Jest jeszcze inny fajny sposób spojrzenia na to matematycznie. Nietrudno wykazać, że w ramie korpusu zachowały się dwie wielkości: kwadrat wektora pędu $$ L ^ 2 = L_1 ^ 2 + L_2 ^ 2 + L_3 ^ 2 $$ i obrotowa energia kinetyczna, która okazuje się być $$ T = \ frac {1} {2} \ left (\ frac {L_1 ^ 2} {I_1} + \ frac {L_2 ^ 2} {I_2} + \ frac {L_3 ^ 2} {I_3} \ right). $$ (Zwróć uwagę, że moment pędu $ \ vec {L} $ sam nie jest zachowany w ramie korpusu; ale tak się składa, że ​​jego kwadrat jest stały).

Następnie możemy zadać pytanie: Jakie są dozwolone wartości $ \ vec {L} $ dla podanych wartości $ L ^ 2 $ i $ T $? Łatwo zauważyć, że ograniczenie $ L ^ 2 $ oznacza, że ​​$ \ vec {L} $ musi leżeć na powierzchni kuli; i prawie tak łatwo jest zobaczyć, że ograniczenie $ T $ oznacza, że ​​$ \ vec {L} $ musi również leżeć na powierzchni danej elipsoidy, z głównymi osiami $ \ sqrt {2TI_1} > \ sqrt {2T I_2} > \ sqrt {2T I_3} $. Zatem dozwolone wartości $ \ vec {L} $ muszą leżeć na przecięciu kuli i elipsoidy. Jeśli utrzymamy $ L ^ 2 $ ustalone i wygenerujemy kilka tych krzywych dla różnych wartości $ T $, wyglądają one następująco:

Zauważ, że dla danej wartości $ L ^ 2 $, obiekt będzie miał najwyższą możliwą energię kinetyczną podczas obracania się wokół osi z najniższym momentem bezwładności i odwrotnie.

Załóżmy zatem, że obiekt obraca się wokół osi swojego największego momentu bezwładności. Jeśli zaburzymy ten obiekt tak, że nieznacznie zmienimy jego energię (zakładając na potrzeby argumentacji, że $ L ^ 2 $ pozostaje stałe), to zobaczymy, że wektor $ \ vec {L} $ będzie teraz leżał na stosunkowo małej krzywej w pobliżu jego pierwotnej lokalizacji. Podobnie, jeśli obiekt obraca się wokół swojej osi o najniższej bezwładności, $ \ vec {L} $ pozostanie stosunkowo blisko swojej pierwotnej wartości, gdy zostanie zakłócony.

Sytuacja jest jednak znacznie inna, gdy obiekt obraca się początkowo wokół osi pośredniej (trzeci czerwony punkt na powyższym schemacie, na „przedniej stronie” kuli. Kontury lekko zakłóconego $ T $ w pobliżu tegonie nie pozostawać w pobliżu osi pośredniej; wędrują po całej kuli. Nic więc nie powstrzymuje $ \ vec {L} $ przed wędrowaniem po całej tej kuli, jeśli nieco odsuniemy obiekt od obracaniawokół tej osi; co oznacza, że obiekt obracający się wokół swojej osi pośredniej jest niestabilny.

Istnieje alternatywa dla metody @MichaelSeifert, która wykorzystuje moment pędu i momenty bezwładności: zajmuje się wektorem $ \ vec \ omega $ bezpośrednio, ponieważ interesuje nas ewolucja tego wektora.

Można wyrazić energię kinetyczną i długość do kwadratu $ \ vec L $ jako \ begin {align} T& = \ frac {1} {2} \ left (I_1 \ omega_1 ^ 2 + I_2 \ omega_2 ^ 2 + I_3 \ omega_3 ^ 2 \ right) \\ \ vec L \ cdot \ vec L& = I_1 ^ 2 \ omega_1 ^ 2 + I_2 ^ 2 \ omega_2 ^ 2 + I_3 ^ 2 \ omega_3 ^ 2 \ end {align} Te dwa równania definiują różne elipsoidy w $ \ omega $ -space. Ponieważ $ \ vec \ omega $ ma trzy składniki, ale tylko dwa ograniczenia, ograniczenia nie wystarczają do całkowitego określenia $ \ vec \ omega $. Raczej ewolucja $ \ vec \ omega $ musi leżeć na przecięciu linii tych dwóch elips, co ilustruje czarna linia na rysunku. (Zielona elipsa jest stała $ \ vec L \ cdot \ vec L $, a żółta stała $ T $.)

To tutaj przecięcie ma z grubsza kształt spłaszczonego banana, z dłuższym bokiem w kierunku $ \ omega_2 $.

Tak więc, podczas ewolucji, wierzchołek $ \ vec \ omega $ może poruszać się wzdłuż tego przecięcia, jednocześnie utrzymując stałą energię i $ \ vec L \ cdot \ vec L $. Rysunek ilustruje przypadek, w którym $$ I_1 = 4, \ quad I_2 = 3/2, \ quad I_3 = 1 $$ z $ T = 5/2 $ i $ \ vert \ vec L \ vert = 2,45 $.

Na rysunku widać, że jeśli zaczniemy od przecięcia na górze, ewolucja $ \ omega_3 $ jest dość ograniczona (i nie może zmienić znaku), że ewolucja $ \ omega_1 $ jest również dość ograniczone, ale składnik $ \ omega_2 $ jest znacznie większy (w zasadzie cała długość spłaszczonego banana). Stąd jakościowo mówiąc , obrót wokół środkowej osi jest niestabilny , ponieważ $ \ omega_2 $ nie musi pozostawać blisko swojej wartości początkowej.

(Ten sam argument działa dla składników $ L_k = \ omega_k I_k $ w figurze MichaelaSeiferta, z tym wyjątkiem, że w jego przypadku $ L_1 $ nie zmieni znaku, ale $ L_3 $ może zmienić znak w pobliżu hiperbolicznego punktu stałego.)

Mój profesor fizyki pomógł nam to sobie wyobrazić za pomocą rakiety tenisowej

Obracanie się z osią wzdłuż rączki jest stabilne.

Kręcenie się w płaszczyźnie rakiety jest stabilne.John McEnroe często rzucał rakietami w ten sposób.

Obracanie się w drugą stronę, tak jak wymachiwanie rakietą, jest niestabilne.Niezależnie od tego, jak ostrożnie odwracasz rakietę, rakieta obraca się również w drugą stronę, zanim wróci do Twojej dłoni.

Jeśli nie masz dostępu do rakiety do gry: https://www.youtube.com/watch?v=4dqCQqI-Gis