Czy broń wywiera wystarczającą grawitację na wystrzeloną kulę, aby ją zatrzymać?

Nie.

Czy, biorąc pod uwagę wystarczająco dużo czasu, kula spadłaby z powrotem do pistoletu?

No.

A może istnieje limit odległości, jaką może osiągnąć grawitacja?

Nie.

Ale prędkość pocisku przekracza prędkość ucieczki. Zajrzyj do Wikipedii, gdzie możesz przeczytać, że prędkość ucieczki dla danej odległości jest obliczana według wzoru

$$ v_e = \ sqrt {\ frac {2GM} {r}} $$

Wyobraź sobie, że grasz w ten scenariusz w odwrotnej kolejności. Masz kulę i broń, oddalone o miliony lat świetlnych, nieruchome w stosunku do innych. Patrzysz i czekasz, a po miliardach lat zauważasz, że zbliżają się do siebie dzięki grawitacji. (Dla uproszczenia powiemy, że broń jest nieruchoma, a kula spada w jej kierunku). Po kolejnych miliardach lat śledziłeś pocisk aż do działa i zauważyłeś, że zderzają się z prędkością 0,001 m / s. Sprawdzasz swoje sumy i stwierdzasz, że to prawda, biorąc pod uwagę, że gdyby działo było tak masywne jak ziemskie 5,972 × 10 $ ^ {24} USD, kula zderzyłaby się z nią z prędkością 11,7 km / s. Prędkość ucieczki to końcowa prędkość spadającego ciała, które zaczyna się na „nieskończonej” odległości. Jeśli wystrzelisz pocisk z Ziemi z większą prędkością ucieczki, to nigdy nie wróci.

OK, teraz wróćmy do pierwotnego scenariusza. Strzelasz z pistoletu, a pocisk odlatuje z prędkością 1000 m / s. Gdy pocisk znajduje się w odległości miliarda lat świetlnych, jego prędkość spada do 999,999 m / s. Ponieważ prędkość ucieczki pistoletu wynosi 0,001 m / s. Grawitacja pistoletu nigdy nie wystarczy, aby zatrzymać ten pocisk, nawet gdyby miał cały czas na świecie i całą herbatę w Chinach.

Jak wspomniał Stephen Mathey w komentarzach, dla każdego ciała o masie $ M $ i promieniu $ r $ istnieje prędkość, którą należy osiągnąć, aby całkowicie uciec przed grawitacją ciała. To jest prędkość ucieczki $$ v_e = \ sqrt {\ frac {2GM} {r}} $$ gdzie $ G $ to stała grawitacji Newtona, $ M $ to masa ciała, z którego uciekasz, a $ r $ to odległość od środka masy, w której musi zostać osiągnięta prędkość ucieczki.

Zwykle stosuje się tę koncepcję do planet (lub księżyców), gdzie $ r $ jest promieniem planety (księżyca), a prędkość ucieczki to prędkość potrzebna rakiecie (w ujęciu Delta-v), aby uciec z planety (księżyca). Tutaj można było zmierzyć odległość od środka ciężkości pistoletu do otworu lufy. Jeszcze w lufie pocisk może nadal przyspieszać z powodu rozszerzania się gazów. Powiedzmy, że odległość to 10 $ ~ \ mathrm {cm} $. Załóżmy też, że pistolet waży jeden kilogram. Wtedy prędkość ucieczki jest tak mała jak 37 $ ~ \ mu \ mathrm {m} / \ mathrm s $.

Więc tak, ta kula na pewno nie wróci.

Dość skrajnej odpowiedzi: jak masywna powinna być broń, aby prędkość ucieczki była większa niż prędkość pocisku? Zakładam, że używamy 357 Magnum wystrzelonego z Desert Eagle, który w rzeczywistości znajduje się na niskim lub środkowym końcu skali prędkości wylotowej:

źródło: http://wredlich.com/ny/2013/01/projectiles-muzzle-energy-stopping-power/

Desert Eagle ma 15 cm lufę. Korzystając ze wzoru podanego w innych odpowiedziach:

$$ v_ \ mathrm e = \ sqrt {\ frac {2GM} {r}} $$

Wpisz liczby:

$$ v_ \ mathrm e = \ sqrt {\ frac {2 \ times G \ times M} {0.15 \ \ mathrm m}} $$ $$ (410 \ \ mathrm {m / s}) ^ 2 = \ frac {2 \ times G \ times M } {0.15 \ \ mathrm m} $$ $$ 1.68 \ times10 ^ 5 \ \ mathrm {m ^ 2 \ s ^ {- 2}} = 13 \ \ mathrm {m ^ {- 1}} \ times G \ times M $$ $$ M = 1.9 \ times10 ^ {14} \ \ mathrm {kg} $$

Uwaga: nie jestem pewien, jak dokładna jest ta liczba. Wprowadziłem te zmienne w 2 kalkulatorach online. Jeden z nich podał tę odpowiedź ( http://calculator.tutorvista.com/escape-velocity-calculator.html), drugi podał liczbę, która jest taka sama, ale o wiele rzędów wielkości mniejsze: 1889,4434 $ \ \ mathrm {kg} $ ( https://www.easycalculation.com/physics/classical-physics/escape- velocity.php). Nie jestem pewien, dlaczego te dwie liczby są tak różne.

Grawitacja działa zawsze będzie wywierać siłę na pocisk. Kula będzie coraz bardziej zwalniać w nieskończoność. Tempo jego hamowania jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości od działa. Im dalej, tym wolniejsze zwalnianie.

Logiczne jest myślenie, że coś, co spowalnia w nieskończoność, w końcu się zatrzyma. Ale to nie zawsze jest prawdą.

Kiedy pocisk zwalnia, traci energię kinetyczną. Można to obliczyć jako całkę siły działającej na nią, gdy przemieszcza się ona z odległości $ r_1 $ do $ r_2 $.

$$ \ Delta K = - \ int_ {r_1} ^ {r_2} \ frac {GMm} {r ^ 2} \, dr $$

Ta strata energii nigdy nie jest zerowa, ale jej całkowita suma jest ograniczona. (Zgodnie z logiką podobną do tego, jak szereg geometryczny może być zbieżny.) Jeśli początkowa energia kinetyczna byłaby większa niż wartość związana ze stratą energii, część zostanie, niezależnie od tego, ile czasu minęło. Innymi słowy, pocisk będzie zwalniać w sposób ciągły, ale nigdy nie spadnie poniżej określonej prędkości.

Prędkość ucieczki wspomniana w innych odpowiedziach to prędkość początkowa, przy której pocisk ma taką samą prędkość dużo energii kinetycznej jako granica utraconej energii. Jeśli jest to dokładnie prędkość początkowa, pocisk zwolni, a jego prędkość spadnie do zera. Jeśli prędkość początkowa jest większa, prędkość pocisku będzie miała tendencję do wartości dodatniej. Jeśli prędkość początkowa jest niższa, pocisk straci całą swoją prędkość po pewnym skończonym czasie i zacznie się cofać.

Zakładając, że masa pistoletu ($ M $) jest dużo większa niż masa pocisku ($ m $), siła wypadkowa na pocisk wynosi: (Z ramy pistoletu).

$$ m \ frac {d ^ 2r} {dt ^ 2} = mv \ frac {dv} {dr} = - \ frac {GMm} {r ^ 2} $$

równość uzyskuje się z faktu, że przyspieszenie wynosi $ \ frac {dv} {dt} $, co równa się $ \ frac {dv} {dr} \ frac {dr} {dt} $, (poprzez regułę łańcuchową) drugi człon będąc prędkością.

Po całkowaniu tego otrzymujemy:

$$ \ frac {mv ^ 2} {2} - \ frac {GMm} {r} = c $$

Jeśli przyjmiemy, że pocisk zatrzymuje się na nieskończonej odległości (tj. ucieka z pistoletu i nigdy nie powraca), jego energia w tym czasie wynosiłaby zero.

Z tego otrzymujemy:

$$ v_i = \ sqrt \ frac {2GM} {r} $$ (gdzie $ r $ jest odległością od środka masy broń do punktu, w którym opuściła broń.)

Jest to prędkość ucieczki pocisku. (jak wspomnieli @Jonas i @Steven Mathey i @John Duffield).

Przy wszystkich większych prędkościach początkowych siła grawitacji z pistoletu nie byłaby w stanie cofnąć pocisku. Biorąc pod uwagę, jak mała wartość $ v_i $ jest ogólnie w porównaniu ze średnią prędkością pocisku, kula w większości ucieknie.

(Wstępne założenie pomaga uprościć matematykę, ale nie jest to założenie absurdalne. To założenie to matematyczny odpowiednik stwierdzenia, że ​​broń w ogóle się nie poruszy z powodu siły wywieranej na nią przez pocisk).