Nie będę się zagłębiał w teoretyczne szczegóły - Luboš ad Marek zrobił to lepiej niż jestem w stanie.
Zamiast tego podam przykład: załóżmy, że musimy obliczyć tę całkę:

$ \ int d \ Omega (Y_ {3m_1}) ^ * Y_ {2m_2} Y_ {1m_3} $

Tutaj $ Y_ {lm} $ - to sferyczne harmoniczne i całkujemy po sferze $ d \ Omega = \ sin \ theta d \ theta d \ phi $.

Tego rodzaju całki pojawiają się w kółko, powiedzmy, w problemach spektroskopii. Obliczmy to dla $ m_1 = m_2 = m_3 = 0 $:

$ \ int d \ Omega (Y_ {30}) ^ * Y_ {20} Y_ {10} = \ frac {\ sqrt {105}} {32 \ sqrt {\ pi ^ 3}} \ int d \ Omega \ cos \ theta \, (1-3 \ cos ^ 2 \ theta) (3 \ cos \ theta-5 \ cos ^ 3 \ theta) = $

$ = \ frac {\ sqrt {105}} {32 \ sqrt {\ pi ^ 3}} \ cdot 2 \ pi \ int d \ theta \, \ left (3 \ cos ^ 2 \ theta \ sin \ theta-14 \ cos ^ 4 \ theta \ sin \ theta + 15 \ cos ^ 6 \ theta \ sin \ theta \ right) = \ frac {3} {2} \ sqrt {\ frac {3} {35 \ pi}} $

Ciężka praca, co? Problem polega na tym, że zwykle musimy to oszacować dla wszystkich wartości $ m_i $. To jest 7 * 5 * 3 = 105 całek. Więc zamiast robić je wszystkie, musimy wykorzystać ich symetrię. I właśnie w tym miejscu przydatne jest twierdzenie Wignera-Eckarta:

$ \ int d \ Omega (Y_ {3m_1}) ^ * Y_ {2m_2} Y_ {1m_3} = \ langle l = 3, m_1 | T_ {2m_2} | l = 1, m_3 \ rangle = C_ {m_1m_2m_3} ^ {3 \, 2 \, 1} (3 || Y_2 || 1) $

$ C_ {m_1m_2m_3} ^ {j_1j_2j_3} $ - - to współczynniki Clebscha-Gordana

$ (3 || Y_2 || 1) $ - to zredukowany element macierzy, który możemy wyprowadzić z naszego wyrażenia dla $ m_1 = m_2 = m_3 = 0 $:

$ \ frac {3} {2} \ sqrt {\ frac {3} {35 \ pi}} = C_ {0 \, 0 \, 0} ^ { 3 \, 2 \, 1} (3 || Y_2 || 1) \ quad \ Rightarrow \ quad (3 || Y_2 || 1) = \ frac {1} {2} \ sqrt {\ frac {3} { \ pi}} $

Ostateczna odpowiedź na naszą całkę to:

$ \ int d \ Omega (Y_ {3m_1}) ^ * Y_ {2m_2} Y_ {1m_3} = \ sqrt {\ frac {3} {4 \ pi}} C_ {m_1m_2m_3} ^ {3 \, 2 \, 1} $

To jest zredukowane do obliczenia współczynnika Clebscha-Gordana i tam jest wiele tabel, programów, formuł redukcyjnych i sumujących do pracy z nimi.

Po pierwsze, twierdzenie WE jest po prostu prostym stwierdzeniem (proszę o cierpliwość, wiem, że twierdzenie to może wydawać się groźne, jeśli nie zostanie odpowiednio wyjaśnione) o rozkładzie iloczynu tensorowego reprezentacji na jego nieredukowalne składniki.

Załóżmy, że mamy grupę $ G $ i operator tensora $ A_r $ przekształcający się pod (n nieredukowalną) reprezentacją $ \ Gamma ^ 1 $ ($ r $ licząc liczbę składowych operatora, np. 3 dla zwykły moment pędu w 3 wymiarach). Przypuśćmy również, że masz dodatkową (nieredukowalną) reprezentację $ \ Gamma ^ 2 $ z podstawą $ \ left \ {\ left | \ psi_n \ right> \ right \} $. Łatwo jest sprawdzić, czy wektory $ \ Psi_ {rn} \ equiv A_r \ left | \ psi_n \ right> $ przekształcają jako iloczyn tensorowy $ \ Gamma ^ 1 \ otimes \ Gamma ^ 2 $.

W dalszej części użyjemy, że grupa $ G $ jest zwarta, aby móc rozłożyć jej reprezentacje na nieredukowalne składniki. Można to osłabić, ale generalnie reprezentacje grup niezwartych nie muszą być redukowane do ich nieredukowalnych składników; za teorią reprezentacji grup niezwartych stoi dość subtelna matematyka; nawet pozornie proste, takie jak $ SL (2, \ mathbb {R}) $.

Więc zdekomponujemy reprezentację na $$ \ Gamma ^ 1 \ otimes \ Gamma ^ 2 = \ bigoplus _ {\ alpha} \ Gamma ^ {\ alpha} $$ gdzie $ \ alpha $ przebiega przez nieredukowalne reprezentacje $ G $ (prawdopodobnie powtórzone). Sprowadza się to do znalezienia bardziej odpowiedniej podstawy dla wektorów $ \ Psi_ {rn} $. Na tej podstawie napiszemy $ \ Phi _ {\ alpha m} $ (z $ m $ indeksując składniki reprezentacji $ \ Gamma ^ {\ alpha} $). Wtedy możemy napisać $$ \ Psi_ {rn} = \ sum _ {\ alpha, m} U ^ {\ alpha m} _ {rn} \ Phi _ {\ alpha m} $$.

A teraz wracając do problemu: jesteśmy zainteresowani obliczeniem jakiegoś elementu, takiego jak $ \ left< \ omega_k \ right | A_r \ left | \ psi_n \ right> $ z $ \ omega_k $ przekształcającym w jakąś reprezentację $ \ Gamma ^ 3 $. Dzięki relacjom ortogonalności Schura i temu, że zdekomponowaliśmy $ A_r \ left | \ psi_n \ right> $ w jego nieredukowalne składniki, widzimy, że aby ten element był niezerowy, w rozkładzie $ \ Gamma ^ {\ alpha} $ musi być reprezentacja $ \ Gamma ^ 3 $. To już oszczędza wiele obliczeń. Jeśli nie ma tam $ \ Gamma ^ 3 $, to skończymy, wszystkie te elementy będą miały wartość zero. A jeśli jest obecny, musimy przeprowadzić tylko obliczenia odpowiadające tylko części $ \ Gamma ^ 3 $ rozkładu (która zwykle będzie małą częścią całości).

OK, ja myślę, że powyższe mogło być trochę zagmatwane, więc spróbujmy przykładu. Kanoniczny to oczywiście $ SO (3) $. Załóżmy, że chcemy obliczyć coś takiego jak $ \ left<j m \ right | \ mathbf X \ left | j 'm' \ right> $, gdzie $ \ mathbf X $ jest operatorem pozycji (który przekształca się pod $ SO (3) $ vector irrep). Więc interesuje nas zrobienie iloczynu tensorowego $ {\ mathbf 3} \ otimes (\ mathbf {2j +1}) $, który można wykazać jako równy $ (\ mathbf {2j-1}) \ oplus (\ mathbf {2j + 1}) \ oplus (\ mathbf {2j + 3}) $ (zakładając, że $ j $ jest wystarczająco wysokie dla uproszczenia). Tak więc $ j '$ musi być równe jednemu $ j-1, j, j + 1 $, a ponadto $ m = m_X + m' $ (jeśli $ \ mathbf X $ jest zapisane w ukośnej podstawie reprezentacji wektorowych jeden można go rozłożyć na operatory o wartościach własnych m_X = -1, 0, 1 $) będzie musiał być utrzymany (jest to ponownie konsekwencja relacji ortogonalności).

W każdym razie najważniejsza kwestia (przynajmniej dla mnie) dotyczy rozkładu iloczynu tensorowego na składniki nieredukowalne . Przypuśćmy, że możesz przeprowadzić ten rozkład (który czasami może być dość trudny), obliczenia elementów macierzy znacznie się uproszczą i możesz od razu zdecydować, czy jakaś cząsteczka o danej symetrii będzie promieniować w podczerwieni (co sprowadza się do macierzy obliczeniowej elementy operatora dipolowego między stanami własnymi tej cząsteczki). Jestem pewien, że możesz sobie wyobrazić wiele innych podobnych rzeczy, które możesz obliczyć samodzielnie. Zastosowania tego twierdzenia są prawie nieograniczone.

Twierdzenie Wignera-Eckarta

http://en.wikipedia.org/wiki/Wigner_Eckart_theorem

jest wzór, który mówi nam o wszystkich „prostych ograniczeniach” tej teorii grup - matematycznym wcieleniu mądrości na temat symetrii, szczególnie w przypadku $ SO (3) \ ok. SU (2) $ (obroty w przestrzeni trójwymiarowej) - implikuje o elementach macierzy operatorów tensorowych - tych, które przekształcają się jako pewna reprezentacja tej samej symetrii.

Zależność od indeksów oznaczających wektory bazowe reprezentacji - $ m_1, m_2, m_3 $ w $ SU ( 2) $ case - jest całkowicie zdeterminowane. Zamiast myśleć, że niektóre elementy macierzy zależą od wielu zmiennych, fizycy mogą zdać sobie sprawę, że symetria gwarantuje, że elementy macierzy zależą tylko od kilku etykiet oznaczających całe „multiplety” stanów i operatorów, a nie od wszystkich etykiet identyfikujących poszczególne składniki . Zawsze niezwykle ważne jest, aby wiedzieć, ile swobody lub niepewności jest co do niektórych obserwowalnych - na przykład eksperymentatorzy nie chcą powtarzać swojego eksperymentu $ (2J + 1) ^ 3 $ razy bez dobrego powodu - a otrzymalibyśmy całkowicie błędny pomysł bez tego twierdzenia.

Aby zobaczyć, że twierdzenie jest używane przez cały czas, sprawdź np tych 5700 artykułów

http://scholar.google.com/scholar?q=wigner-eckart+theorem&hl=en&lr=&btnG=Search

wiele z nich jest często cytowanych. Tematyka artykułów obejmuje optykę, nanorurki, promieniowanie rentgenowskie, spektroskopię, fizykę materii skondensowanej, fizykę matematyczną obejmującą układy całkowalne, chemię kwantową, fizykę jądrową i praktycznie wszystkie inne gałęzie fizyki zależne od mechaniki kwantowej. W wielu innych przypadkach używa się twierdzenia bez wymieniania jego nazwy, a jego uogólnienia stosuje się cały czas w zaawansowanej fizyce teoretycznej, np. w kontekstach z grupami, które są znacznie bardziej skomplikowane niż $ SO (3) \ ok. SU (2) $.

Warto zauważyć, że w pewnym sensie mechanika kwantowa pozwala na nałożenie przez symetrię tylu ograniczeń jak fizyka klasyczna. W fizyce klasycznej moglibyśmy zacząć od stanu początkowego oznaczonego liczbami $ I_i $, zastosować pewne operacje w zależności od parametrów $ O_j $ i otrzymać stan końcowy opisany parametrami $ F_k $. Fizyka klasyczna powiedziałaby nam tak / nie - czy możemy uzyskać od $ I_i $ przez $ O_j $ do $ F_k $: to jest odpowiednik kwantowej amplitudy prawdopodobieństwa.

Obrotowe $ SO (3) $ symetria - która ma 3 parametry (3 niezależne obroty - lub szerokość geograficzną; długość osi i kąt) powiedziałaby nam tylko, że jeśli obrócimy wszystkie obiekty $ I_i, O_j, F_k $ o ten sam obrót, otrzymamy poprawną propozycja ponownie (Tak oznacza Tak, Nie oznacza Nie). Zatem zależność od 3 parametrów - odpowiadających 3 obrotom - zostaje wyeliminowana. W mechanice kwantowej eliminujemy również zależność od 3 parametrów - w tym przypadku $ m_1, m_2, m_3 $, projekcji $ j_z $ dla dwóch wektorów stanu i operatora umieszczonego między nimi. Wydaje mi się, że jest to prawdą dla dowolnej $ d $ -wymiarowej grupy symetrii.

A jeśli interesuje cię to, „gdzie” może się to przydać: można z niego uzyskać niektóre reguły wyboru przejść optycznych i słabo przypominam sobie, że pomaga to przepisać hamiltonian dla sprzężenia spin-orbita na znacznie bardziej wygodna forma.

1) Pamiętaj, że operator tensorowy to zbiór (tj. zbiór 2j + 1) operatorów, które przekształcają się między sobą w ramach transformacji grupowej (trzymajmy się SU (2) lub SO (3)) lub komutacji z generatorami su (2) lub su (3) (jeśli użyjemy transformacji nieskończenie małej).

2) Twierdzenie Wignera-Eckarta ostatecznie stwierdza, że ​​niektóre operatory (składniki operatora tensora) można zapisać w terminach współrzędne sferyczne jako wspólna funkcja zmiennej radialnej r pomnożonej przez sferyczną harmoniczną określoną przez składową.

3) Najprostszymi przykładami są obserwable x, yiz, które można zapisać jako r * (sferyczna harmoniczna $ Y_ {1m} $), v.g. $ z = r \ cos (\ theta) \ propto r Y_ {10} (\ theta, \ phi) $.
Typową funkcją jest tutaj r. W przypadku bardziej skomplikowanych operatorów napotykane są bardziej skomplikowane funkcje, ale głównym punktem jest to, że składowe operatora tensorowego momentu pędu L mają zawsze postać $ f (r) Y_ {LM} $, mając wspólne f (r) i różne składowe M.

4) Ponieważ funkcja f (r) jest wspólna dla wszystkich składowych, całkę radialną między różnymi stanami bazowymi można oszacować za pomocą dowolnej składowej tensora, tj. dowolnej składowej M. Ta całka radialna jest w zasadzie zredukowanym elementem macierzy (lub przynajmniej bardzo blisko spokrewnionym z tymi zredukowanymi elementami macierzy, ponieważ niektóre definicje mają dodatkowe czynniki w liczniku lub mianowniku). Część kątowa to całkowanie sferycznych harmonicznych tak proporcjonalnych do pewnego współczynnika Clebsh-Gordana obejmującego kątowe liczby kwantowe $ (L, M) $ składowej tensora i kątowe liczby kwantowe, $ (L_i, M_i) $ i $ (L_f, M_f) $ odpowiednio stanu początkowego i końcowego. Reguły wyboru wchodzą, ponieważ $ M_i + M = M_f $ i $ L_f $ muszą być w dekompozycji $ L \ otimes L_i $ (tj. Muszą znajdować się w zwykłym zakresie $ \ vert L_i-L \ vert \ le L_f \ le L_i + L $).

5) Zastosowanie jest bardzo proste: a) stosunki elementów macierzy operatorów tensorowych nie będą zależeć od zredukowanych elementów macierzy, więc można porównać np. współczynniki szybkości zaniku (lub przekroje poprzeczne) składowych operatora tensorowego eksperymentować bez żadnej wyraźnej wiedzy na temat funkcji f (r) lub (często skomplikowanej) całki radialnej potrzebnej do oceny zredukowanego elementu macierzy - całkowanie po zmiennej radialnej jest takie samo dla wszystkich składowych, więc nie ma żadnego stosunku obejmującego te składowe . b) Jeśli znany jest zredukowany element macierzy, wówczas element macierzy dowolnego składnika tensora można obliczyć, ponieważ całkowanie kątów (część $ Y_ {LM} $) można łatwo przeprowadzić analitycznie.