Pytanie:
Czy broń wywiera wystarczającą grawitację na wystrzeloną kulę, aby ją zatrzymać?
JadaLovelace
2015-09-11 16:18:34 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Moje pytanie dotyczy następującej sytuacji:

  • Masz całkowicie pusty wszechświat bez granic.
  • W tym wszechświecie jest jedna broń, która trzyma jedną kulę.
  • Pistolet wystrzeliwuje pocisk, a odrzut powoduje, że oba lecą w przeciwnych kierunkach.

Dla uproszczenia wezmę inercyjny układ odniesienia działa. Pistolet wystrzelił pocisk ze środka masy, aby się nie obracał. Mamy teraz pocisk odlatujący z pistoletu. Nie ma tarcia. Jedyną rzeczą w tym wszechświecie, która wywiera grawitację, jest broń i kula.

Czy, biorąc pod uwagę wystarczająco dużo czasu, kula spadłaby z powrotem na broń? A może jest jakiś limit odległości, jaką może osiągnąć grawitacja?

Komentarze nie służą do rozszerzonej dyskusji;ta rozmowa została [przeniesiona do czatu] (http://chat.stackexchange.com/rooms/29141/discussion-on-question-by-enzolima-does-a-gun-exert-enough-gravity-on-the-pocisk).
Cóż, sferyczny wszechświat nie ma granic.Więc technicznie (w bardzo źle zinterpretowany sposób) tak, wybierając kulę lub wszechświat z pączków, odzyskujesz kulę.
Pięć odpowiedzi:
#1
+102
John Duffield
2015-09-11 17:35:29 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Czy broń wywiera wystarczającą grawitację na wystrzeloną kulę, aby ją zatrzymać?

Nie.

Czy, biorąc pod uwagę wystarczająco dużo czasu, kula spadłaby z powrotem do pistoletu?

No.

A może istnieje limit odległości, jaką może osiągnąć grawitacja?

Nie.

Ale prędkość pocisku przekracza prędkość ucieczki. Zajrzyj do Wikipedii, gdzie możesz przeczytać, że prędkość ucieczki dla danej odległości jest obliczana według wzoru

$$ v_e = \ sqrt {\ frac {2GM} {r}} $$

Wyobraź sobie, że grasz w ten scenariusz w odwrotnej kolejności. Masz kulę i broń, oddalone o miliony lat świetlnych, nieruchome w stosunku do innych. Patrzysz i czekasz, a po miliardach lat zauważasz, że zbliżają się do siebie dzięki grawitacji. (Dla uproszczenia powiemy, że broń jest nieruchoma, a kula spada w jej kierunku). Po kolejnych miliardach lat śledziłeś pocisk aż do działa i zauważyłeś, że zderzają się z prędkością 0,001 m / s. Sprawdzasz swoje sumy i stwierdzasz, że to prawda, biorąc pod uwagę, że gdyby działo było tak masywne jak ziemskie 5,972 × 10 $ ^ {24} USD, kula zderzyłaby się z nią z prędkością 11,7 km / s. Prędkość ucieczki to końcowa prędkość spadającego ciała, które zaczyna się na „nieskończonej” odległości. Jeśli wystrzelisz pocisk z Ziemi z większą prędkością ucieczki, to nigdy nie wróci.

OK, teraz wróćmy do pierwotnego scenariusza. Strzelasz z pistoletu, a pocisk odlatuje z prędkością 1000 m / s. Gdy pocisk znajduje się w odległości miliarda lat świetlnych, jego prędkość spada do 999,999 m / s. Ponieważ prędkość ucieczki pistoletu wynosi 0,001 m / s. Grawitacja pistoletu nigdy nie wystarczy, aby zatrzymać ten pocisk, nawet gdyby miał cały czas na świecie i całą herbatę w Chinach.

Niektóre komentarze były stare, a niektóre odbiegały od zamierzonego celu komentarzy;Przeniosłem je wszystkie [do czatu] (http://chat.stackexchange.com/rooms/29142/discussion-on-answer-by-john-duffield-does-a-gun-exert-enough-gravity-on-kul).
Twoje ostateczne obliczenia są błędne, ponieważ energia zmienia się wraz z kwadratem prędkości.Zatem „końcowa” prędkość będzie bardziej zbliżona do $ \ sqrt {1000 ^ 2-0,001 ^ 2} \ approx999.9999999995 $.
Byłoby miło wyjaśnić to również w kategoriach energii potencjalnej, ponieważ to wyjaśnia wzór na $ v_e $, a nie wyciąganie z powietrza :-)
@Marc van Leeuwen: tak, przepraszam Mark, zapomniałem tego rozpracować i wrzuciłem kilka. Skromne przeprosiny.
#2
+27
Jonas Greitemann
2015-09-11 17:27:39 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Jak wspomniał Stephen Mathey w komentarzach, dla każdego ciała o masie $ M $ i promieniu $ r $ istnieje prędkość, którą należy osiągnąć, aby całkowicie uciec przed grawitacją ciała. To jest prędkość ucieczki $$ v_e = \ sqrt {\ frac {2GM} {r}} $$ gdzie $ G $ to stała grawitacji Newtona, $ M $ to masa ciała, z którego uciekasz, a $ r $ to odległość od środka masy, w której musi zostać osiągnięta prędkość ucieczki.

Zwykle stosuje się tę koncepcję do planet (lub księżyców), gdzie $ r $ jest promieniem planety (księżyca), a prędkość ucieczki to prędkość potrzebna rakiecie (w ujęciu Delta-v), aby uciec z planety (księżyca). Tutaj można było zmierzyć odległość od środka ciężkości pistoletu do otworu lufy. Jeszcze w lufie pocisk może nadal przyspieszać z powodu rozszerzania się gazów. Powiedzmy, że odległość to 10 $ ~ \ mathrm {cm} $. Załóżmy też, że pistolet waży jeden kilogram. Wtedy prędkość ucieczki jest tak mała jak 37 $ ~ \ mu \ mathrm {m} / \ mathrm s $.

Więc tak, ta kula na pewno nie wróci.

... chyba że wszechświat jest ograniczony przestrzenią 3, a kula pojawi się z tyłu pewnego dnia :-)
@carl Nie jestem pewien, jak potencjalne pola działałyby w ograniczonym wszechświecie.Szczególnie grawitacja, chociaż grawitacja, która nie ma ładunków odpychających.
@CarlWitthoft ... mając tylko 1 kg masy, nie ma możliwości, aby wszechświat był „ograniczony”, więc zgadzam się, że kula nie wróci.
#3
+12
Nzall
2015-09-11 19:14:10 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Dość skrajnej odpowiedzi: jak masywna powinna być broń, aby prędkość ucieczki była większa niż prędkość pocisku? Zakładam, że używamy 357 Magnum wystrzelonego z Desert Eagle, który w rzeczywistości znajduje się na niskim lub środkowym końcu skali prędkości wylotowej:

enter image description here źródło: http://wredlich.com/ny/2013/01/projectiles-muzzle-energy-stopping-power/

Desert Eagle ma 15 cm lufę. Korzystając ze wzoru podanego w innych odpowiedziach:

$$ v_ \ mathrm e = \ sqrt {\ frac {2GM} {r}} $$

Wpisz liczby:

$$ v_ \ mathrm e = \ sqrt {\ frac {2 \ times G \ times M} {0.15 \ \ mathrm m}} $$ $$ (410 \ \ mathrm {m / s}) ^ 2 = \ frac {2 \ times G \ times M } {0.15 \ \ mathrm m} $$ $$ 1.68 \ times10 ^ 5 \ \ mathrm {m ^ 2 \ s ^ {- 2}} = 13 \ \ mathrm {m ^ {- 1}} \ times G \ times M $$ $$ M = 1.9 \ times10 ^ {14} \ \ mathrm {kg} $$

Uwaga: nie jestem pewien, jak dokładna jest ta liczba. Wprowadziłem te zmienne w 2 kalkulatorach online. Jeden z nich podał tę odpowiedź ( http://calculator.tutorvista.com/escape-velocity-calculator.html), drugi podał liczbę, która jest taka sama, ale o wiele rzędów wielkości mniejsze: 1889,4434 $ \ \ mathrm {kg} $ ( https://www.easycalculation.com/physics/classical-physics/escape- velocity.php). Nie jestem pewien, dlaczego te dwie liczby są tak różne.

To [1,889 * 10 ^ 14 kg] (http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28410+m%2Fs%29^2+*+15+cm+%2F+2+%2F+G), a nie 1,889 * 10 ^ 3 kg.Nie jestem pewien, dlaczego drugi kalkulator tak powiedział.
Warto poczytać na [znaczące liczby] (https://en.wikipedia.org/wiki/Ssequant_figures).W szczególności masz 2, więc twoja odpowiedź to tylko 19 razy potęga 10. Ponadto, w żadnym wypadku nie powinieneś umieszczać wielkości w równaniu bez jednostek.
1,9 * 10 ^ 14 kg to właściwie nie WSZYSTKO.Metr sześcienny skały może mieć do 3 ton (3 * 10 ^ 3 kg), więc potrzebowalibyśmy 1,9 / 3 * 10 ^ 11 metrów sześciennych. To jest skalna kula o średnicy 4,9 km.W Układzie Słonecznym znajduje się wiele dziesiątek tysięcy obiektów tej wielkości lub większych - być może nawet milionów. Kometa Halleya i Deimos, drugi księżyc Marsa, mają mniej więcej dwa razy większą średnicę, więc nie można by wystrzelić z nich kuli, nawet gdyby były w większości lodowe.
@DewiMorgan Rzecz w tym, że to nie jest 1,9 * 10 ^ 14 kg skały w kuli o długości 4,9 km.To tyle skały w 10-centymetrowej kuli.To jest bliskie gęstości gwiazdy neutronowej.Kula o długości 4,9 km z 1,9 * 10 ^ 14 kg skały miałaby znacznie niższą prędkość ucieczki, myślę, że nawet niższą niż na Ziemi.
@ChrisWhite Pominąłem jednostki w tym równaniu, ponieważ wiedziałem, że zostały sprawdzone i po prostu łatwiej było pisać bez uwzględnienia jednostek.Nie wiem też, jak pracować z Mathjaxem, więc po prostu wziąłem kod z jego odpowiedzi Johna Duffielda i zastąpiłem wszystko oprócz G odpowiednimi liczbami.Na początku chciałem również zamienić G, ale pomyliłem G z $$ G_0 $$ i nie zdawałem sobie z tego sprawy, dopóki dwukrotnie nie sprawdziłem matematyki za pomocą pierwszego kalkulatora online.
@Nate pytałeś, jak masywnej broni potrzebujesz.Po prostu ekstrapolowałem to na "Ponieważ większość broni jest lżejsza, jak dużego kamienia trzeba by było przykleić taśmą klejącą do pistoletu, żeby to zadziałało?"ponieważ większość ludzi nie potrafi wyobrazić sobie broni ważącej 10 ^ 14 kg, a to dałoby bardziej użyteczny model myślowy.Przepraszam, jeśli nie byłem tego pewien.
Aha, i +1 za komentarz dotyczący gwiazd neutronowych.Sprawdziłem, i przy 10 ^ 18 kg / m ^ 3 mieliby około 10 ^ 14 w objętości około 1 mm x 1 cm x 1 cm, co jest dość zbliżone do rozmiaru pistoletu.Wadą jest to, że mały zakład na neutrony uczyniłby broń niezwykłą
#4
+8
Daniel Darabos
2015-09-13 18:31:01 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Grawitacja działa zawsze będzie wywierać siłę na pocisk. Kula będzie coraz bardziej zwalniać w nieskończoność. Tempo jego hamowania jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości od działa. Im dalej, tym wolniejsze zwalnianie.

Logiczne jest myślenie, że coś, co spowalnia w nieskończoność, w końcu się zatrzyma. Ale to nie zawsze jest prawdą.

Kiedy pocisk zwalnia, traci energię kinetyczną. Można to obliczyć jako całkę siły działającej na nią, gdy przemieszcza się ona z odległości $ r_1 $ do $ r_2 $.

$$ \ Delta K = - \ int_ {r_1} ^ {r_2} \ frac {GMm} {r ^ 2} \, dr $$

Ta strata energii nigdy nie jest zerowa, ale jej całkowita suma jest ograniczona. (Zgodnie z logiką podobną do tego, jak szereg geometryczny może być zbieżny.) Jeśli początkowa energia kinetyczna byłaby większa niż wartość związana ze stratą energii, część zostanie, niezależnie od tego, ile czasu minęło. Innymi słowy, pocisk będzie zwalniać w sposób ciągły, ale nigdy nie spadnie poniżej określonej prędkości.

Prędkość ucieczki wspomniana w innych odpowiedziach to prędkość początkowa, przy której pocisk ma taką samą prędkość dużo energii kinetycznej jako granica utraconej energii. Jeśli jest to dokładnie prędkość początkowa, pocisk zwolni, a jego prędkość spadnie do zera. Jeśli prędkość początkowa jest większa, prędkość pocisku będzie miała tendencję do wartości dodatniej. Jeśli prędkość początkowa jest niższa, pocisk straci całą swoją prędkość po pewnym skończonym czasie i zacznie się cofać.

#5
+2
Hritik Narayan
2015-09-11 17:34:52 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Zakładając, że masa pistoletu ($ M $) jest dużo większa niż masa pocisku ($ m $), siła wypadkowa na pocisk wynosi: (Z ramy pistoletu).

$$ m \ frac {d ^ 2r} {dt ^ 2} = mv \ frac {dv} {dr} = - \ frac {GMm} {r ^ 2} $$

równość uzyskuje się z faktu, że przyspieszenie wynosi $ \ frac {dv} {dt} $, co równa się $ \ frac {dv} {dr} \ frac {dr} {dt} $, (poprzez regułę łańcuchową) drugi człon będąc prędkością.

Po całkowaniu tego otrzymujemy:

$$ \ frac {mv ^ 2} {2} - \ frac {GMm} {r} = c $$

Jeśli przyjmiemy, że pocisk zatrzymuje się na nieskończonej odległości (tj. ucieka z pistoletu i nigdy nie powraca), jego energia w tym czasie wynosiłaby zero.

Z tego otrzymujemy:

$$ v_i = \ sqrt \ frac {2GM} {r} $$ (gdzie $ r $ jest odległością od środka masy broń do punktu, w którym opuściła broń.)

Jest to prędkość ucieczki pocisku. (jak wspomnieli @Jonas i @Steven Mathey i @John Duffield).

Przy wszystkich większych prędkościach początkowych siła grawitacji z pistoletu nie byłaby w stanie cofnąć pocisku. Biorąc pod uwagę, jak mała wartość $ v_i $ jest ogólnie w porównaniu ze średnią prędkością pocisku, kula w większości ucieknie.

(Wstępne założenie pomaga uprościć matematykę, ale nie jest to założenie absurdalne. To założenie to matematyczny odpowiednik stwierdzenia, że ​​broń w ogóle się nie poruszy z powodu siły wywieranej na nią przez pocisk).



To pytanie i odpowiedź zostało automatycznie przetłumaczone z języka angielskiego.Oryginalna treść jest dostępna na stackexchange, za co dziękujemy za licencję cc by-sa 3.0, w ramach której jest rozpowszechniana.
Loading...