Dobrą analogię do różnicy między nimi można podać na podstawie dwóch innych przykładów anomalii, które są prawdopodobnie bardziej znane.

Rozważmy teorię pola z globalną symetrią, weźmy $ U (1) $ dla uproszczenia. Na poziomie klasycznym równania ruchu prowadzą do istnienia prądu zachowawczego (twierdzenie Noether).

Na poziomie kwantowym zachowanie prądu jest ważne jako równanie operatorowe, a mianowicie w korelatorach w oddzielnych punktach . Te dwa efekty, powiązane, ale bardzo różniące się w swej naturze, nazywane anomaliami, to:

1) W korelatorach mogą istnieć terminy kontaktowe (tj. Terminy niezerowe tylko wtedy, gdy dwa lub więcej operatory w korelatorze są oceniane w tym samym punkcie), które nie uwzględniają równania operatora. W teorii pola 4D dzieje się to zwykle w korelatorach trzech obecnych operatorów. Jest to czasami określane jako anomalia 't Hoofta. Nie oznacza to zerwania symetrii, ponieważ zachowanie obecnego operatora jest nadal ważne w oddzielnych punktach i nadal otrzymuje się zachowany ładunek. Prowadzi to jednak do interesujących ograniczeń (współczynniki takich warunków kontaktowych muszą być zgodne między UV i IR, jeśli symetria nie zostanie przerwana wzdłuż przepływu RG).

2) Mogą wystąpić efekty kwantowe (możesz można o nich myśleć jako o poprawkach pętli, zakładając, że jesteśmy w sytuacji perturbacyjnej), które naruszają równanie operatora nawet w oddzielnych punktach . W tym przypadku symetria jest zerwana, podobnie jak w przypadku dodania terminu w Lagrange'a, który nie przestrzega symetrii. Nie ma już oszczędzonej opłaty.

Relację między 1) a 2) można wyjaśnić na nieco udoskonalonym przykładzie. Przyjmijmy, że globalna symetria to $ U (1) ^ 2 $ . Niż możesz mieć anomalię typu 1) w korelatorze obejmującym jeden prąd pierwszego $ U (1) $ i dwa prądy drugiego $ U (1) $ . Teraz załóżmy, że zmodyfikujemy teorię poprzez zmierzenie drugiego $ U (1) $ , tj. Sprzężenie prądu drugiego $ U ( 1) $ do dynamicznych pól mierników. W nowej teorii ocenianej pierwszy element $ U (1) $ jest łamany przez anomalię typu 2). Dywergencja jego prądu jest teraz niezerowa i jest określona przez gęstość Pontrjagina pól miernika drugiego $ U (1) $ .

Pierwszy przykład anomalii śladowych, o którym mówisz, jest analogiem 1), podczas gdy drugi jest analogiem 2), kiedy zamiast globalnego $ U (1) $ bierzemy pod uwagę symetrię dylatacji. Pierwszy przykład nie stanowi naruszenia symetrii, jest to po prostu stwierdzenie, że pewne wyrazy kontaktowe w korelatorach z wielokrotnymi wstawieniami tensora pędu energii nie są zgodne z warunkiem bezśladowości. Drugi przykład to prawdziwe naruszenie symetrii. Analogia do symetrii $ U (1) $ nie zachodzi, gdy próbujemy powiązać 1) z 2), ponieważ odpowiednik „sprzężenia prądu z miernikiem field ”wprowadziłoby dynamiczną grawitację, która oddala nas od dziedziny kwantowej teorii pola.

Ta analogia staje się bardzo konkretna w teoriach supersymetrycznych. Tam tensor energii i pędu należy do tego samego multipletu prądu związanego z tak zwaną R-symetrią. Supersymetria wiąże anomalię 't Hoofta tego prądu z pierwszym rodzajem anomalii śladowych, o których mówisz (tj. Mają ten sam współczynnik). Co więcej, gdy symetria dylatacji zostanie złamana przez sprzęgło miernika przez anomalię śladową drugiego typu, o której mówisz, wówczas prąd ma anomalię typu 2). Ponownie, anomalia śladowa i anomalia bieżąca mają ten sam współczynnik dzięki supersymetrii.

Te dwa rodzaje anomalii śledzenia są powiązane, ale różne. Pierwsza z nich to anomalia w transformacjach Weyla, która pojawia się po umieszczeniu CFT na zakrzywionym tle. CFT jest nadal dokładnie niezmienna konformalnie w płaskiej przestrzeni, ale ta symetria jest łamana przez pole grawitacyjne tła. Warto pomyśleć o CFT w dwóch wymiarach, takich jak swobodny bezmasowy skalar. W przypadku tych teorii, jeśli przeskalujesz metrykę przez współczynnik konformalny $ \ exp (2 \ omega) $, to funkcja partycji jest niezmienna aż do wyrażenia Liouville'a, $ Z [\ exp (2 \ omega) \ delta_ {ab} ] = Z [\ delta_ {ab}] \ exp (\ int R \ Box ^ {- 1} R) $, gdzie pominąłem czynniki takie jak 48 i $ \ pi ^ 2 $. Możesz to zobaczyć używając regularyzacji wymiarowej, jeśli chcesz wykonać obliczenia.

Drugi rodzaj anomalii śledzenia, o który pytałeś, jest nazywany anomalią operacyjną i występuje nawet w płaskiej przestrzeni. Dzieje się tak, gdy masz teorię, która jest klasycznie niezmienna konformalnie, ale nie kwantowo. Podałeś dobry przykład teorii cechowania (chociaż teoria wolnego pola Maxwella w rzeczywistości nie jest CFT poza 4 wymiarami! Patrz http://arxiv.org/pdf/1101.5385.pdf ). Innym dobrym przykładem jest teoria arkusza świata dla teorii strun na zakrzywionym tle, tj. Nieliniowy model sigma.

Ogólnie teoria pola ma oba rodzaje anomalii śladowych. Jeśli jest to CFT, to nie ma rodzaju operatora.

P.S. poprosiłeś również o zastosowanie anomalii śledzenia operacyjnego. To jest tylko funkcja beta teorii i wynika z niej cała teoria grupy renormalizacji. Najbardziej znanym zastosowaniem tego w fizyce cząstek elementarnych jest prawdopodobnie wykorzystanie asymptotycznej swobody do zrozumienia zachowań wysokoenergetycznych w QCD przy słabym sprzężeniu.