Myślę, że należy odróżnić chaotyczne systemy „hamiltonowskie” od chaotycznych systemów rozpraszających. W tym drugim przypadku objętość przestrzeni fazowej nie jest zachowana, więc znacznie trudniej jest znaleźć „całki ruchu”, ponieważ twierdzenie Liouville'a jest złamane. Pamiętaj, że wielkość „A” jest całką ruchu, jeśli

$ \ frac {dA} {dt} = \ frac {\ part A} {\ part t} + \ {A, H \} = 0 $, gdzie $ H $ to hamiltonian. W przypadku dyssypatywnych układów chaotycznych nie można nawet zapisać $ H $, więc trudno jest zrozumieć, jak można ogólnie znaleźć całki / stałe ruchu układu.

Jest jednak ważna klasa układów, które pojawiają się w kosmologii, na przykład tam, gdzie występuje hamiltonowski „chaos”, gdzie zasadniczo trajektorie układu wykazują wszystkie właściwości chaosu: wrażliwa zależność od warunków początkowych, rozbieżne trajektorie z biegiem czasu, ale system nadal ma atraktory: słynnym przykładem jest dynamika zamkniętego anizotropowego wszechświata / Bianchi IX, w bezwstydnej autopromocji tutaj: https://arxiv.org/pdf/1311.0389.pdf (w szczególności patrz strona 27) To oczywiście doprowadziło od lat do szerokich debat w społeczności kosmologicznej na temat tego, czy jest to chaos „naprawdę”, ponieważ w zasadzie trajektorie są przewidywalne, ale mam nadzieję, że to odpowiada na twoje pytanie.

Co więcej, w odniesieniu do twojego problemu bilardowego / słynnego bilarda Hadamarda, jak widać, jest to to samo, co diagram na stronie 27. Dlatego problem bilardowy jest również przykładem Hamiltona / chaos deterministyczny / nierozpraszający. Przestrzeń fazowa ma asymptotyczny atraktor. To, miejmy nadzieję, pokazuje, że całki ruchu, takie jak ta, którą znalazłeś powyżej ($ E $ to całkowita energia układu, aw tym przypadku jest to hamiltonian, $ H $) są naprawdę możliwe tylko wtedy, gdy można zapisać hamiltonian według twierdzenia Liouville'a.

Nie jestem ekspertem w tych kwestiach, ale gdyby istniała kolejna całka, orbita byłaby ograniczona do podrozmaitości osadzonej w kodezyjnie-1 (dla prawie wszystkich możliwych wartości tej funkcji ze względu na twierdzenie Sarda).Zagnieżdżona podrozmaitość jest podzbiorem bardzo regularnym, nie może mieć wspólnych punktów przecięcia i nie może być na przykład gęsta w przestrzeni.Zamiast tego orbita chaotycznego układu nie wydaje się należeć do tak regularnego zestawu ... Jednak bez precyzyjnej definicji wszystko to pozostaje tylko sugestią ...

Zależy to w pewnym stopniu od systemu.Jednak mogą istnieć domeny całkowalne.Mapa logistyczna $ x_ {n + 1} ~ = ~ rx_n (1 ~ - ~ x_n) $ ma dla parametru $ r $ strefy stabilności.Obraz

ilustruje regiony bifurkacyjne o regularnej dynamice.Są to wyspy osadzone w tym regionie „blizn” o chaotycznej dynamice.

Stadion Bunimovicha jest dobrze znany z ergodyczności. Oto ładny opis autorstwa Terry'ego Tao. Pojęcie to w naturalny sposób rozciąga się na chaos kwantowy (lub falowy), w którym zamiast trajektorii asymptotycznie równomiernie rozłożonych, domeny węzłowe funkcji własnych są asymptotycznie jednolite. Nowa książka Steve'a Zelditcha "Funkcje własne Laplacian na rozmaitości riemannowskiej" jest dokładnym technicznym spojrzeniem na te kwestie w przypadku kwantowo-falowym. Bezpłatny plik PDF tutaj

Istnienie blizn (asymptotyczne koncentracje w przestrzeni fazowej) jest odzwierciedleniem niestabilnych okresowych trajektorii. Jeśli nie ma stężeń, wówczas układ nazywany jest wyjątkowo ergodycznym.

Integralność wymaga nie tylko N stałych ruchu, ale także tego, aby stałe były względem siebie inwolucyjne. Oznacza to, że wsporniki Poissona dowolnej pary mają wartość zero. Nawiasem mówiąc, istnieje różnica między stałymi ruchu a całkami ruchu. Całki ruchu stanowią podzbiór stałych ruchu. Tutaj jest odniesienie do ergodyczności kontra całkowalność.

Termin chaos jest używany na oznaczenie różnych rzeczy w różnych kontekstach. Oprócz rozprzestrzeniania się trajektorii potrzebujesz mieszania, aby uzyskać klasyczny chaos. Tak więc znajdziesz obszerne omówienie tych kwestii w książkach o geometrii riemannowskiej, ponieważ mieszanie zwykle pochodzi z krzywizny granicznej. Moim ulubionym jest A Panoramic View of Riemannian Geometry Marcela Bergera. Berger obszernie omawia bilard stadionowy.

1. Z jednej strony dodatni maksymalny wykładnik Lapunowa (MLE) jest często uważany za de facto definicję (deterministycznego) chaosu.(Zauważ, że chaos wymaga również mieszania topologicznego.)

2. Z drugiej strony, Poincare wykazał, że autonomiczny układ hamiltonianu z możliwością integracji w Liouville ma tylko zero wykładników Lapunowa wzdłuż orbit okresowych, por.na przykładmoja odpowiedź Phys.SE tutaj.(Jeśli zestawy poziomów są zwarte, to każda orbita jest okresowa, por. twierdzenie Liouville-Arnold. Aby uzyskać szczegółowe informacje, patrz np. Moja odpowiedź Phys.SE tutaj.)