Najpierw ostrzeżenie: nie wiem zbyt wiele na temat topologii algebraicznej ani jej zastosowań w fizyce, ale znam kilka miejsc, więc mam nadzieję, że okażą się przydatne.

Topologiczne defekty w przestrzeni

Standardowym (ale bardzo ładnym) przykładem jest efekt Aharonova-Bohma, który uwzględnia solenoid i naładowaną cząstkę. Idealizując sytuację, pozwól elektromagnesowi być nieskończonym, aby uzyskać $ {\ mathbb R} ^ 3 $ z usuniętą linią.

Ponieważ cząstka jest naładowana i przekształca się w teorii cechowania $ U (1) $ . Dokładniej, jego faza będzie przebiegała równolegle na jego drodze. Jeśli ścieżka otacza solenoid, faza będzie nietrywialna, a jeśli jej nie obejmuje, faza będzie wynosić zero. Dzieje się tak, ponieważ $$ \ phi \ propto \ oint _ {\ part S} {\ mathbf A} \ cdot d {\ mathbf x} = \ int_S \ nabla \ times {\ mathbf A } \ cdot d {\ mathbf S} = \ int_S {\ mathbf B} \ cdot d {\ mathbf S} $$ i pamiętaj, że $ \ mathbf B $ znika poza solenoidem.

Puenta polega na tym, że z powodu powyższego argumentu współczynnik fazy jest topologicznie niezmiennikiem dla ścieżek, które biegną między dwoma stałymi punktami. Spowoduje to więc interferencję między topologicznie rozróżnialnymi ścieżkami (które mogą mieć inny współczynnik fazy).

Chwilówki

Jednym miejscem, w którym wyskakuje homotopia, są Instantony w teoriach cechowania.

W szczególności, jeśli weźmiesz pod uwagę teorię Yanga-Millsa w $ {\ mathbb R} ^ 4 $ (więc oznacza to czas euklidesowy ) i chcesz, aby rozwiązanie (które jest połączeniem) miało skończoną energię, wtedy jego krzywizna musi zniknąć w nieskończoności. Pozwala to na ograniczenie uwagi do $ S ^ 3 $ (stąd pochodzi termin instanton; jest zlokalizowany) i tutaj pojawia się homotopia, aby powiedzieć o nierównych topologicznie sposobach zawijania pola wokół $ S ^ 3 $ . Takie rzeczy są naprawdę ważne we współczesnej fizyce (zarówno QCD, jak i teoria strun), ponieważ instantony pozwalają ci mówić o zjawiskach nieperturbacyjnych w QFT. Ale obawiam się, że nie mogę powiedzieć nic więcej niż to. (mam nadzieję, że sam będę mógł lepiej przestudiować te rzeczy).

TQFT

Ostatni punkt (o którym prawie nic nie wiem) dotyczy Topologiczna teoria pola kwantowego, na przykład teoria Cherna-Simonsa. Te ponownie pojawiają się w teorii strun (podobnie jak cała współczesna matematyka). I znowu, przykro mi, że nie mogę jeszcze powiedzieć więcej niż to.

Operatory fermionów są posłuszne $ b ^ 2 ~ = ~ {b ^ \ dagger} ^ 2 $ $ = ~ 0 $. Jest to forma reguły d ^ 2 = 0. Supersymetria pozwala na kohomologię stanów $ \ psi ~ \ in ~ ker (Q) / im (Q) $, która jest kohomologią. $ Q $ jest posłuszne $ Q ^ 2 ~ = ~ 0 $, stany fizyczne są posłuszne $ Q \ psi ~ = ~ 0 $, ale gdzie $ \ psi ~ \ ne ~ Q \ chi $. To jest podstawa kwantyzacji BRST (Becchi, Rouet, Stora i Tyutin).

Sean ,

Przepraszam, że odpowiadam na stare pytanie, ale mam bardzo ładny przykład zastosowania zaawansowanej topologii algebraicznej w fizyce (to fizyka widziana w eksperymentach, a nie arbitralne teorie spekulatywne). To nowo odkryte „izolatory topologiczne”.

Można topologicznie sklasyfikować wolne hamiltoniany (macierze / operatory hermitowskie) jako funkcję różnych klas symetrii i wymiaru przestrzennego. Okazuje się, że można to zrobić za pomocą topologicznej teorii K (patrz układ okresowy w http://arxiv.org/abs/1002.3895; tabela 1 na stronie 8). okresowość w klasach symetrii i wymiarze, wywodząca się z okresowości Bottom złożonej teorii K (klasyfikacja złożonych wiązek wektorów do stabilnej równoważności). I istnieje ośmiokrotna okresowość w innych klasach symetrii wywodzących się z okresowości Bottom prawdziwej K-teorii. Zobacz więcej informacji tutaj: http://arxiv.org/abs/0901.2686 i http://iopscience.iop.org/1367-2630/12/6/065010 (bezpłatny dostęp dla obu).

Ponadto muszę wspomnieć, że klasy 10-symetrii matematycznie wywodzą się z klasyfikacji przestrzeni symetrycznych Cartansa, a etykiety w powyższej tabeli pochodzą z tej klasyfikacji.

(Właśnie zobaczyłem, że izolatory topologiczne zostały wymienione powyżej, ale nie te aspekty).

Marek i Eric udzielili dobrych odpowiedzi. Myślę, że wielu fizyków cząstek elementarnych po raz pierwszy zetknęło się z teorią homotopii w kontekście monopoli magnetycznych. Weź grupę mierników Modelu standardowego $ H = SU (3) \ times SU (2) \ times U (1) $ i umieść ją w grupie mierników GUT $ G $, na przykład $ SU (5) $ lub $ SO (10 ) $. Zakładając, że nie ma przypadkowej degeneracji, przestrzeń minimów potencjału zerwania symetrii to coset $ G / H $. Statyczne, skończone konfiguracje energii muszą zbliżać się do punktu w $ G / H $ w nieskończoności przestrzennej i dlatego są klasyfikowane według $ \ pi_2 (G / H) $ w zależności od tego, co jest równe $ \ pi_1 (H) $, pod warunkiem, że $ \ pi_1 (G) = 0 $ . Ponieważ $ \ pi_1 (H) = \ mathbb {Z} $ istnieje ładunek topologiczny o wartości całkowitej dla tych konfiguracji, który okazuje się być jednobiegunowym ładunkiem magnetycznym. Wykłady Sidneya Colemansa ( http://ccdb4fs.kek.jp/cgi-bin/img/allpdf?198211084) wyjaśniają to znacznie bardziej szczegółowo. Układy materii skondensowanej mają znacznie szerszy zakres pól "Higgsa" (tj. Parametrów porządku), a więc mają znacznie ciekawsze i bardziej skomplikowane wzorce łamania symetrii oraz znacznie bogatszą klasyfikację defektów topologicznych według grup homotopii. Mermin ma tutaj bardzo dobrą recenzję: http://rmp.aps.org/abstract/RMP/v51/i3/p591_1.

Innym zabawnym przykładem topologii stosowanej w fizyce jest trik z kohomologicznej teorii pola Wittena. Matematycy zwykle traktują to jako sposób na nowe przypuszczenia dotyczące topologii przestrzeni modułowych. Fizycy postrzegają to jako sposób wykorzystania topologii przestrzeni modułowych do ograniczonego sprawdzenia poprawności hipotez fizycznych.

Pomysł jest taki, że w niektórych teoriach supersymetrycznych można dopasować funkcje korelacji niektórych obserwabli w teorii fizycznej z funkcjami korelacji obserwabli w topologicznie skręconej wersji teorii fizycznej. Odpowiednie całki po ścieżce w teorii topologicznej „lokalizują się” na całki form różniczkowych nad przestrzeniami modułów rozwiązań równań chwilowych osadzonych w przestrzeni pól. Jest to niezwykłe: miara zdefiniowana w nieskończenie-wymiarowej przestrzeni rozkładów zostaje wsparta na leżącej w niej przestrzeni modułów o skończonych wymiarach, co jest cudownym anulowaniem. Te całki to „tylko” numery przecięcia, więc „hura! możemy dokonać dokładnych obliczeń w oryginalnej teorii fizycznej! ”. W większości przypadków te funkcje korelacji są „chronione”, podobnie jak niezmienniki BPS; pewna symetria sprawia, że ​​ich zachowanie jest bardzo regularne.

W szczegółach lokalizacji pojawia się wiele interesujących elementów matematycznych. Na przykład twierdzenia o indeksach pojawiają się, gdy liczysz mody fermionów zerowych, aby obliczyć wymiar zlokalizowanej przestrzeni.

Szukam podobnych przykładów. Podane przykłady są dobre - chcę tylko dodać jeszcze jeden, który niedawno odkryłem: Izolatory topologiczne

Trzy następujące artykuły physics.stackexchange:

(1) Uzgadnianie izolatorów topologicznych i porządku topologicznego

(2) Kohomologia grupowa i Topologiczne teorie pola

(3) Czy teoria kategorii i / lub logika kwantowa dodają wartości w fizyce?

zawierają przykłady zastosowań algebraicznych Topologia do fizyki.

Wszystkie przykłady Marka są dobre. (Musiałem napisać nową odpowiedź ze względu na ograniczoną ilość miejsca w komentarzach.) Chyba najlepszym miejscem do zbadania tego związku są Instantony. Równania Maxwella in vacuo odczytują dF = 0 id * F = 0, gdzie F jest tensorem natężenia pola. Ładunek cząstki (zgodnie z prawem Gaussa) można otrzymać obliczając całkę z * F na otaczającej kuli, podczas gdy ładunek magnetyczny (zawsze zero, ponieważ nie zaobserwowaliśmy jeszcze rzetelnie monopoli magnetycznych) jest całką z F Jeśli studiujesz topologię algebraiczną, F jest postacią Cherna połączenia zdefiniowanego przez pole miernika (potencjał wektora), a mianowicie reprezentuje pierwszą klasę Cherna w tej wiązce. To jest najlepszy przykład tego, jak klasa charakterystyczna - która mierzy topologiczny typ wiązki - pojawia się w fizyce jako liczba kwantowa, ładunek magnetyczny.

Rzeczywiście, w kwantowej teorii pola jesteśmy poinstruowani, aby integrować przez WSZYSTKIE połączenia, w tym dla różnych typów topologicznych wiązek - dzięki czemu przestrzeń konfiguracyjna ma różne komponenty. Minimalne (euklidesowe) konfiguracje energii w tych różnych składnikach nazywane są „instantonami”.

Istnieje wiele innych przykładów, które obejmują lekko egzotyczne teorie fizyki.

Teoria twistorów wykorzystuje kohomologię snopów, patrz np. Delikatne wprowadzenie do skrętników.

A sama teoria twistorów ma zastosowania do perturbacyjnej kwantowej teorii pola (amplitudy MHV).