Pozwólcie, że wyjaśnię pewne niejasności w zapisie, do którego nawiązywały inne odpowiedzi, ale nie zostały wyraźnie wymienione.

Historycznie fizycy lubili mówić o dwóch różnych definicjach masy

• Pierwsza to masa spoczynkowa cząstki $ m_0 $. To jest masa cząstki w stanie spoczynku. Na przykład masa spoczynkowa elektronu to $ (m_0) _ {elektron} = 9,1 \ times 10 ^ {- 31} ~ Kg $. Jest to stała absolutna niezależna od prędkości cząstki.

• Druga to masa relatywistyczna $ m $. To jest pozorna masa cząstki, gdy porusza się z prędkością $ v $. Jest powiązany z masą spoczynkową poprzez relację $$ m = \ gamma m_0 = \ frac {m_0} {\ sqrt {1-v ^ 2 / c ^ 2}} $$ Zauważ, że masa relatywistyczna NIE jest stałą. To zależy od $ v $.

W tym zapisie historycznym słynna formuła Einsteina, która jest całkowicie poprawna we wszystkich ramkach, to $$ E = mc ^ 2 $$ Jednakże okazuje się poprzez serię algebraicznych manipulacji, że to równanie implikuje również $$ E ^ 2 = (m_0 c ^ 2) ^ 2 + (pc) ^ 2 $$ Udowodnijmy to. $ p $ jest pędem cząstki zdefiniowanym przez $ p = m v = \ gamma m_0 v $. Zatem $$ (m_0 c ^ 2) ^ 2 + (pc) ^ 2 = m_0 ^ 2 c ^ 4 + \ gamma ^ 2 m_0 ^ 2 v ^ 2 c ^ 2 = m_0 ^ 2 c ^ 4 \ left (1 + \ frac {\ gamma ^ 2 v ^ 2} {c ^ 2} \ right) $$ Teraz mamy właściwość $$ 1 + \ frac {\ gamma ^ 2 v ^ 2} {c ^ 2} = 1 + \ frac {\ frac {v ^ 2} {c ^ 2}} {\ left (1 - \ frac {v ^ 2} {c ^ 2} \ right)} = \ frac {1} {\ left (1 - \ frac {v ^ 2} {c ^ 2} \ right)} = \ gamma ^ 2 $$ Zatem $$ (m_0 c ^ 2) ^ 2 + (pc) ^ 2 = m_0 ^ 2 c ^ 4 \ gamma ^ 2 = (\ gamma m_0) ^ 2 c ^ 4 = m ^ 2 c ^ 4 = (mc ^ 2) ^ 2 = E ^ 2 $$ Zatem, podsumowując, w notacji historycznej mamy dwie całkowicie równoważne formuły $$ \ boxed {E ^ 2 = (mc ^ 2) ^ 2 = (m_0 c ^ 2) ^ 2 + (pc) ^ 2} $$

We współczesnej notacji fizycy zdecydowali się porzucić dyskusję na temat relatywistycznej masy $ m $, ponieważ nie jest ona stałą absolutną i zależy od prędkości cząstki. Obecnie mówimy tylko o masie spoczynkowej, $ m_0 $. Jednak w mylącej zmianie notacji fizycy zdecydowali się dziś użyć $ m $ na masę spoczynkową (co w dzisiejszym zapisie wcale nie jest mylące, ponieważ nie mówimy o masie relatywistycznej, ale często jest mylące dla studentów, którzy próbują porównaj oryginalne prace Einsteina z dzisiejszymi książkami).

Po dzisiejszej notacji mamy tylko JEDNO równanie, mianowicie $$ \ boxed {E ^ 2 = (mc ^ 2) ^ 2 + (pc) ^ 2} $$ gdzie w powyższym równaniu $ m $ jest teraz masą spoczynkową.

Oba są poprawne, w dziedzinach, dla których są poprawne.

Mówiąc poważnie, ogólna relacja

$$ E ^ 2 = m ^ 2c ^ 4 + p ^ 2c ^ 2 $$

zachowuje wszystkie obiekty, niezależnie od tego, czy mają masę, czy nie, czy się poruszają czy nie.

Przypadek specjalny $ E = mc ^ 2 $ jest dla $ p = 0 $, czyli obiektów, które nie poruszają się, jak powiedziałeś.

Specjalny przypadek $ E = pc $ dotyczy obiektów, które nie mają masy, tj. fotonów .

Zgadzam się z odpowiedzią ACuriousMind, ale myślę, że warto pomyśleć o tym w ten sposób ....

$ E ^ 2 = m_0 ^ 2c ^ 4 + p ^ 2c ^ 2 = m ^ 2c ^ 4 $

gdzie $ m_0 $ to masa spoczynkowa, a $ m $ to masa relatywistyczna (lub masa inercyjna), zdefiniowana jako $ m = \ gamma m_0 = m_0 / \ sqrt { 1 - v ^ 2 / c ^ 2} $.

Relatawistyczna masa rośnie wraz ze wzrostem pędu masy. W spoczynku te dwa są sobie równe. Wraz ze wzrostem prędkości obiektu i jego pędu rośnie masa obiektu.

więc myślę o tym jako

$ E ^ 2 = m_0 ^ 2c ^ 4 + p ^ 2c ^ 2 $

i

$ E = mc ^ 2 $

Równanie $$ E ^ 2 = (mc ^ 2) ^ 2 + (pc) ^ 2 $$ przedstawia poprawną zależność energia-pęd. Daje całkowitą energię $ E $ dla obiektu o niezmiennej masie (masa spoczynkowa) $ m $, który porusza się z pędem $ p $. To równanie ma zastosowanie niezależnie od tego, czy obserwuje się, że obiekt jest w ruchu ($ p \ ne 0 $), czy w stanie spoczynku ($ p = 0 $). W tym drugim przypadku równanie energii i pędu upraszcza się do dobrze znanego $ E = mc ^ 2 $.

Na marginesie (niektórzy mogą to nazwać czepianiem się), omawiając rodzaje generyczne energii równanie pędu, dobrze jest napisać równanie w taki sposób, aby obie strony równania były niezależne od wybranej ramy obserwacji: $$ E ^ 2 - (pc) ^ 2 = (mc ^ 2) ^ 2 $$ Ta sama matematyka , inna fizyka. (Zwróć uwagę, że ta relatywistycznie niezmienna zależność jest po prostu wyrażeniem na kwadratową normę czterowektora energii i pędu).

Wszystkie pozostałe odpowiedzi są świetne i bardzo polecam je przeczytać. Myślę jednak, że czegoś brakuje, jeśli nie próbujesz uzyskać intuicyjnego zrozumienia geometrii:

Ten trójkąt pokazuje, że równanie $ E ^ 2 = (mc ^ 2) ^ 2 + (pc) ^ 2 $ można przedstawić za pomocą czegoś w rodzaju odwrotności Twierdzenie Pitagorasa. Specjalny przypadek $ E = mc ^ 2 $ można znaleźć, ustawiając wartość $ p $ na zero, i wygląda na to, że $ pc $ bok trójkąta ma zerowy rozmiar, zmieniając kształt na linię z $ E $ na górze i $ mc ^ 2 $ na dole. Podobnie dla światła możemy pokazać specjalny przypadek $ E = pc $ , ustawiając masę spoczynkową $ m $ na zero, co przekształca trójkąt w pionową linię z $ E $ po lewej stronie i $ pc $ po prawej stronie.

Wiele z tego to z trudem zdobyte spostrzeżenia po kilku dekadach niezależnych badań. Przyjrzyj się temu i myślę, że może się okazać, że jest tu coś bardzo przydatnego.

Drugą zasadę Newtona można zapisać:

$$ \ frac {\ text {Impulse}} {\ text {mass}} = \ text {Zmiana prędkości}. $$

Ale w mechanice relatywistycznej mamy

• Impuls / masa (w ls / s) = $ \ sinh (w) $,
• Zmiana prędkości (w ls / s) = $ \ tanh (w) $
• Współczynnik dylatacji czasu / skurczu długości (w s / s lub ls / ls) = $ \ cosh (w) $

gdzie $ w $ to szybkość. Gdy szybkość jest mała, $ \ sinh (w) = \ tanh (w) = w $

Część tego możesz zobaczyć w $$ E ^ 2 = p ^ 2 c ^ 2 + (mc ^ 2) ^ 2 $$

Więc to równanie jest w istocie hiperbolicznym ekwiwalentem trygonometrycznym twierdzenia Pitagorasa.

$$ (mc ^ 2) ^ 2 \ cosh ^ 2 (w) = (mc ^ 2) ^ 2 \ sinh ^ 2 (w) + (mc ^ 2) ^ 2 $$

lub

$$ (mc ^ 2) ^ 2 \ gamma ^ 2 = (mc ^ 2) ^ 2 \ left (\ frac {\ text {impuls}} {\ text {masa}} \ text {(w ls / s)} \ right) ^ 2 + (mc ^ 2) ^ 2 $$

Możesz również uzyskać energię kinetyczną z tego równania, odejmując 1 od współczynnika dylatacji czasu i mnożąc wynik przez $ mc ^ 2 $. Równanie to nie jest szczególnie przydatne do tego celu przy niskich prędkościach, ponieważ współczynnik dylatacji czasu $ \ gamma $ będzie wynosić około 1,00000000004 i nie będzie pasował do twojego kalkulatora.

Gdy już potwierdzisz, że to wszystko jest naprawdę hiperboliczną trygonią, jeśli znajdziesz kalkulator z łatwym dostępem do hiperbolicznych funkcji trygonometrycznych, znacznie łatwiej będzie Ci nadać prędkość.