Istnieje kilka powodów, dla których warto używać formalizmu Hamiltona:

1. Fizyka statystyczna. Standardowa waga stanów termicznych czystych stanów jest podana według wzoru

   $$ \ text {Prob} (\ text {state}) \ propto e ^ {- H (\ text {state}) / k_BT} $$

   Więc musisz zrozumieć Hamiltona, aby robić stat mech w prawdziwej ogólności.

2. Piękno geometryczne. Równania Hamiltona mówią, że płynięcie w czasie jest równoważne płynięciu wzdłuż pola wektorowego w przestrzeni fazowej. Daje to ładny obraz geometryczny tego, jak ewolucja czasu działa w takich systemach. Ludzie często używają tej struktury w układach dynamicznych, gdzie badają pytania typu „czy ewolucja czasu jest chaotyczna?”.

3. Uogólnienie na fizykę kwantową. Podstawowy formalizm mechaniki kwantowej (stany i obserowalne) jest oczywistym uogólnieniem formalizmu hamiltonowskiego. Mniej oczywiste jest, w jaki sposób łączy się to z formalizmem Lagrangianu, a mniej oczywiste, w jaki sposób jest połączone z formalizmem Newtona.

[Edytuj w odpowiedzi na komentarz: ]

To może być zbyt krótkie, ale podstawowa historia wygląda następująco:

W mechanice Hamiltona obserwowalne są elementami algebry przemiennej, która zawiera nawias Poissona $ \ {\ cdot, \ cdot \} $ . Algebra obserwabli ma wyróżniający się element, hamiltonian, który definiuje ewolucję czasu poprzez $ d \ mathcal {O} / dt = \ {\ mathcal {O}, H \} $ . Stany termiczne są po prostu funkcjami liniowymi w tej algebrze. (Obserables są realizowane jako funkcje w przestrzeni fazowej, a nawias pochodzi z tamtejszej struktury symplektycznej. Ale algebra obserwabli jest tym, co się liczy: przestrzeń fazową można odzyskać z algebry funkcji.)

Z drugiej strony w fizyce kwantowej mamy algebrę obserwabli, która nie jest przemienna. Ale nadal ma nawias $ \ {\ cdot, \ cdot \} = - \ frac {i} {\ hbar} [\ cdot, \ cdot] $ ( komutator) i nadal uzyskuje ewolucję w czasie z wyróżnionego elementu $ H $ , poprzez $ d \ mathcal {O } / dt = \ {\ mathcal {O}, H \} $ . Podobnie, stany termiczne są nadal funkcjonałami liniowymi w algebrze.

Więcej komentarzy do dodania do odpowiedzi użytkownika1504:

1. W przypadku systemu z przestrzenią konfiguracyjną o wymiarze $ n $ równania Hamiltona są zbiorem 2n $, sprzężone , pierwszego rzędu równań różniczkowych, podczas gdy równania Eulera-Lagrange'a są zbiorem $ n $, drugiego rzędu równań różniczkowych. W danym problemie może być łatwiej rozwiązać równania Hamiltona pierwszego rzędu (choć niestety nie mogę w tej chwili wymyślić dobrego przykładu).

2. To prawda, że mechanika kwantowa jest zwykle przedstawiana w formalizmie hamiltonowskim, ale jak wynika z odpowiedzi użytkownika1504, możliwe jest użycie Lagrangianu do kwantowania systemów klasycznych. Podejście hamiltonowskie jest powszechnie określane jako „kwantyzacja kanoniczna”, podczas gdy podejście lagranżowskie jest określane jako „kwantyzacja całkowa ścieżki”.

Edytuj. Jak wskazuje użytkownik Qmechanic, mój punkt 2 nie jest do końca poprawny; kwantyzację integralną ścieżki można również przeprowadzić za pomocą hamiltonianu. Zobacz na przykład ten post na temat fizyki.SE:

W całkach po ścieżce lagrangian lub hamiltonian są fundamentalne?

1. Przede wszystkim lagrangian to wielkość matematyczna, która nie ma fizycznego znaczenia, ale hamiltonian jest fizyczna (na przykład jest to całkowita energia system, w niektórych przypadkach) i wszystkie wielkości w mechanice Hamiltona mają znaczenie fizyczne, co ułatwia intuicję fizyczną.

2. W mechanice Hamiltona masz transformacje kanoniczne, które pozwalają zmienić współrzędne i znaleźć łatwiejsze współrzędne kanoniczne i momenty, w których łatwiej jest rozwiązać problem.

3. Najlepsze jest to, że Lagrangian to potężna metoda matematyczna do rozwiązywania problemów w mechanice klasycznej, ale Hamiltonian to potężna metoda rozwiązywania problemów z mechaniki klasycznej, mechaniki kwantowej, mechaniki statystycznej, termodynamiki ... itd. właściwie cała fizyka ...

Na przykład: W termodynamice: energia swobodna Gibbsa, energia swobodna Helmholtza ... wszystkie są kanonicznymi przekształceniami hamiltonianu ..

Dodatkową kwestią, która nie została wystarczająco podkreślona w poprzednich odpowiedziach, jest to, że formalizm hamiltonowski umożliwia wykonanie przekształceń kanonicznych w celu przejścia do najlepszego możliwego układu współrzędnych w przestrzeni fazowej, aby opisać układ. Jest to o wiele lepsze niż w mechanice Lagrangianu, gdzie można wykonywać tylko transformacje koordynacyjne w przestrzeni konfiguracyjnej. (Przestrzeń fazowa ma dwa razy więcej wymiarów, więc masz większą swobodę). Uważam, że nawiasy Poissona są bardzo przydatne w mechanice Hamiltona do zapisywania równań ruchu dowolnej funkcji zmiennych przestrzeni fazowej: $ \ dot {Q} = \ {Q, H \} $. W mechanice Hamiltona można znaleźć ilości konserwatywne ($ \ dot {Q} = 0 $), które nie są oczywiste w mechanice Lagrange'a.

Przykłady :

1. Oscylacje w trybie normalnym. Jeśli hamiltonian okaże się kwadratową funkcją współrzędnych i pędów dla układu $ N $ obiektów, np. $ H = \ sum_ {ij} M_ {ij} q_i q_j + \ sum_ {ij} M_ {ij} p_i p_j $ wtedy możesz po prostu wykonać transformację kanoniczną wzdłuż wektorów własnych $ M_ {ij} $, aby diagonalizować $ M_ { ij} $, a twój system rozdziela na niezależne oscylatory harmoniczne.

2. Teoria zaburzeń. Możesz po prostu zbadać oscylacje wokół stanu równowagi, rozszerzając hamiltonian do drugiego rzędu w zmiennych przestrzeni fazowej.

3. W dynamice planetarnej istnieje duże oddzielenie skal między interakcjami planet z gwiazdą centralną i ich wzajemnymi interakcjami. „Teoria sekularna” opisuje bardzo długofalową ewolucję systemu wykorzystującego mechanikę Hamiltona. Możesz zastosować transformację kanoniczną (transformację von Zeipela) wzdłuż zmiennych kąta działania oddziaływań krótkoterminowych. Następnie możesz wyprowadzić długoterminową ewolucję (na przykład ewolucję mimośrodów i inklinacji), zbadać, czy długoterminowe zakłócające efekty planet sumują się rezonansowo, czy nie, czy system jest chaotyczny itp.

To jest fakt dotyczący hamiltonianu w porównaniu z lagranżjaninem, który nie jest dla mnie trywialny (i warto o tym pamiętać).

Załóżmy, że lagrangian $ L $ i hamiltonian $ H $ są cykliczne w odniesieniu do jakiejś współrzędnej $ q_1 $ . Następnie mamy twierdzenie (por. [1]):

Ewolucja pozostałych współrzędnych $ q_2, ..., q_n $ span> to system z $ n-1 $ niezależnymi współrzędnymi $ q_2, ..., q_n $ z hamiltonianem $$ H (p_2, ..., p_n, q_2, ..., q_n, t, c), $$ w zależności od parametru $ c = p_1 $ .

Zauważ, że to jest fałsz, jeśli zamiast $ H $ podajemy twierdzenie dla lagrangianu $ L $ .

Aby zobaczyć dokładnie, o co mi chodzi, rozważ uproszczony Lagrangian problemu dwóch ciał: $$ L = \ frac {\ mu} {2} (\ dot r ^ 2 + r ^ 2 \ dot \ varphi ^ 2) -U (r). $$ Mamy $$ p_ \ varphi = \ mu r ^ 2 \ dot \ varphi = \ ell \ quad (\ text {constant}). $$ Teraz spróbuj podłączyć $$ \ dot \ varphi = \ frac {\ ell} { \ mu r ^ 2} $$ wewnątrz lagrangianu i porównaj otrzymane w ten sposób równania ruchu z równaniami, które otrzymujesz, podłączając je bezpośrednio do równań ruchu $ \ frac {\ częściowe L} {\ częściowe r} = \ frac {d} {dt} \ frac {\ częściowe L} {\ części \ dot r} $ .

[1] „ Matematyczne metody mechaniki klasycznej „VI Arnold, §15 Kor. 2.

Oprócz kilku świetnych odpowiedzi już opublikowanych:

1) Mechanika Hamiltona nadaje się do ogólnej i systematycznej formy teorii zaburzeń, zwanej „kanoniczną teorią zaburzeń”.Teoria zaburzeń w mechanice Lagrangianu wydaje się być nieco bardziej ad hoc i przypadek po przypadku.Podejrzewam, że właśnie dlatego Hamilton i Jacobi pierwotnie opracowali tę teorię, ponieważ oczywiście nie wiedzieli o jej przyszłych zastosowaniach mechanicznych statycznych i kwantowych.

2) Mechanika Hamiltona prowadzi do równania Hamiltona-Jacobiego, które jest przydatne do znajdowania nieoczywistych ilości konserwowanych dla skomplikowanych układów.

3) Równanie Hamiltona-Jacobiego prowadzi z kolei do zmiennych kąta działania, które są szczególnie przydatne w astronomii (na czym bardzo zależy wczesnym fizykom).

Jednym ze sposobów, aby zobaczyć związek mechaniki klasycznej Hamilota i mechaniki kwantowej nie jest szukanie bezpośredniego tłumaczenia Hamiltionian -> Quantum Hamiltionian (który istnieje: kwantyzacja geometryczna), ale rozważ odwrotną zależność. Biorąc pod uwagę operator Hamiltion i oceniając go na funkcjach falowych w postaci $ e ^ {\ frac {i} {\ hbar} \ phi} $ (który może być uważany za wysoko zlokalizowany pakiet falowy) upraszcza na granicy $ \ hbar \ do 0 $ do równania Hamiltiona-Jacobiego z klasycznym Hamiltionianem. Jest to znane jako przybliżenie WKB i odnosi się również do optyki (tj. Promienie światła podążają za całkowymi krzywymi powiązanego obrazu Hamiltionian w pierwszym przybliżeniu).

Możesz także zapisać równania ruchu Hamiltona w formie sympletycznej: $$ \ dot \ xi_i = \ omega_ {ij} \ frac {\ częściowe H} {\ części \ xi_j} $$

Gdzie $ \ xi_i $ to współrzędne w przestrzeni fazowej, czyli $ \ xi = (\ mathbf q, \ mathbf p) $. A $ \ omega $ to macierz sympletyczna: $$ \ omega = \ begin {bmatrix} 0 && -I_ {n \ times n} \\ I_ {n \ times n} && 0 \\\ end {bmatrix} $ $

Gdzie $ I_ {n \ razy n} $ jest macierzą tożsamości, z układem współrzędnych przestrzennych $ n $ (a więc $ n $ prędkości, a to $ 2n $ ilości fazy współrzędne przestrzenne). Również dla obserwowalnego $ G $ mamy: $ \ dot G = \ {G, H \} $, jak wiesz. Więc możesz łatwo mieć dynamikę danego obserwowalnego $ G $. Wszystko bardzo ładne, schludne i ogólne, ale ....

Ale ... oto, co uważam za najbardziej niesamowitą część mechaniki hamiltonowskiej: $$ X = x ^ i \ parts_i = \ {\ xi ^ i, H \} \ części_i $$

Gdzie $ X $ jest hamiltonowskim polem wektorowym. Teraz zamiast tego możemy uogólnić dla obserwowalnego $ G $ jego pola wektorowego: $$ X_G = x ^ i_G \ Partial_i, \ quadx ^ i_G = \ {\ xi ^ i, G \} = \ frac {d \ xi ^ i} {d \ epsilon} $$

Dla dowolnego podanego parametru $ \ epsilon $ dla obserwowalnego $ G $, generuje operator $ X_G $. Rozwinięcie Taylora pierwszego rzędu: $$ \ xi ^ i (\ epsilon) - \ xi ^ i (\ epsilon_0) = (\ epsilon - \ epsilon_0) X_G \ xi ^ i $$

Gdzie operator $ X_G $ działa na $ \ xi ^ i $. Możemy rozwiązać równanie różniczkowe w kolejnych, nieskończenie małych przekształceniach, dochodząc do fundamentalnej granicy wykładniczej, uzyskując w ten sposób pełne rozwiązanie ogólne dowolnego układu hamiltonowskiego dla dowolnego obserwowalnego $ G $: $$ \ xi ^ i (\ epsilon) = \ exp \ left (\ Delta \ epsilon X_G \ right) \ xi ^ i_0 $$

Czy rozumiesz moc tego? Ponownie wskazując, jest to rozwiązanie dowolnego systemu hamiltonowskiego dla dowolnego obserwowalnego $ G $ z parametrem $ \ epsilon $ wygenerowanym przez operatora $ X_G $. Jeśli chcesz przeanalizować dynamikę, to $ \ epsilon $ to czas, a $ G $ to hamiltonian, gdzie $ X_H $ określa hamiltonowską przestrzeń wektorową. Wszystkie systemy hamiltonowskie mają to samo rozwiązanie. To samo rozwiązanie !! A więc rozwiążmy dynamikę (tj. Gdzie $ \ epsilon $ to czas): $$ \ xi ^ i (t) = \ exp \ left (\ Delta t \ frac {d} {dt} \ right) \ xi ^ i_0 $$

Jak widać, całkiem nieźle. Mechanika Lagrange'a daje ładne, ujednolicone równania ruchu. Mechanika Hamiltona daje ładne, zunifikowane rozwiązania w przestrzeni fazowej dla równań ruchu. A także daje możliwość uzyskania powiązanego operatora i interpretacji sympletyczno-geometrycznej niezależnej od współrzędnych. Pierwsza jest kluczowa w mechanice kwantowej, druga jest kluczowa w układach dynamicznych.

Formalizm kanoniczny (hamiltonowski) oferuje jedną z głównych ścieżek kwantyzacji grawitacji. Ogólną teorię względności można wyrazić za pomocą rozkładu ADM 3 + 1 czasoprzestrzeni:

http://en.wikipedia.org/wiki/ADM_formalism

I mechanika kwantowa będąca podstawą Hamiltona:

http://en.wikipedia.org/wiki/Hamiltonian_(quantum_mechanics)

To nie tylko zapewnia nieuchwytny związek między teoriami w inny sposób zasadniczo niekompatybilnymi (kwantowa teoria pola i ogólna teoria względności), ale w hamiltonowskim formalizmie GR możliwe jest numeryczne rozwiązywanie problemów, które w innym przypadku są niezwykle trudne lub niemożliwe za pomocą standardowych równań pola Einsteina.

Nawiasem mówiąc, Lagrangian (i gęstość Lagrange'a) jest fizyczny w ogólnej teorii względności, ponieważ równania pola Einsteina można wyprowadzić bezpośrednio z działania Einsteina-Hilberta. Ta minimalizacja działania jest również podstawą podejścia integralnego ścieżki do kwantowej teorii pola:

http://en.wikipedia.org/wiki/Path_integral_formulation

Diagramy Feynmana tak przydatne w QFT wywodzą się bezpośrednio z tego i oczywiście teoria strun jest wyższym wymiarowym uogólnieniem podejścia całkowego po ścieżce.

http://www.staff.science. uu.nl/~hooft101/lectures/stringnotes.pdf

Hamiltonian może być użyty do opisania ewolucji „gęstości w fazie” układu N ciał. Gęstość w fazie jest wielkością zachowaną dla układu w równowadze według twierdzenia Liouville'a. Położenie i pęd mogą opisywać każdy ogólny intensywny parametr. Gibbs zastosował to podejście do wyprowadzenia mechaniki statystycznej.

To podejście do koncepcji ewolucji funkcji gęstości prawdopodobieństwa może być użyte w wielu innych zastosowaniach. Moje obecne badania dotyczą teorii kontroli przestrzeni stanów, analizy ekonomicznej i oceny uszkodzeń radiacyjnych w komórkach. Więc chociaż jest trochę zawiły, jest niezwykle przydatny. Idzie w parze z maksymalizacją entropii.

Jedną z zalet hamiltonianu jest bezpośrednie wyrażenie twierdzenia Noether. Twierdzenie Noether mówi, że symetria prowadzi do ilości konserwowanych.

Jednym ze sposobów zrozumienia twierdzenia Noether jest to, że układ z symetrią ma skojarzoną z nią ignorowalną współrzędną w Lagrangianu. Na przykład system z symetrią obrotową można wyrazić we współrzędnych, w których kąt obrotu $ \ phi $ nie występuje w języku Lagrange'a.

$$ \ frac {\ partial L} {\ part \ phi} = 0 \ implies \ frac {d} {dt} \ left (\ frac {\ partial L} {\ części \ dot {\ phi}} \ right) = \ frac {d p_ \ phi} {dt} = 0 $$

Więc składnik $ \ phi $ pędu jest zachowany.

Podejście Hamiltona jest szczególnie przydatne w metodach numerycznych. Zwróć uwagę, jak jedno z równań ewolucji Hamiltona mówi nam o zmianach w pędzie.

$$ \ frac {d p_i} {dt} = - \ frac {\ częściowe H} {\ częściowe q ^ i}, \ quad \ frac {dq ^ i} {dt} = \ frac {\ part H} {\ part p_i} $$

W systemie z zachowanymi momentami kanonicznymi równania Hamiltona będą wyraźnie wymagały zachowania. W wielu przypadkach sam hamiltonian jest wielkością zachowawczą (podobnie jak energia). Znalezienie numerycznych rozwiązań równań Hamiltona zamiast drugiej zasady Newtona spowoduje większą stabilność rozwiązań numerycznych. Istnieje cała klasa metod rozwiązywania równań różniczkowych, integratory symplektyczne, które używają tej funkcji.

Jeśli liczbowo rozwiniesz problem orbitalny bezpośrednio z $ \ vec {F} = m \ ddot {\ vec {x}} $ , pojawi się błąd numeryczny szybko i orbita odejdzie od prawdziwego rozwiązania. Jednym ze sposobów zobaczenia tego jest obliczenie energii i pędu jako funkcji czasu ( $ E (t) $ , $ \ ell (t) $ ) z rozwiązań pozycji $ r (t) $ , $ \ theta (t ) $ , $ \ phi (t) $ . Przekonasz się, że $ E (t) $ i $ \ ell (t) $ znacznie się różnią od wartości początkowych i pogarszać się.

Podczas pracy z równaniami Hamiltona błąd numeryczny wpłynie na twoje obliczenia, ale $ \ ell () $ będzie dokładnie taki sam na każdym kroku, a $ E (t) $ będzie bardziej stabilny, ponieważ jest funkcją stabilnego $ p $ oprócz $ q $ . Współrzędne pozycji nadal będą miały błąd numeryczny. Ale ponieważ $ E $ i $ \ ell $ są stabilne, współrzędne będą raczej chybotać się wokół prawdziwych wartości niż rozbieżne.

Niezwykle krótka i niewymieniona odpowiedź: pęd i pozycja w mechanice kwantowej (QM) stanowią reprezentację algebry Heisenberga w kategoriach operatorów unitarnych.W mechanice Newtona (NM) nie ma widocznej podstawowej struktury algebraicznej, ale w mechanice Hamiltona (HM) pęd i położenie również stanowią reprezentację algebry Heisenberga, tym razem w postaci funkcji rzeczywistych.Z tego teoretycznego punktu widzenia grupy, HM i QM są prawie nie do odróżnienia, podczas gdy QM wygląda jak magia w porównaniu z NM.

Klasycznym problemem mechaniki jest rozwiązanie równań ruchu dla danego układu Lagrangianu lub Hamiltona. W tym przypadku jest tylko kwestią wyboru, czy użyć do tego formalizmu Hamiltona czy Lagrange'a. Po znalezieniu rozwiązania zawiera się w nim wszystko, co trzeba wiedzieć o tym konkretnym systemie.

Ale co by było, gdyby ktoś chciał zadać bardziej fundamentalne pytania, czy istnieją właściwości układów fizycznych, które nie są specyficzne dla konkretnej formy hamiltonianu / lagranżianu, ale są raczej nieodłączne dla wszystkich systemów. Aby odpowiedzieć na to pytanie, należy rozwikłać matematyczną strukturę, która jest ogólna dla wszystkich systemów fizycznych. Właśnie wtedy sformułowanie Hamiltona różni się od sformułowania Lagrangianu: ogólna struktura, na której opiera się układ hamiltonowskich, nosi nazwę „rozmaitości symplektyczne” i okazuje się, że jej matematyka jest tak bogata, że ​​jest bardzo interesująca dla matematyki aż do ta data.

Najbardziej znanym przykładem ogólnej własności układów hamiltonowskich, która nie jest związana z określoną postacią hamiltonianu, jest twierdzenie Liouville'a, które stwierdza, że ​​przestrzeń fazowa jest zachowana w czasie. Intuicyjnie oznacza to, że informacje nigdy nie zostaną utracone w trakcie życia systemu.

Badanie dynamiki hamiltonowskiej / rozmaitości symplektycznych staje się szczególnie przydatne, gdy czasoprzestrzeń nie jest euklidesowa. Na przykład rozmaitości symplektyczne, a tym samym dynamika Hamiltona, nie istnieją na sferze $ S ^ {2n} $ dla n> 1. Więc to właśnie tego typu pytania można w naturalny sposób badać w układzie rozmaitości symplektycznej / hamiltonowskiej, a nie w formalizmie lagranżowskim.

Poniższa odpowiedź jest nieco „intuicyjna”, ale mam nadzieję, że nadal jest w większości poprawna lub przynajmniej skłania do myślenia. Przepraszam za brak rygoru. Planuję zapisać te myśli któregoś dnia w fajnym poście na blogu, to tylko szkic.

Nie jestem pewien, ale największym punktem koncepcji „Hamiltona” jest to, że dwa niezależne systemy Energii są addytywne.

Systemy nie oddziałujące można opisać za pomocą H1 + H2.

Przeszukałem tę stronę i nie zostało to opisane.

Dlaczego ta uzależnienie jest tak wielka?

Weźmy oscylatory harmoniczne

Przestrzeń fazowa to obwód koła

Energia jest proporcjonalna do promienia koła.

A więc obwód

A więc liczba mikropaństw

Więc S = -log (E) * c.

Dlaczego więc to taka wielka sprawa?

Ponieważ jeśli weźmiemy dwa oscylatory harmoniczne, to entropia staje się addytywna (rozległa).

Dlaczego więc to taka wielka sprawa?

Prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwa w dziennikach niezależnych systemów sumują się.

Zatem fizyczna niezależność i niezależność probabilistyczna w tym przypadku są takie same.

Tak więc fizyka statystyczna staje się możliwa do „zrobienia”.

To inne podejście do stwierdzenia zaakceptowanej odpowiedzi. Z teoretycznego punktu widzenia informacji.

Dlaczego niezależność to taka wielka sprawa?

Złożoność Kołmogorowa algorytmów opisujących przestrzeń fazową, a nawet ruch, jest addytywna. Więc to jest optymalne. W sensie brzytwy Ockhama.

Stąd formalizm hamiltonowski jest najbardziej optymalnym sposobem tworzenia teorii opisujących niezależne systemy.

Z tego punktu widzenia intuicyjnie jest zobaczyć, że teoria zaburzeń „działa”.

Jeśli zmiana energii jednego podsystemu jest niewielka (słabe zakłócenia), to przestrzeń fazowa nie staje się dużo większa, więc informacje, które mają być przechowywane w celu opisania zaburzonego układu, to niewiele więcej, ponieważ rozmiar przestrzeni fazowej niewiele się zmienia.

Tak więc to podejście oparte na teorii informacji daje intuicyjne wyjaśnienie, dlaczego teoria zaburzeń „działa”.

Z tego wynika również E = mc ^ 2 (do stałej). E = mc ^ 2 jest po prostu wyrażeniem, że jeśli jeden oscylator znika, to jego przestrzeń fazowa również zanika, a energia jest przenoszona do drugiego oscylatora, więc informacja jest zachowana. E = mc ^ 2 oznacza „po prostu” zachowanie informacji. Bez koncepcji Hamiltona to równanie i odpowiadająca mu zasada zachowania informacji nie istniałyby.

Zatem równanie Hamiltona jest ważne, ponieważ umożliwia traktowanie niezależnych systemów jako niezależnych w ramach teorii informacji (z której wynika probabilistyczne), jak to zasugerowano w pierwszym punkcie pierwszej odpowiedzi. Na tym opiera się mechanika statystyczna. Również termodynamika nie istniałaby z pojęciem energii. Ponieważ niezależne systemy są opisane przez ich energię, która jest rozległa, addytywna.

Co ciekawe, wszystkie rozległe zmienne w termodynamice są związane ze zmianą przestrzeni fazowej. Objętość rośnie, zmiany przestrzeni fazowej związane z objętością, energia kinetyczna maleje (zmniejsza się przestrzeń fazowa związana z pędem), w układach adiabatycznych, tak że całkowita zawartość informacji pozostaje stała (aw konsekwencji entropia).

Zatem bez energii nie ma Entropii, nie ma informacji, nie ma przestrzeni fazowej, nie ma E = mc ^ 2.

Dlaczego? Bez energii nie ma niezależności między izolowanymi systemami.

Dlaczego tak jest źle? Teorie (algorytmy) opisujące niezależne systemy mają addytywną złożoność Kołmogorowa. Bez koncepcji energii teorie nie miałyby tej właściwości, a zatem nie byłyby posłuszne brzytwu Ockhama, a zatem byłyby niepotrzebnie bardziej złożone niż potrzeba. Byłoby mniej poprawne.

W ramach teorii Solomonoffa to stwierdzenie może być uzasadnione.

W algorytmicznej teorii informacji (Leibniz, Kołmogorow, Chaitin) istnieje pojęcie „eleganckie programy”.Są to minimalne programy, które mogą wygenerować daną sekwencję binarną.Możemy dokonać analogii z fizyką lub jakąkolwiek inną teorią aksjomatyczną (analogię tę badał Chaitin).Formalizm Lagrangianu i Hamiltona (z zasadą działania min) reprezentuje minimalne ramy matematyczne, które mogą wyjaśnić wiele danych eksperymentalnych ze wszystkich dziedzin fizyki, od QFT do GR.Niestety w algorytmicznej teorii informacji udowodnienie, że program jest „elegancki”, nie jest trywialnym problemem.Idąc za tą analogią, czy formalizm Lagrangian / Hamiltonian jest najlepszy z możliwych, nie jest to problem trywialny.Aby odpowiedzieć na twoje pytanie, chodzi o „elegancję” lub minimalizm (w matematycznych aksjomatach / zasadach).