek kosmiczny) i na pewno konieczne jest użycie GR do modelowania tego dane dokładnie.

Ale gdybyśmy nie dostali człowieka na Księżyc (bez uwzględnienia GR), dobre pomiary pozycji nie byłyby w ogóle możliwe (używasz retroreflektora, prawda?)


To pytanie i odpowiedź zostało automatycznie przetłumaczone z języka angielskiego.Oryginalna treść jest dostępna na stackexchange, za co dziękujemy za licencję cc by-sa 3.0, w ramach której jest rozpowszechniana.
Loading...